MÉTODO DE HOLZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS
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- Wilson Paiva Domingos
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1 ÉODO DE HOZE PAA VIBAÇÕES OCIONAIS Este método prómdo é dequdo pr vgs com crcterístcs não unformes centuds, ou sstems com um número grnde de msss concentrds. Substtu-se o sstem contínuo por um sstem dscreto O sstem é representdo por um conjunto de n msss dscrets e rígds concentrds em n pontos chmdos de estções Os segmentos de veo entre s msss dscrets ssumem-se sem mss e com rgdez unforme e chm-se de cmpos A equção do movmento que relcon forç com deformção (ou deslocmento) é substtud por equções de dferençs fnts correspondentes A solução obtém-se psso psso
2 A relção entre o deslocmento ngulr e o momento torçor é dd por: θ (, t) (, t) GJ ( ) ÉODO DE HOZE PAA VIBAÇÕES OCIONAIS (6.) Por outro ldo, deduzu-se nterormente equção dferencl que govern s vbrções torcons lvres de vgs: (, t) θ ( ) (, t) I (6.) t Como s vbrções lvres do movmento síncrono são hrmóncs então tem-se que o deslocmento ngulr e o momento torçor são representdos por: θ (, t) ( ) cos( ωt φ ) (, t) ( ) cos( ωt φ ) Elmnndo dependênc do tempo, pode-se substtur (6.) e (6.) por: ( ) ( ) d GJ( ) ( ) I( ) ( ) d d d (6.3) (6.4) (6.5) ω (6.6) As equções nterores são bse do método de dferençs fnts deduzr
3 ÉODO DE HOZE PAA VIBAÇÕES OCIONAIS epresente-se vg não unforme d fgur por n+ dscos rígdos lgdos por veos crculres, sem mss e com rgdez unforme. Os dscos têm momentos polres de nérc ddos por: I I + ( ) In+ I( n ) n I I,..., ( )( + ) I( ), n (6.7) (6.8) Onde os ncrementos são sufcentemente pequenos pr que s promções em (6.7) e (6.8) sejm válds.
4 ÉODO DE HOZE PAA VIBAÇÕES OCIONAIS Adconlmente us-se notção: GJ GJ +,,..., n (6.9) Dgrm de corpo lvre d estção e do cmpo o Os índces e referem-se respectvmente os ldos dretos e esquerdo d estção o O ldo esquerdo do cmpo us notção correspondente o ldo dreto d estção o O ldo dreto do cmpo us notção correspondente o ldo esquerdo d estção + estção cmpo
5 ÉODO DE HOZE PAA VIBAÇÕES OCIONAIS ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) I I + ω ω I ω + Vão ser utlzds s equções (6.5) e (6.6) pr relconr os deslocmentos ngulres e os momentos torçores nos dos ldos d estção e do cmpo. Como os dscos são rígdos os deslocmentos nos dos ldos d estção são gus: (6.) Por outro ldo equção (6.6) n form ncrementl é: Utlzndo (6.7), (6.8) e (6.), epressão nteror vem: Como o segmento de veo ssocdo o cmpo não tem mss, tem-se que: A equção (6.5) n form ncrementl e qundo plcd o cmpo é: ( ) GJ GJ (6.3) (6.) (6.) (6.4)
6 ÉODO DE HOZE PAA VIBAÇÕES OCIONAIS Utlzndo equção (6.3) epressão (6.4) reduz-se : onde: + + GJ (6.5) (6.6) represent o coefcente de nfluênc d flebldde torconl. Pode ser ntrepertdo como o deslocmento ngulr do dsco + devdo um momento untáro n estção +, mntendo o dsco sem rotção. As equções (6.) e (6.) podem ser representds n form mtrcl: θ ω I θ (6.7) e representm o deslocmento e torque no ldo dreto d estção em termos de quntddes semelhntes no ldo esquerdo.
