Marília Brasil Xavier REITORA. Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

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3 Mríl Brsl Xver REITORA Prof. Rues Vlhe Fosec COORDENADOR GERA DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

4 MATERIA DIDÁTICO EDITORAÇÃO EETRONICA Odvldo Teer opes ARTE FINA DA CAPA Odvldo Teer opes REAIZAÇÃO BEÉM PARÁ BRASI - -

5 APRESENTAÇÃO.

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7 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO.... SISTEMA NUMÉRICO E ERROS INTRODUÇÃO ERROS NA FASE DE MODEAGEM ERROS NA FASE DE RESOUÇÃO MUDANÇA DE BASE... 9 EXERCÍCIOS.... RESOUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO INEARES..... RAIZ DE UMA EQUAÇÃO..... ISOAMENTO DE RAÍZES..... TEOREMA DE BOZANO..... EQUAÇÕES TRANSCENDENTES..... MÉTODO GRÁFICO... EXERCÍCIOS MÉTODO DA BISSEÇÃO... 6 EXERCÍCIOS MÉTODO DAS CORDAS... 9 EXERCÍCIOS MÉTODO DE NEWTON... EXERCÍCIOS.... SISTEMAS DE EQUAÇÕES INEARES..... TRANSFORMAÇÕES EEMENTARES MÉTODOS DIRETO Método de Guss-Jord... 6 EXERCÍCIOS Cálculo d Ivers de um Mtrz... 8 EXERCÍCIOS Cálculo do determte de um Mtrz... EXERCÍCIOS..... MÉTODOS ITERATIVOS Método de Jco... EXERCÍCIOS Método de Guss-Dedel...

8 EXERCÍCIOS INTERPOAÇÃO INEAR CONCEITO DE INTERPOAÇÃO INTERPOAÇÃO INEAR INTERPOAÇÃO QUADRATICA ERRO DE TRUNCAMENTO TEOREMA DE ROE INTERPOAÇÃO DE AGRANGE... 9 EXERCÍCIOS INTERPOAÇÃO DE NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS... EXERCÍCIOS AJUSTE DE CURVAS AJUSTE INEAR... 8 EXERCÍCIOS..... AJUSTE POINOMIA... EXERCÍCIOS INTEGRAÇÃO NUMÉRICA REGRA DOS TRAPÉZIOS... EXERCÍCIOS PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON... 9 EXERCÍCIOS SEGUNDA REGRA DE SIMPSON... 6 EXERCÍCIOS INTEGRA DUPA... 6 EXERCÍCIOS QUESTÕES COMPEMENTARES BIBIOGRAFIA... 7

9 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção. SISTEMA NUMÉRICO E ERROS.. INTRODUÇÃO A solução de mutos prolems pss pel modelgem mtemátc, pr sto devem ser represetdo por um fórmul ou procedmeto mtemátco, que epressm s crcterístcs prcps deste prolem. A seqüêc lógc d solução de um prolem, segue o dgrm o. Prolem Modelgem Modelo Mtemátco Resolução Solução É mportte ressltr, que em certs stuções solução estmd, pelos métodos umércos, se fst d verdder solução do prolem. Isto ocorre devdo preseç de fotes de erro que podem ocorrer fse de modelgem do prolem ou fse resolução do prolem... ERROS NA FASE DE MODEAGEM Os erros fse de modelgem ocorrem qudo descosdermos ou desprezmos lgum vrável presete o prolem... ERROS NA FASE DE RESOUÇÃO Nest fse, o erro é gerdo o mometo que se fzer os cálculos clculdor ou computdor devdo os processos de rredodmetos... MUDANÇA DE BASE Todo úmero se dez pode ser decompost d segute form m m. m é ou, m úmeros teros, com e m Eemplo: 8,6 8* * * * * De form semelhte. um úmero se pode ser escrto por: * 6* m m. m Eemplo:,... Pr trsformr um úmero tero d se pr se, utlz-se o método de dvsões sucessvs, que cosste em dvdr o úmero por, segur dvd-se por o 9

10 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc quocete ecotrdo e ssm o processo é repetdo té que o últmo quocete sej gul. O úmero áro será, etão, formdo pel cocteção do últmo quocete com os restos ds dvsões ldos em setdo verso o que form otdos, ou sej, N r q r Q R q q - r - N. r.....r. r. r Pr trsformr úmeros frcoáros d se pr se, utlz-se o método ds multplcções sucessvs, que cosste em: º Psso multplcr o umero frcoáros por ; º Psso deste resultdo, prte ter será o prmero dígto do úmero se e prte frcoár é ovmete multplcd por. O processo é repetdo té que prte frcoár do últmo produto sej gul zero. Eemplo: trsforme,87 pr se,87,7,7,7,7,,, logo,87, Eemplo: trsforme, pr se 6 =,,,,, =, logo,,

