CAP. IV INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
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- Aline de Santarém Custódio
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1 CAP. IV INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL INTRODUÇÃO Muts fuções são cohecds es um cojuto fto e dscreto de otos de um tervlo [,b]. Eemlo: A tbel segute relco clor esecífco d águ e temertur: temertur (ºC clor esecífco Suohmos que queremos clculr: clor esecífco d águ 7.5ºC; b temertur r qul o clor esecífco é INTERPOLAÇÃO qudo são cohecdos somete os vlores umércos d fução r um cojuto de otos e é ecessáro clculr o vlor d fução um oto ão tbeldo qudo fução em estudo tem um eressão ger comle, tordo oerções como tegrção e dferecção dfíces Pág de 5- Iterolção Poloml
2 Como est fução é dd es um cojuto fto de otos sem se dsôr d su form lítc, substtu-se est or outr fução. Est ov fução é um romção à fução dd, deduzd rtr dos otos cohecdos. FUNÇÃO APROXIMANTE Ests fuções odem ser de város tos ts como eoecl, logrítmc, trgoométrc e oloml. Aqu vmos estudr es s fuções oloms. CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO Cosderemos otos dsttos,,,...,, o tervlo [, b] e os vlores d fução f( esses otos, f(, f(,..., f(. Um ds forms de terolção de f( que remos ver cosste em determr um fução g(, fução teroldor, tl que: g( g(... g( f( f( f( GRAFICAMENTE: Fução romte olómo terolção oloml Pág de 5- Iterolção Poloml
3 Cohecdos os otos (suorte d terolção (, f(, (, f(,..., (, f( com <,,..., e e b, retede-se romr f(, or um olómo tl que ( - - ( f(,,,. Os coefcetes,,..., são determdos à cust d resolução do segute sstem: Pág 3 de 5- Iterolção Poloml
4 Pág 4 de 5- Iterolção Poloml f(... f( f( f( f(... f(... f( (... f( ( f( ( A solução do sstem teror é úc se o determte d mtrz for dferete de zero, o que cotece se os otos,,,..., forem todos dsttos. Demostr-se o segute teorem: TEOREMA : Sejm ddos otos dsttos (, f(, (, f(,..., (, f(. Etão este um úco olómo ( de gru feror ou gul que stsfz ( f(,,...,.
5 FORMAS DE OBTER O POLINÓMIO: resolução do sstem ler obtdo terormete; terolção de Lgrge; terolção de Newto com dfereçs dvdds; terolção de Newto com dfereçs fts. coduzem o mesmo olómo FÓRMULA DO ERRO (TRUNCATURA Os cálculos terores estão fectdos de dos tos de erros: erros de rredodmeto; b erros de tructur - qudo decdmos romr f or um olómo de gru. E T ( ( -.( -...( - ( f ( ξ. (!, r lgum ξ ], [ Pág 5 de 5- Iterolção Poloml
6 4. RESOLUÇÃO DO SISTEMA LINEAR EXEMPLO (INTERPOLAÇÃO LINEAR : Determr o olómo teroldor r fução f cohecd elos segutes otos e clculr o vlor de f(.5. y.84.9 EXEMPLO (INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA: Determr o olómo teroldor r fução cohecd elos otos: - y 4 - Pág 6 de 5- Iterolção Poloml