7 ÉODO DE HOZE PAA VIBAÇÕES OCIONAIS Defnem-se s seguntes quntddes como vectores de estdo, que são os deslocmentos ngulres e torques nos ldos dreto e esquerdo d estção : (6.8) Defne-se nd mtrz de trnsferênc d estção que relcon os dos vectores de estdo (6.6): [ E ] (6.9) ω I Deste modo equção (6.7) pode ser escrt num form ms compct: θ [ ] E θ (6.) De form semelhnte s equções (6.3) e (6.5) podem ser representds por: θ + [ ] C θ (6.) onde:
8 ÉODO DE HOZE PAA VIBAÇÕES OCIONAIS Onde se defne mtrz de trnsferênc do cmpo: Introduzndo (6.) em (6.) obtém-se: [ ] C (6.) Onde: θ + [ ] θ [ ] [ C ] [ E ] (6.3) (6.4) epresent mtrz de trnferênc que relcon o vector de estdo no ldo esquerdo d estção + com o vector de estdo no ldo esquerdo d estção. Pode-se provr que começndo com o prmero dsco, se tem segunte relção: + [ ] [ ]...[ ] [ ],,..., n (6.5) Adconlmente, observndo últm fgur presentd, conclu-se que: [ ] n+ (6.6)
9 Onde mtrz de trnsferênc globl é: [ ] [ E ] [ ] n[ ] n [ ] [ ] n+... ÉODO DE HOZE PAA VIBAÇÕES OCIONAIS (6.7) e relcon o vector de estdo no ldo esquerdo d estção com o vector de estdo no ldo dreto d estção n +. A equção (6.6) escrt n form eplíct é: n+ + n+ + (6.8) Onde os elementos j (,j,) d mtrz de trnsferênc globl [] representm polnómos em ω. A equção do sstem em ordem à frequênc obtém-se fzendo um dos elementos dest mtrz, ou um combnção de elementos, gul zero trvés ds c.f. nos etremos d vg. A - Veo lvre ns dus etremddes Como não estem momentos torçores ns etremddes, s condções fronter são: n+ (6.9) Introduzndo s c.f. n segund equção de (6.6) conclu-se que:
10 ÉODO DE HOZE PAA VIBAÇÕES OCIONAIS B - Veo encstrdo num etremdde e lvre n outr N etremdde esquerd o deslocmento é zero e no ldo dreto o torque é zero: n+ (6.3) Neste cso tem-se que substtundo em (6.6) result: C - Veo encstrdo ns dus etremddes Neste cso s condções fronter são: n+ (6.3) O que result em:
11 ÉODO DE YKESAD PAA VIBAÇÕES À FEXÃO (vbrções trnsverss de vgs) epresent um etensão do método de Holzer, neste cso pr s vbrções trnsverss de vgs Vbrções torcons de vgs: Equção dferencl de ª ordem Os vectores ds estções são D, s componentes são o deslocmento ngulr e o momento torçor Vbrções trnsverss de vgs: Equção dferencl de 4ª ordem Os vectores ds estções são 4D, s componentes são o deslocmento, declve, momento flector e esforço de corte
12 ÉODO DE YKESAD PAA VIBAÇÕES FEXUAIS Assume-se um vg esbelt, elástc, lner e não unforme epresent-se vg por um conjunto de msss concentrds lgds por vgs sem mss e rgdez à fleão unforme As msss são s estções As vgs unformes são os cmpos
13 ÉODO DE YKESAD PAA VIBAÇÕES FEXUAIS esumo do étodo () (b) (c) epresentr vg esbelt e não unforme por um conjunto de msss concentrds lgds por segmentos de veo sem mss e com rgdez à fleão unforme Fzer o d.c.l. d estção e do cmpo pr obter um equção do momento e outr equção d forç Cmpo: representr o deslocmento e rotção em + em função do deslocmento, rotção, forç e momento em. Osclções lvres movmento hrmónco d) Deduzr mtrz de trnsferênc d estção : pssr w, Ψ,, Q do ldo esquerdo pr o ldo dreto d estção e) Deduzr mtrz de trnsferênc do cmpo : pssr w, Ψ,, Q do ldo esquerdo pr o ldo dreto do cmpo f) Deduzr um mtrz gerl que relcon w, Ψ,, Q no ldo dreto d vg com s mesms quntddes no ldo esquerdo g) Especfcr s condções fronter pr obter equção d frequênc prtr d equção que relcon os e v n v
14 ÉODO DE YKESAD PAA VIBAÇÕES FEXUAIS (b) Fzer o d.c.l. d estção e do cmpo pr obter um equção do momento e outr equção d forç Dgrm de corpo lvre d estção e do cmpo sujetos fleão () estção (b) cmpo