11 Sl d Mtss Sl do Epoete Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção De mer gerl, o úmero em um se é represetdo por: d d d d... t t. ep d são os úmeros teros cotdos o tervlo d,,,..., t ep represet o epoete de e ssume vlores etre I ep S, I, S os lmtes feror e superor, respectvmete, pr vrção do epoete d d d d... t t é chmdo de mtss e é prte do úmero que represet seus dígtos sgfctvos e t é o úmero de dígtos sgfctvos do sstem de represetção, comumete chmdo de precsão d máqu. Eemplo: Sstem decml 7, ,7. Oservção: mtss é um úmero etre e. Sstem áro.,. 6 7 S que cd dígto do computdor é chmdo de t. Apresetremos o um mqu fctíc de ts pr mtss, ts pr o epoete e t pr o sl d mtss e outro t pr o sl do epoete. Mtss Epoete Pr você eteder melhor fremos um eemplo umérco. Eemplo: Num mqu de clculr cujo sstem de represetção utlzdo teh, t, I e S, o úmero se decml é represetdo por,.,.

12 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc Oserve que utlzmos t = pr postvo e t = pr egtvo. Um prâmetro muto utlzdo pr vlr precsão de um determdo sstem de represetção é o úmero de css decms ets d mtss e que este vlor é ddo pelo vlor decml do últmo t d mtss, ou sej, o t de mor sgfcdo, logo: PRECISÃO t Eercíco Os úmeros segur estão se, escrev-os se. c d, e, f, Os úmeros segur estão se, escrev-os se. c 6 d, 6 e, f, Cosdere um máqu de clculr cujo sstem de represetção utlzdo teh, t, I e S.Represete est máqu os úmeros: 8, c d, 6. RESOUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO INEARES.. RAIZ DE UMA EQUAÇÃO Os métodos umércos são usdos usc ds rízes ds equções, ou os zeros res de f. Em gerl, os métodos, utlzdos presetm dus fses dstts: Fse I oclzção ou Isolmeto ds Rízes Está fse cosste em oter um tervlo que cotém rz d fução f =, e em segud remos pr segud fse. Fse II Refmeto Nest fse defmos precsão que desejmos d oss respost e escolhemos s promções cs detro do tervlo ecotrdo Fse I. Em segud melhormos, sucessvmete, promção d rz d fução f =, té se oter um promção pr rz detro de um precsão pré-fd.

13 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção.. ISOAMENTO DE RAÍZES Os métodos umércos utlzdos pr clculr rízes d equção f =, só clculm um rz de cd vez. Est é rzão porque devemos determr um tervlo pr cd rz que desejmos clculr. Teorem Se um fução cotíu f ssume vlores de ss oposto os potos etremos do tervlo [, ], sto é, f.f, etão o tervlo coterá, o mímo, um rz d equção f, em outrs plvrs hverá o mímo um úmero, pertecete o tervlo erto,,,, tl que, f Eemplo: Neste eemplo presetmos um fução f que possu detro do tervlo [, ] três rízes:, e. Isto é, são três vlores de, pr os qus fução f tem mgem gul zero, sto é: f, f e f. f Se fução possu mgem zero os potos, e, o gráfco d fução f, estes potos, tercept o eo dos. Oserve o eemplo que f e f, logo o produto f. f f f f Oserve que tod vez que detro de um tervlo [, ], tvermos f. f, sgfc que este tervlo temos pelo meos um rz d fução f, como vemos fgur segur.

14 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc f Qudo um fução possu um úmero pr de rízes detro do tervlos [, ], temos f. f f f f f f f f f f logo f. f logo f. f Qudo um fução ão possu rízes detro do tervlos [, ], temos f. f f f f f logo f. f.. TEOREMA DE BOZANO f f logo f. f Sej P um equção lgérc com coefcetes res e,. Se P.P, etão estem um úmero ímpr de rízes res o tervlo,. Se P.P, etão estem um úmero pr de rízes res o tervlo, ou ão estem rízes res o tervlo,... EQUAÇÕES TRANSCENDENTES f S que determção do úmero de rízes de fuções trscedetes é quse mpossível, pos lgums equções podem ter um úmero fto de rízes. Fução Seo Fução Cosseo f f f f

15 Y Y Y Y Y Y Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção X Fução Tgete 6 8 X Fução Epoecl X X.. MÉTODO GRÁFICO emre que um rz de um equção f é um poto ode fução f toc o eo dos. Outr form de detfcrmos s rízes d equção é susttur f g h, ode g h. As rízes de f correspoderm terseção ds fuções g e h. Oserve o eemplo segur, ode utlzmos fução f 7 que possu rízes e. Se fzermos f g h, ode g e h 7 temos terseção de g com h cotece em e. f g h X 7

