EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) PROBLEMA DO VALOR INICIAL (PVI)

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1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) PROBLEMA DO VALOR INICIAL (PVI) Introdução Seja a segunte equação derencal: d ( ) ; d para. que é reerencado com o problema do valor ncal. Essa denomnação deve-se ao ato de que o objetvo é determnar uma unção ( ) tal que d d ( ) satsazendo à condção (ncal) ( ). Consdere por eemplo a equação derencal: d d ; para. Nesse caso tem-se ( ) e ( ). A equação derencal pode ser resolvda analtcamente pelo método conecdo como método da separação das varáves conorme se mostra a segur: d d d d C onde C é uma constante. Dessa orma pode-se escrever: C ln ( ) C e e.

2 Como ( ) obtém-se e C e o ou seja e C. Assm a solução para o problema do valor ncal é: ( ) e. Apesar de estr uma vasta teora sobre métodos analítcos para a solução de equações derencas estem stuações em que é necessára a utlzação de métodos numércos. Isto se deve prncpalmente ao ato de que mutas vezes neste uma solução analítca eata ou anda que a resolução pelos métodos analítcos estentes podera ser muto trabalosa. Apresentam-se a segur os métodos numércos mas comuns para a solução do problema do valor ncal. Fgura : Gráco da solução de d/d()

3 Solução numérca para o problema do valor ncal Consdere a equação dada supona que a solução ( ) seja a unção representada na Fgura. Consdere anda a seqüênca de pontos { L L} espaçados por um ntervalo (.e. ). No algortmo a ser desenvolvdo para resolver esta EDO L supõe-se conecda a solução até o -ésmo valor.e. { } e utlzam-se estes valores para calcular. O processo se repete até que se tena um número sucente de pontos representatvos da unção desejada. A segur analsam-se os prncpas métodos de solução. Método de Euler Consdere mas uma vez a curva da Fgura que representa a solução da equação dada. Utlzando a tal equação pode-se escrever: d d ( ) Por outro lado a dervada no ponto ( ) é denda por: d d lm ( ) ( )

4 Usando o ato de que ( ) apromação é verdadera: e a segunte d d para sucentemente pequeno. O undamento do método de Euler consste em consderar a apromação acma para a dervada d d. Sendo assm o valor de (denomnado passo de ntegração ) deve ser escoldo sucentemente pequeno para não comprometer a solução nal da equação derencal. Substtundo então a apromação obtda para a dervada no na equação acma tem-se: ponto ( ) ( ) ou seja ( ) L A equação acma ornece uma orma para o cálculo da L uma vez especcada a seqüênca de L e o passo de ntegração. seqüênca { } { } Note que como a equação acma é uma órmula recursva necessta-se conecer a pror o ponto a m de que se possa L. prossegur com o cálculo de { } Sendo esse ponto ornecdo pela condção ncal tendo em. vsta que ( )

5 E.: Resolver pelo método de Euler o segunte problema do valor ncal (PVI): d d ( ). Neste caso temos ( ) sendo assm tem-se: ( ) L Consdere [ :.5 : ]. Assm: recorre-se à órmula recursva vsta anterormente que ornece os seguntes valores: Para calcular os valores de { } ( ) ( 5 ) e. ( ) ( 5 5) 65 ( ) 65 ( 5 75) 95 ( ) 95 ( 5 75) 9 Neste eemplo entretanto sabe-se que a solução analítca é Dessa orma pode-se calcular o erro estente entre a solução numérca (apromada) e a solução analítca (eata).

6 Os valores da solução analítca numérca e os respectvos erros são mostrados na Tabela a segur: Sol. Analítca Sol. Numérca erro ( e ) (Euler) Interpretação gráca para o método de Euler O método de Euler é equvalente à regra dos retângulos para o cálculo de ntegras. Isto pode ser aclmente mostrado consderando-se a unção ). ( ) dada como uma unção apenas de (note que ( ) Denndo-se então ( ) ( ( ) ) rescrta como ( ) F( ) d C ; F a equação pode ser ( ) d d ( ) F ( ). Fgura : Apromação pelo método de Euler.

7 Tomando Dessa orma: na equação anteror obtém-se C. ( ) F( ) d e portanto para tem-se:. F ( ) d Comparando esta equação com a órmula recursva vsta anterormente observa-se que a aplcação do método de Euler corresponde à adoção da segunte apromação: ( ) d ( ) F( ) F com: Análse do erro Para analsar o erro ntroduzdo pelo método de Euler consdere a epansão em séres de Talor para uma unção em torno de um ponto : d d ( ) ( ) L Rn onde R n é dado por: d d n n d n n! d n n d Rn < z < n ( n ) d...!