7 4. INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE Sejm otos dsttos (, f(,,..., tl que f( y. Cosderemos os segutes ( olómos de gru, deomdos olómos de Lgrge: L( ( - L( ( -... L ( ( -.(.(... (... (.( -... ( De form brevd, os olómos de Lgrge escrevem-se d segute form: L ( j j ( j ( Os olómos L têm roredde segute ts que: L ( j se se j j Como o olómo é de gru e cotém os otos (, f(,,...,, odemos escrever como combção ler dos olómos de Lgrge, L (,,...,, ou sej: ( b.l( b.l(... b.l ( b.l ( ( Pág 7 de 5- Iterolção Poloml
8 Assm, r determr ( bst clculr o vlor de b,,...,, já que os olómos L ( são fclmete clculáves. ( b.l ( b.l (... b.l (... b.l ( Como L ( L k ( r k,..., -,,..., obtém-se: ( b.l ( b ( L ( y, L (,..., Substtudo o vlor de b em (, obtém-se: ( y L (. L ( Tedo em teção ( cocluímos que: ( y ( j ( j j j Polómo Iteroldor de Lgrge EXEMPLO: Determr o olómo teroldor de Lgrge r fução cohecd elos otos:..4.5 y Pág 8 de 5- Iterolção Poloml
9 4.3 INTERPOLAÇÃO COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS Dfereç Dvdd A ª dervd de f( o oto é or defção: f ' ( f(- f( lm. - A dfereç dvdd de ª ordem é defd como um romção d ª dervd: [ ] f( - f( f( - f( f, ( - - Se fzer em (, tem-se dfereç dvdd de ª ordem em relção os rgumetos e : f [ ] f( - f( y, - y - y OPERADOR DE DIFERENÇAS DIVIDIDAS Ordem y [ ] f( y f y f [, ] f [ ] f [ ] y y... y y f [,,..., ] - y - y f [,..., ] f [,..., ] - Pág 9 de 5- Iterolção Poloml
10 TABELA DE DIFERENÇAS DIVIDIDAS: y y y... y f[ ] f[, ] f[ ] f[,, ] f[, ] f[ ] f[,, 3 ] f[,,..., ] f[, 3 ] f[ -, -, ] f[ -, ] f[ ] EXEMPLO: Determr s dfereçs dvdds de f defd elos segutes otos:.3.5. y Resolução: Começmos or costrur tbel ds dfereçs dvdds f( y y y Pág de 5- Iterolção Poloml
11 4.3. POLINÓMIO INTERPOLADOR DE NEWTON PARA DIFERENÇAS DIVIDIDAS Cosderemos os otos (, f(,,..., e ( o olómo de gru que cotém esses otos. Pel defção de dfereç dvdd de ª ordem, tem-se que: [, ] [ ] [ ] ( ( ( ( (. [, ] ( Pel defção de dfereç dvdd de ª ordem, tem-se que: [,, ] [, ] [, ] [, ] [, ] (. [,, ] Substtudo [, ] em (, obtém-se: ( ( (. [, ] (.(. [,, ] Pág de 5- Iterolção Poloml
12 Cotudo ssm sucessvmete, obtemos: ( ( (. (.(...( -. [, ] (.( [,, ] [,,..., ] (.(...( [,,,..., ]..... Como ( é de gru, [,,,..., ] (.(...(. ( y [,, ] y odemos escrever: ( y (. y (.(. y... (.(...( -. y Ou d, P ( y - y j ( - j Polómo Iteroldor de Newto EXEMPLO: Determr o olómo teroldor de Newto r fução f defd elos segutes otos:.3.5. y Pág de 5- Iterolção Poloml
13 PONTOS IGUALMENTE ESPAÇADOS: Admtmos que os otos são gulmete esçdos, sto é: - h,,...,, sedo h um costte deomd sso. Cosderemos vrável ulr, z, dd or z. h Tem-se que: - h.z - -( h - -h h.z-h h.(z- - -( h - -h h.(z--h h.(z ( - h - - -h h.(z-(--h h.(z-(- Substtudo os vlores terores o olómo teroldor de Newto r dfereçs dvdds ( y (. y (.(. y... (.(...( -. y obtém-se: ( y hz. y hz. h(z -. y... hz. h(z. h(z...h(z (. y Ou d: ( y - h. y j (z - j Polómo Iteroldor de Newto r otos gulmete esçdos Pág 3 de 5- Iterolção Poloml
