Máximos, Mínimos e Pontos de Sela de funções f ( x,

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Lucinda Pereira do Amaral
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1 Vsco Smões ISIG 3 Mámos Mímos e otos de Sel de uções ( w). Forms Qudrátcs Chm-se orm qudrátc em Q ) se: ( Q ) ( T ode.. é um vector colu e um mtr qudrd dt mtr d orm qudrátc sto é: Q( ) T [ ] s orms qudrátcs clsscm-se em 5 ctegors:.. ) eds postvs sse Q ( ) > b) eds egtvs sse Q ( ) < c) Sem-ded postv sse Q( ) e Q ( ) com lgum d) Sem-ded egtv sse Q( ) e Q ( ) com lgum e) Ided sse Q ( ) > pr lgum e Q ( ) < pr outro EXEMLOS. Q é sempre postv desde que ( ) (). Q ( ) é sem-ded postv sto é uc é egtv e pode ser ero por eemplo se e 3. Q 4 é ded pode ser postv ou egtv.

2 Vsco Smões ISIG 3 clsscção ds orms qudrátcs só se pode er olho como os eemplos cm em csos rdculmete smples. Em gerl devemos lçr mão de téccs dequds est clsscção. qudrátc. técc que vmos qu epor é do sl dos meores prcps d mtr d orm Se etão orm qudrátc T Q( ) com.. Form-se etão sucessão de meores de : sequêc de ss dos segutes resultdos que se presetm sem demostrção v permtr clsscr orm qudrátc utldo os T Q é ded postv sse > T Q é ded egtv sse < >.. 3 < Isto é os ss devem ser lterdos com o prmero egtvo ou de outr orm > > pr mpr T3 Q é sem-ded postv se se verc T té certo e prtr dí os são todos ero. T4 Q é sem-ded egtv se se verc T té certo e prtr dí os são todos ero. T5 Q é ded em qulquer outro cso que ão se T T T3 ou T4. demostrção é etes e rrelevte pr o que os propomos pode o etto ser cosultd em qulquer lvro de Álgebr por eemplo Gregóro Luís C. Slv bero Álgebr Ler McGrw Hll.

3 Vsco Smões ISIG 3 3 EXEMLO. [ ] Q tem-se > > 3 > portto Q é ded postv.. [ ] Q tem-se: 3 -- portto Q é ded ão ec em T T T3 ou T4. epre-se que em er ecessáro clculr 3.

4 Vsco Smões ISIG 3. otos de estcordde de um ução (. w ) teh r que se poss vsulr os potos de estcordde de um ução é ecessáro que se :. Comecemos etão por um ução de pes dus vráves ( ). Est ução dee um superíce em 3. Ns gurs segutes estão represetdos os três possíves potos de estcordde de Mámo Mímo ou oto de Sel. s lhs vermelhs tgetes á superíce os potos de estcordde serão tods obvmete prlels o plo XY ou dto de outr orm horots sto sgc que se ) ( é poto de estcordde s dervds de em qulquer drecção esse poto devem ser uls. Geerldo pr vráves deve ter-se: cosα pr qulquer drecção de cosos drectores cos α. o que só se verc se o dervds se ulrem um ve que o corrermos tods s drecções cmos com cosos rbtráros: d ução.. Obtvemos ssm um sstem de equções que rá permtr obter os potos de estcordde 4

5 Vsco Smões ISIG 3 5 EXEMLO: Se teremos um poto de estcordde se 4 4 sto é ) 4 ( 3. Clsscção dos potos de estcordde Comecemos por um ução rel de vrável rel :. É sbdo do secudáro que se or poto de estcordde ter-se-á: Mámo se ) ( < - cocvdde voltd pr cm. Mímo se ) ( > - cocvdde voltd pr bo. lgo de semelhte sucede pr uções :. r termos um mámo deveremos ter tods s seguds dervds em tods s drecções egtvs. r termos um mímo deveremos ter esss dervds tods postvs. Ms semelhç term qu. Vemos etão como proceder. O que se pretede é clculr s seguds dervds em tods s drecções sto é dervr s prmers dervds em tods s drecções. Temos cosα e etão: cosα com sto é: α cos com

6 Vsco Smões ISIG 3 6 que é um orm qudrátc. EXEMLO: Se : etão com β α cos cos cosα e que é um orm qudrátc com eeto é gul : [ ] H T á mtr d orm qudrátc H que é mtr smétrc ds seguds dervds chm-se Mtr Hess de. * * * * * Temos etão o ou os potos de estcordde que desgmos geercmete por : [ ] [ ] H.

7 Vsco Smões ISIG 3 e portto: ) temos um Mámo em se é ded egtv b) temos um Mímo em se é ded postv c) se d) se é ded sso sgc que em há drecções pr s qus temos um mámo e outrs pr s qus temos um mímo estmos pos um oto de Sel. estmos um Cso uvdoso. é sem-ded d podemos coclur por este método e demos que EXEMLO: Se etão: logo ξ 5ξ 4 (com ξ ) ξ ; 4 4 etão ± ; ± e temos etão os qutro segutes potos de possível etremo (potos de estcordde): () B(--) C() (--) s seguds dervds elemetos do Hesso são e: ; 6 ; 6 6 7

8 Vsco Smões ISIG 3 os dos meores prcps são: H e teremos em 8 é um mímo: ( ) 8 (ded postv) em B é um mámo: M ( B) 8 (ded egtv) em C é um poto de sel (ded) em é um poto de sel (ded) m ( ) Cotoros de ível o plo XY 8

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