8 O erro que ocorre quando a sére de Talor é truncada medatamente após o termo que contém a n-ésma dervada. É denomnado erro de truncamento local. Conorme pode ser n observado esse erro é da ordem (potênca) de (denota-se n O ). ( ) Assm para n pode-se escrever: d ( ) ( ) O( ) d Como para um PVI d d ( ) ( ) ( ) obtém-se então: ( ) O( ) e Comparando-se a equação acma com a equação do método O. de Euler nota-se que o seu erro de truncamento local é ( ) O erro de truncamento dscutdo acma é ntroduzdo ao realzar cada teração do método; sendo assm ele tem um eeto cumulatvo ou seja a cada teração é adconado um erro da ordem de. de Ao nal da n-ésma teração tem-se um erro total acumulado O n ). n (.e. ( ) ou seja ( ) Como n n n resulta que n é proporconal a e portanto o erro total acumulado na n- ésma teração é proporconal a ( ) (.e. O ( ) ). n Esta medda nos dá uma ndcação mas precsa do erro total ntroduzdo pelo método e por sso é denomnado erro de truncamento global (ou total).

9 Devdo ao ato de que o método de Euler possu um erro de truncamento global O ( ) ele é classcado como um método de prmera ordem. Verca-se anda que o erro de truncamento (local/global) é da ordem de potêncas naturas de e portanto dmnu com a dmnução de. Um outro tpo de erro é também ntroduzdo quando se usa um computador para resolver numercamente uma equação derencal. Esse erro ocorre em decorrênca da precsão nta com que os cálculos são eetuados e é denomnado erro de arredondamento. Para analsar como este erro nluenca a resolução de equações derencas consdere a apromação: d d para a dervada d d. Supondo que o erro no cálculo da derença seja ε o erro de arredondamento total no cálculo de d d será ε. Dessa orma nota-se que o erro de arredondamento aumenta com a dmnução de eeto nverso ao que ocorre com o erro de truncamento. Em geral os erros na resolução numérca de uma equação derencal são domnados pelo erro de truncamento para grandes valores de e pelo erro de arredondamento para pequenos valores de.

10 Métodos de ordem superor O método de Euler é classcado como um método de prmera ordem pelo ato de que o erro de truncamento global por ele ntroduzdo é da ordem do passo de ntegração. Sendo assm ao reduzr pela metade o erro também é reduzdo pela metade; ao reduzr pela quarta parte o erro também é reduzdo pela quarta parte;.e. o método de Euler reduz o erro lnearmente com o passo de ntegração. Entretanto do ponto de vsta de aplcação prátca sera nteressante que esse erro tvesse uma redução mas rápda com o passo de ntegração e.g. quadrátca cúbca etc. Para tanto é necessáro que o erro de truncamento global seja da ordem de respectvamente. O ato do método de Euler ser de prmera ordem lmta em muto sua aplcabldade prátca e os métodos de orem superor são mas comuns na prátca. Como eemplos de métodos de ordem superor será abordada a classe de métodos de Runge-Kutta bem como alguns métodos denomnados predtores-corretores.

11 Métodos de Runge-Kutta Runge-Kutta de a ordem Consdere o problema do valor ncal apresentado anterormente. Consdere anda valores ntermedáros das varáves dendos por m e ( ) m. Pelo ato de que ( ) ( ) [ ] pode-se desenvolver ( ) em sére de Talor da segunte orma: ( ) ( ) L m m d d 8 d d ou anda: L m m m d d 8 d d Por outro lado ( ) ( ) então: ( ) L L m m m m m d d d d d d d d 8 8 ) ( de onde obtém-se que: ( ) O d d m ou anda de orma apromada com erro ( ) O : m d d

12 Pretende-se elmnar o termo que depende de m. Para sso realza-se o mesmo desenvolvmento anterormente apresentado agora para z d d de onde obtém-se: z d z z zm L z z z d m m. Usando o ato de que z d d tem-se: d d d d d d m e como d ( ) ou seja: d pode-se escrever: d d ( ) ( ) m d d m [ ( ) ( )] Fnalmente obtém-se: [ ( ) ( )] O processo teratvo apresentado na equação acma é um método mplícto tendo em vsta que para calcular o valor de. necessta-se do valor de ( )

13 O ato de ser um método mplícto restrnge a aplcação do método a stuações onde or possível se etrar do argumento de. Uma orma de contornar esse problema consste em utlzar o método de Euler para calcular o valor de a ser utlzado no argumento de. Sendo assm tem-se: ( ) ( ( )) Método de Euler Podendo-se reescrever a equação teratva da segunte orma: ( ) ( ) ( ); que é denomnada método de Runge-Kutta de a ordem (RK-).