16 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc Eercíco Dd fução f. se, sepre est em dus fuções e prome pelo meos um de sus rízes pelo método gráfco. Dd fução f, sepre est em dus fuções e prome pelo meos um de sus rízes pelo método gráfco. Dd fução f cos, sepre est em dus fuções e prome pelo meos um de sus rízes pelo método gráfco. Dd fução f se, sepre est em dus fuções e prome pelo meos um de sus rízes pelo método gráfco..6. MÉTODO DA BISSEÇÃO Pr utlzrmos este método devemos prmero solr rz detro de um tervlo [, ], sto é, devemos utlzr o método gráfco pr promr vsulmete rz pr em segud solá-l pelo tervlo,, ode est rz perteç este tervlo. Pr utlzrmos o método ds sseção é ecessáros que fução f sej um cotu o tervlo [, ] e que f.f. Pr plcmos o método d sseção devemos dvdr o tervlo [, ] o meo, otedo ssm o, com sto temos gor dos tervlos [,o ] e [ o, ] o Se fo, etão, o ; Cso cotráro, rz estrá o sutervlo ode fução tem ss oposto os potos etremos, ou sej se f.fo mplc que rz est o tervlo [,o ] fo.f mplc que rz est o tervlo [ o, ]. 6

17 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção A prtr dí costruremos um ovo tervlo [, ] O ovo tervlo [, ] que cotém é dvddo o meo e otém-se ode se f.f mplc que rz est o tervlo [, ]. f.f mplc que rz est o tervlo [, ]. O processo se repete té que se oteh um promção pr rz et, com tolerâc desejd. Tolerâc é um vlor que o clculst defe. A prtr d tolerâc, defmos o crtéro de prd, ode se pr de refr solução e se cet o vlor promdo clculdo. A tolerâc, é muts vezes vld por um dos três crtéros o: f E E E Eemplo: Clculr rz d equção f com E,. Solução Prmero devemos determr um tervlo ode est rz que desejmos clculr, pr sto devemos fzer um o seu gráfco. 8 6 Itervlo de usc Rz procurd A rz procurd está próm de e est detro do tervlo [ ]. ogo N f E 7

18 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc Costrução d tel ª lh: N terção cl N = temos [ o o ] [ ] sedo o poto médo o. ª lh: N = Como fo.fo, susttuímos o, logo [ ] [ ] sedo o poto médo,. ª lh: N = Como f.f, susttuímos, logo [ ] [, ] sedo o poto médo, 7. 8ª lh: N = 7 Como f 6.f6, susttuímos 7 6, logo [ 7 7 ] [ ] sedo o poto médo E. Como o erro é meor que tolerâc etão promção fl é,766. Eercíco Clculr rz d equção f l com E,. Clculr rz d equção f com E,. Clculr rz d equção f com E, utlzdo o método d sseção. Sugestão utlzr tervlo de usc [, ] Clculr rz d equção f com E, utlzdo o método d sseção. Sugestão utlzr tervlo de usc [, ] Clculr rz d equção f com E, utlzdo o método d sseção. Sugestão utlzr tervlo de usc [, ] 6 Clculr rz d equção f 6 d sseção. Sugestão utlzr tervlo de usc 7 Clculr rz d equção f se sseção. Sugestão utlzr tervlo de usc [, se com E, utlzdo o método [, ] com E, utlzdo o método d ] 8

19 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção.7. MÉTODO DAS CORDAS Pr utlzrmos este método devemos prmero solr rz detro de um tervlo [, ], sto é, devemos, ovmete, utlzr o método gráfco pr promr vsulmete rz pr em segud solá-l pelo tervlo [, ], ode est rz perteç este tervlo,. No método ds cords, o vés de se dvdr o tervlo [ ] o meo, ele é dvddo em prtes proporcos à rzão f / f. A fórmul de recorrêc pr promção d rz eésm é f c, ode,,,..., f fc ode o poto fdo c ou ou é quele o qul o sl d fução f cocde com o sl d segud dervd f '', ou sej f ''c.fc. f f h Cord o E A estêc d cord d orgem dos trâgulos semelhtes, que permtem estelecer segute relção: h f f f est relção os coduz um vlor promdo d rz h f f f f h o f Ao se plcr este procedmeto o ovo tervlo que cotém, como mostr fgur segur, [ ] ou [ ], otém-se um ov promção d rz pel promção presetd cm 9

20 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc f Cord h f Ns fgurs segur, como o método ds cords é escolhdo o etremos do tervlo [,] que deve ser gul o vlor o. f f h h o o f f '' f e f c f f '' f e f c f f o h h o f f f '' f e f c f '' f e f c