14 4.4 INTERPOLAÇÃO COM DIFERENÇAS FINITAS Sej f um fução d qul se cohecem os otos (, f(,,...,, ode os otos são gulmete esçdos: - h,,..., 4.4. OPERADOR DE DIFERENÇAS FINITAS Ordem... y f( y y y y y y - y y - y EXEMPLO: Determr tbel ds dfereçs fts d fução f defd elos segutes otos: y Resolução: Começmos or costrur tbel ds dfereçs fts f( y y y 3 y 4 y Pág 4 de 5- Iterolção Poloml
15 4.4. POLINÓMIO INTERPOLADOR DE NEWTON PARA DIFERENÇAS FINITAS Nest secção vmos cosderr que os otos são gulmete esçdos: - h,,...,. Segue-se um teorem que relco s dfereçs dvdds com s dfereçs fts. TEOREMA : Sej f um fução defd os otos (, y,,..., ts que, - h,,..., -. Tem-se que: k y k y k k!.h Cosdere-se o olómo teroldor de Newto r otos gulmete - j esçdos: ( y h. y (z - j Substtudo y or y!.h,,...,, obtém-se: ( y y - - (z - j com z - j! j h j Polómo Iteroldor Gregory-Newto r dfereçs fts Pág 5 de 5- Iterolção Poloml
16 EXEMPLO: Dd fução f, cohecd os otos bo tbeldos, clcule f( y Resolução: Começmos or costrur tbel ds dfereçs fts y y y 3 y y Pág 6 de 5- Iterolção Poloml
17 4.5 ESTUDO DO ERRO NA INTERPOLAÇÃO Como já observmos, o romr-se fução f( or um olómo (, comete-se um erro (erro de tructur, ou sej, E T ( f( - (, r todo o [, ] EXEMPLO: Temos que: ( terol f ( e f ( em e ; E f (- ( > E f (- (, r todo o (,. Pág 7 de 5- Iterolção Poloml
18 Um medd r o erro de tructur é dd elo segute teorem: TEOREMA 3: Sejm f, f ', f '',..., f ( defds e cotíus o tervlo [, ] e dervd f ( defd em (,. Sej ( o olómo teroldor de f( os otos,,,...,. Etão, em qulquer oto ertecete o tervlo [, ] or E T ( ( - Pr lgum ξ (,..( -.( -... ( -, o erro é ddo ( f ( ξ (! Not: Pr otos gulmete esçdos, E T ( é equvlete : E T (z h ( ( ξ f ( z.(z -.(z -.(z (z - (! N mor rte ds vezes ão se cohece o vlor ecto de ξ. Assm, cosdermo-lo gul o vlor que mmz f ( ( em (,, sto é, ( ξ m f < < ( Pág 8 de 5- Iterolção Poloml
19 4.6 OUTRAS FORMAS DE INTERPOLAÇÃO 4.6. INTERPOLAÇÃO DE HERMITE O objectvo d terolção de Hermte é reresetr um fução or um olómo que terole fução e su ª dervd. Procurmos um olómo teroldor H k ( de um fução f e d su rmer dervd f em otos dsttos,,...,. Sej f um fução d qul se cohecem os otos (, f(,,...,, com j r j e os vlores f (, f (,..., f (. Pretedemos romr f(, or um olómo H ( que verfc: H ( f(,,, H ( f (,,, ( codções ( codções Temos codções, ou sej, equções H é olómo de gru feror ou gul ( H ( CONSTRUÇÃO DO POLINÓMIO: (GENERALIZAÇÃO DO POLINÓMIO INTERPOLADOR DE NEWTON NAS DIFERENÇAS DIVIDIDAS: Cosderemos os otos z, z,..., z e o olómo teroldor de Newto: Pág 9 de 5- Iterolção Poloml