14 E.: Resolver pelo método de Runge-Kutta de a segunte problema do valor ncal Solução: Tem-se: d d ;.5 ( ) [ :.5:].5.75 ordem o Para calcular o valor de { } utlza-se a órmula apresentada para o método RK- com ( ). ( ).5 (.5). ( ) ( ) ( ) ( ) (.5 ) ( ) (.5.) ( ) (.5.958) ( ). ( ) ( ) (.5.) ( ) (.75.75) ( ). ( ) ( ) (.75.) ( ) (.57).5. ( )

15 Runge-Kutta de a ordem No método RK- consderou-se o desenvolvmento em até o termo de ordem dos. séres de Talor para ( ) Se orem consderados mas termos na sére de Talor obtêm-se métodos de ordem mas elevada. O método de Runge-Kutta de ª ordem (RK-) é obtdo consderando a sére de Talor para desenvolvda até o termo 5 de ordem quatro com o erro de truncamento local ( O ( ) sendo menor que o obtdo para o RK-. Dessa orma o erro total do RK- também é menor. Apresenta-se a segur a órmula de recorrênca para o método RK-. 6 ( ) ; ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )

16 E.: Resolver pelo método de Runge-Kutta de ª ordem o segunte problema do valor ncal: Solução: Tem-se: d d ;.5 ( ) [ :.5:].5.75 Para calcular o valor de { } utlza-se a órmula apresentada para o método RK- com ( ). ( ) 6 ( ) ( ) ( ( ) ) (.5).5 ( ( ) ) (.5.56).7 ( ) (.5.7) ( ). 7 ( ) 6 ( ) (.5.7).579 ( ( ) ) (.75.69).99 ( ( ) ) (.75.86).56 ( ) (.5.) ( ).

17 ( ) 6 ( ) (.5.).5666 ( ( ) ) (.65.9).755 ( ( ) ) (.65.7).767 ( ) (.75.8) ( ). 7 ( ) 6 ( ) (.75.7).995 ( ) ( ) ( ) (.69).69 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 686 A Tabela a segur compara os métodos de Euler RK- e RK- a m de dar uma déa da ecênca de cada método. Solução Solução Numérca erro Analítca Euler RK- RK- Euler RK- RK

18 Métodos de Adams Os métodos de Adams utlzam normações calculadas em város passos anterores para obter a solução no passo segunte. Por eemplo um método de ordem utlza normações em e para gerar a solução reerente a (os métodos dscutdos anterormente utlzavam normações apenas em ). Os métodos de Adams ormam duas classes prncpas: o método predtor de Adams-Basort e o método corretor de Adams-Moulton que podem ser combnados em um únco: método denomnado: método predtor-corretor de Adams- Basort-Moulton. Método Predtor de Adams-Basort orma: Seja o problema do valor ncal: d ( ) ; d para. Lembrando que ( ) dene-se ( ) ( ) F e dessa F ( ) d A equação acma podera em prncípo ser uma órmula de recorrênca para se calcular a seqüênca { L}. Entretanto sso não pode ser eto dretamente porque não se conecer a pror F ( ).

19 A déa do método predtor de Adams é consderar F ( ) como sendo um polnômo nterpolador no ntervalo já que os valores de nestes pontos são conecdos. Essa apromação é razoável para ntervalos de dscretzação pequenos. Como prmera etapa do desenvolvmento do método realza-se uma nterpolação lnear entre os pontos e como segue: ( ) a b F Tomando e obtém-se:. F F ( ) ( ) a a b b a b F F ( ) F( ) ( ) F( ) onde. Assm: F ( ) F( ) F( ). F a equação ncalmente apresentada pode ser reescrta como: Utlzando essa apromação para ( ) ( ) d F( ) F d.

20 Para resolver tal ntegral pode-se azer a segunte mudança de varável: γ γ ; γ γ para para de onde: γ γ γ ( γ ) d dγ e portanto: ( ) γ dγ F( )( γ ) F γ γ F( ) F( ) γ F( ) F( ) [ F( ) F( )]. dγ F obtém-se a segunte equação recursva para o método predtor de Adams-Basort: Usando o ato de que ( ) ( ) [ ( ) ( )] Nesse caso partndo de ( ) prever ( ). para se obter conecdo precsa-se

21 Método Corretor de Adams-Moulton O desenvolvmento do método de Adams-Moulton é smlar ao do método de Adams-Basort descrto anterormente. A derença resde no ato de que na resolução da ntegral F como um polnômo nterpolador entre e consderar-se-á ( ) ao nvés de e como o eto anterormente. Assm sendo e consderando mas uma vez F ( ) como sendo uma reta para tem-se: ( ) a b F. Utlzando essa apromação para F ( ) tem-se: F ( ) d F( ) d. Após resolver as ntegras obtém-se a segunte órmula de recorrênca para o método de Adams-Moulton: [ ( ) ( )] Note que no lado dreto da equação acma aparece o termo ( ) o que torna este método mplícto ou seja para mplementar este método necessta-se etrar que aparece no argumento de ( ) e agrupá-lo com o do lado esquerdo da equação. Este procedmento entretanto nem sempre é smples ou mesmo possível de realzar. Uma alternatva nesse caso é utlzar uma combnação deste método com o método predtor apresentado anterormente ormando assm o método predtor corretor de Adams-Basort-Moulton.