15 ÉODO DE YKESAD PAA VIBAÇÕES FEXUAIS D fgur () e por hver contnudde tem-se: w Onde Ψ represent o declve (tngente à curv de defleção) Pr vgs esbelts desprez-se nérc à rotção, logo o equlbro de momentos pr estção é: O equlbro de forçs pr estção é: ( t) w ( t) w ( t), Ψ ( t) Ψ ( t) Ψ ( t) (6.3) ( t) ( t) (6.33) Q ( t) Q ( t) m w ( t) (6.34)
16 (c) Cmpo: representr o deslocmento e rotção em + em função do deslocmento, rotção, forç e momento em. Interess defnr of coefcentes de nfluênc de flebldde d estção (ssumd como restrngd nos movmentos): wq w Q Ψ Ψ é trnslção em + devdo um forç untár em +, é trnslção em + devdo um momento untáro em +, é rotção em + devdo um forç untár em +, é rotção em + devdo um momento untáro em +, Q + + Q + +
17 ÉODO DE YKESAD PAA VIBAÇÕES FEXUAIS Então d fgur (b) obtém-se: w w wq ( t) w ( t) + Ψ ( t) + ( t) Q ( t) Ψ w wq ( t) Ψ ( t) + ( t) Q ( t) Adconlmente como s os segmentos de veo não têm mss, d fg (b) tem-se: + ( t) ( t) Q ( t) Q ( t) Q ( t) + (6.35) (6.35b) (6.36) (6.36b) Introduzndo s equções (6.36) em (6.35) obtém-se: w + w wq w ( t) w ( t) + Ψ ( t) + ( t) + ( ) Q ( t) Ψ ΨQ Ψ ( t) Ψ ( t) + ( t) + ( ) Q ( t) Ψ + (6.37) (6.37b)
18 (d) Deduzr mtrz de trnsferênc d estção : pssr do ldo esquerdo pr o ldo dreto d estção w, Ψ,, Q V-se nlsr s osclções lvres sem mortecmento, logo s vbrções são hrmóncs e deste modo pode-se elmnr dependênc do tempo ds eqs nterores Defne-se os vectores d estção como: v [ w ψ Q ] e v [ w ψ Q ] (6.38) onde s várs componentes representm constntes pos dependênc do tempo fo elmnd Deste modo s equções (6.3) (6.34) podem ser escrts n segunte form: v v S (6.39) Onde s é mtrz de trnsferênc que permte representr o deslocmento no ldo dreto d estção em função do deslocmento no ldo esquerdo:
19 ÉODO DE YKESAD PAA VIBAÇÕES FEXUAIS Onde s é mtrz de trnsferênc que permte representr o deslocmento no ldo dreto d estção em função do deslocmento no ldo esquerdo. (6.39) S m ω
20 Utlzndo s eqs (6.36) e (6.37) deduz-se operção de trnsferênc do cmpo : Onde os coefcentes de nfluênc são: ÉODO DE YKESAD PAA VIBAÇÕES FEXUAIS F v v + ( ) / 6 / / F (e) Deduzr mtrz de trnsferênc do cmpo : pssr do ldo esquerdo pr o ldo dreto do cmpo Q w,, Ψ, ( ) ( ) ( ) ( ),,, Q w wq EI EI EI EI Ψ Ψ (6.4) (6.4) (6.4)
21 ÉODO DE YKESAD PAA VIBAÇÕES FEXUAIS (f) Deduzr um mtrz gerl que relcon w, Ψ,, Q vg com s mesms quntddes no ldo esquerdo no ldo dreto d V n Ou sej, deduzr um mtrz de trnsferênc que relcon com : V v v n (6.43) Combnndo (6.39) e (6.4) represent-se v no ldo esquerdo do cmpo + em função de v no ldo esquerdo de : v v v Sv (6.39) + F (6.4) v v v + F S (6.44) Prov-se que trnsferênc do ldo esquerdo d ª estção pr o ldo esquerdo d estção n é: v n (6.45) n n... v Onde: F S (6.45b) Pr trnsferr v pr o ldo dreto d estção n us-se Sn :
22 ÉODO DE YKESAD PAA VIBAÇÕES FEXUAIS Pr trnsferr v pr o ldo dreto d estção n us-se Sn : v n Snn n... v (6.46) E mtrz de trnsferênc que pss o vector v do ldo esquerdo d estção pr o ldo dreto d estção n é: (6.47) Sn n n...
23 ÉODO DE YKESAD PAA VIBAÇÕES FEXUAIS (g) Especfcr s condções fronter pr obter equção d frequênc prtr d equção que relcon os v n e v Eemplo: vg encstrd num etremdde e lvre n outr As cond fronter são: w, ψ, n, Qn Substtundo s c.f. n equção (6.43) result: w Ψ n n ( ω ) 34 ( ω ) ( ω ) ( ω ) 33 det Q Pr stsfzer s dus últms equções deve-se verfcr segunte condção: Equção ds frequêncs A solução dá os vlores própros, ω, ω,..., ωn (6.48) (6.49)
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