20 H ( f(z ( z.f ( z.( z...( z.f [ ] ( z.( z.f [ z, ] z,z [ z, z,... ] z z,z... Cosderdo z z z z 3... obtemos z z H ( f( ( (. f [, ] (.f[,, ] ( (.f[,,, ].(...( - (.f [,,...,, ]... Geerlzdo defção de dfereçs dvdds, f f( f( f( f( ' f [, ] lm f [, ] lm lm f ( ' f [ ] [, ] f[, ] f[, ] f (,, Pr o olómo cúbco de Hermte ( odemos costrur segute tbel: f [,,, ] f [,, ] f [,, ]... Pág de 5- Iterolção Poloml
21 X f s. Dfs (D s. Dfs (D 3 s. Dfs (D 3 z f( f ( f[, ] z f( f[,, ] f[, ] f[,,, ] z f( f[,, ] f ( f[, ] z 3 f( H 3 (f( f[, ].(- f[,, ].(- f[,,, ].(-.(- EXEMPLO: Determr o vlor romdo de l(.5 sbedo que: l(.693 /.5 Resolução: Começmos or costrur tbel ds dfereçs dvdds r terolção de Hermte f D D D 3 Z Z Z.693 Z Pág de 5- Iterolção Poloml
22 ERRO DE TRUNCATURA: Etão, em qulquer oto ertecete o tervlo [, ], o erro é ddo or E T 4.6. INTERPOLAÇÃO COM SPLINES Há csos em que o olómo teroldor de gru elevdo coduz resultdos erróeos. Um romção ltertv cosste em justr olómos de ordem ms b subcojutos dos ddos. Ts olómos chmm-se fuções sles. EXEMPLO : ( ( -.( -... ( - ( f ( ξ, (! ξ (,. Cosderemos um fução f( tbeld os otos < <... < b. DEFINIÇÃO (FUNÇÃO SPLINE Um fução s( é deomd sle de gru m com ós os otos, se stsfz s segutes codções: em cd subtervlo [ -, ],,...,, s ( é um olómo de gru m; s( é cotíu e tem dervd cotíu té à ordem (m- em [,b] Pág de 5- Iterolção Poloml
23 DEFINIÇÃO ( FUNÇÃO SPLINE INTERPOLADORA Fução sle que verfc: s( f(,,..., SPLINES LINEARES: A fução sle ler terolte de f( ode ser escrt em cd subtervlo [ -, ],,..., como s [, ] ( f( f(, - EXEMPLO: Clcule fução sle ler que terol fução tbeld. 5 7 y 3.5 s ( f( f(, [, ] s ( ( 3 4, [,5 ]; s ( (.5 8.5, [ 5,7] 3 Pág 3 de 5- Iterolção Poloml
24 Desvtgem: rmer dervd descotíu os ós SPLINES DE ORDEM SUPERIOR ( QUADRÁTICOS E CÚBICOS SPLINES QUADRÁTICOS A fução sle qudrátc terolte de f( ode ser escrt em cd subtervlo como s ( b c,,..., ( otos subtervlos 3 costtes descohecds As 3 equções r determr s 3 costtes são: O vlor ds sles qudrátcs tem que ser gul os ós terores, s ( f(.e.,,,..., - (- codções s ( f( A rmer e últm sle têm que ssr os ós fs, s ( f( e s ( f( codções A rmer dervd os ós terores tem de ser gul, s ( s (,,..., - (- codções Escolh rbtrár um cojuto de oções. Cosderemos que segud dervd é ul o rmero oto: s ( Pág 4 de 5- Iterolção Poloml
25 EXEMPLO: Clculr sles qudrátcos que terolm fução tbeld y Pág 5 de 5- Iterolção Poloml
CAP. IV INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
CAP. IV INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL INTRODUÇÃO Muts fuções são cohecds es um cojuto fto e dscreto de otos de um tervlo [,b]. Eemlo: A tbel segute relco clor esecífco d águ e temertur: temertur (ºC 5 3 35 clor
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O ESTUDO DAS FRAÇÕES CONTÍNUAS José Crlos Rmos d Slv Oretdor: Jorge Ferdes Lm Neto RESUMO Esse rtgo tem omo objetvo resetr um estudo sobre frções otíus. Um frção otíu de um úmero rol ode ser reresetd or
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