22 Método predtor-corretor de Adams-Basort-Moulton A déa é utlzar o método de Adams-Basort para obter p uma predção para (denotado ) que é utlzado para substtur o valor de no argumento de ( ) na equação do método de Adams-Moulton. Nesse caso obtém-se o segunte conjunto de equações para o método predtor-corretor: p [ ( ) ( )] p [ ( ) ( )] A vantagem desta ormulação é que ela smplca o método de Adams-Moulton e é esperado um erro menor que o ntroduzdo pela parte correspondente ao do método de Adams-Basort. A epectatva por um erro menor decorre do ato de que o erro de truncamento local ntroduzdo pelo método de Adams- Moulton é menor que o ntroduzdo pelo método de Adams- Basort. Nota-se que o método predtor-corretor só pode ser utlzado p após calcularmos o valor de pos depende de ( ). Sendo assm para ncalzação utlza-se um outro método que pode ser o de Euler ou o de Runge-Kutta.

23 E.: Resolver pelo método predtor-corretor de ª ordem o segunte problema do valor ncal d d ( ) para [ :.5 : ]. Utlzar o método de Runge-Kutta de ª ordem para ncalzação. Solução: Neste caso gualmente ao apresentado nos eemplos anterores tem-se: Para calcular o valor de utlza-se RK- (com ( ) ): ( ).5 (.5). { } ( ) ( ) ( ) (.5 ).5 O valor de será calculado pela órmula do método predtor-corretor ou seja: p.5. [ ( ) ( )].5. [.5. ]. 8 p [ ( ) ( )] [ ].

24 p.5. [ ( ) ( )].5. [.5..5.]. p [ ( ) ( )] [ ]. 8 p.5.8 [ ( ) ( )].5.8 [ ]. 68 p [ ( ) ( )] [ ] Solução Solução Numérca erro Analítca PC- RK- RK- PC- RK- RK

25 Sstemas de equações derencas Os métodos de solução numérca de equações derencas apresentados anterormente podem ser aplcados apenas para equações de prmera ordem. Entretanto conorme se sabe dversos problemas mportantes envolvendo o problema do valor ncal são modelados como uma equação de segunda ordem (ou superor). Dessa orma é natural se buscar uma manera de adaptar os algortmos dscutdos acma para estas stuações. Supona que se deseja resolver o segunte problema do valor ncal de segunda ordem: d d ( d d) ( ) d( ) d & A déa neste caso é transormar essa equação em um sstema de equações derencas de prmera ordem. Para tanto denem-se as varáves aulares: daí; & d d d & e d & d d d d d d logo pode-se reescrever a equação da segunte orma: & e & ( v z ) com condção ncal ( ) e ( ). Observa-se que a equação derencal de segunda ordem o transormada em um sstema de equações ( equações) de prmera ordem onde ao nvés de apenas uma varável dependente () tem-se duas ( e ).

26 Sendo assm os métodos de solução dscutdos anterormente devem ser adaptados para poder tratar o caso de mas de uma varável dependente. Consdere o segunte sstema de equações derencas de ordem dos: ( ) ( ) ( ) ( ) Para resolver esse sstema de equações pode-se aplcar qualquer dos métodos dscutdos anterormente para cada uma das equações ou seja: Método de Euler: A aplcação da órmula de recorrênca do método de Euler às equações acma resulta em: ( ) ( ) Método RK-: Utlzando a órmula de RK- obtém-se: ( ) ( ) onde: ( ) ( ) ( ) ( ) A aplcação dos outros métodos (RK- predtor-corretor de ordem e ) se az de orma smlar.

27 E.: Consdere a segunte equação lnear de segunda ordem: d dt cos(t ) ( ) d( ) dt que pode modelar um sstema massa-mola sem amortecmento sujeto a uma orça eterna do tpo (cos)senodal e que se encontra ncalmente em repouso. (note que a varável ndependente o substtuída por t). A solução eata para esta equação é ( cos( t) cos( t) ) Para resolver o problema numercamente den-se d dt & obtendo-se o segunte sstema: e & & cos ( t) ( ) ( ) Aplcando o método de Euler obtém-se: ( cos( t )) ; Consderando t [ :. : ] ornecerão os seguntes valores: as equações recursvas acma t