21 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção Eemplo: Clculr rz d equção f com E,. Solução Prmero devemos determr um tervlo ode est rz que desejmos clculr, pr sto devemos fzer um o seu gráfco. 8 6 Itervlo de usc Rz procurd A rz procurd está próm de e est detro do tervlo [ ]. ogo N f E Costrução d tel Como f '' f '' e f 6 logo f ''.f de ode temos que c usdo fórmul de recorrêc f c temos que f fc f f f. [ ] [.. ] f f f.8 [ ] [..8 ] f.7 [ ] [..7 ] f f f.768 [ ] [..768 ] f f Como o erro é meor que tolerâc.6 E etão promção fl é,768.

22 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc Eercíco Clculr rz d equção f l com E,. Clculr rz d equção f com E,. Clculr rz d equção f com E, utlzdo o método d sseção. Sugestão utlzr tervlo de usc [, ] Clculr rz d equção f com E, utlzdo o método d sseção. Sugestão utlzr tervlo de usc [, ] Clculr rz d equção f com E, utlzdo o método d sseção. Sugestão utlzr tervlo de usc [, ] 6 Clculr rz d equção f 6 se com E, utlzdo o método d sseção. Sugestão utlzr tervlo de usc [, ] 7 Clculr rz d equção f se, com E, utlzdo o método d sseção. Sugestão utlzr tervlo de usc [.,. ].8. MÉTODO DE NEWTON Semelhtes os métodos d sseção e d cord, devemos prmero solr rz que desejmos procurr detro de um tervlo [, ] utlzdo pr sto o método gráfco. Pr utlzrmos o método de Newto é ecessáros que fução f sej um cotu o tervlo [, ] e que o seu úco zero este tervlo; s dervd f ' [ f ' ] e f '' devem tmém ser cotíus. Pr se ecotrr epressão pr o cálculo d promção pr rz devemos fzer um epsão em sére de Tlor pr f, de ode temos f f f ' se fzermos f f, oteremos segute epressão f f ', soldo o termo temos f. f ' ode é um promção de.

23 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção f f f f '' f ' f f '' f ' f f f f '' f ' f o f '' f ' Eemplo: Clculr rz d equção f com E,. Solução Prmero devemos determr um tervlo ode est rz que desejmos clculr, pr sto devemos fzer um o seu gráfco. 8 6 Itervlo de usc Rz procurd A rz procurd está próm de e est detro do tervlo [ ]. ogo

24 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc N f E Oserve costrução d tel: Como f ' f ' 6 e como f '' logo temos usdo epressão f, temos segute recorrêc f ' f f '. [ ] [.. ] f f '.7 [ ] [..7 ] f f '.7 [ ] [..7 ] Como o erro é meor que tolerâc. E etão promção fl é,7. Eercíco Clculr rz d equção f l com E,. Clculr rz d equção f com E,. Clculr rz d equção f com E, utlzdo o método d sseção. Sugestão utlzr tervlo de usc [, ] Clculr rz d equção f com E, utlzdo o método d sseção. Sugestão utlzr tervlo de usc [, ] Clculr rz d equção f com E, utlzdo o método d sseção. Sugestão utlzr tervlo de usc [, ] 6 Clculr rz d equção f 6 se com E, utlzdo o método d sseção. Sugestão utlzr tervlo de usc [, ] 7 Clculr rz d equção f se, com E, utlzdo o método d sseção. Sugestão utlzr tervlo de usc [.,. ]

25 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção. SISTEMAS DE EQUAÇÕES INEARES Pr etedermos os métodos de resolução de sstems leres, devemos prmero compreeder que um sstem ler S é um coleção de equções leres, como mostrremos segur... que pode, tmém, ser represetdo por S A ode A é um mtrz qudrd de ordem, e ão mtrzes, sto é, com lhs e um colu. A mtrz A tem segute form ode A j é chmdo coefcete d cógt j e os são chmdos termos depedetes. Com mtrz dos coefcetes e mtrz dos termos depedetes motmos mtrz B, deomd de mtrz mpld, que pode ser escrt por B [ A : ] ou sej B Um solução do sstem S, são os vlores,,...,, que costtuem mtrz colu, deomd de mtrz solução que pode ser escrt por Os sstems leres S podem ser clssfcdos d segute form: Homogêeo Possível Determdo Idetermdo S Impossível Não Homogêeo Possível Determdo Idetermdo

26 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc S Um sstem A é deomdo de homogêeo qudo mtrz, dos termos depedetes, é ul, o sstem S A é deomdo de ão-homogêeo qudo mtrz, ão é ul, sto é, este pelo meos um termo em, que ão é ulo. Um sstem é dto mpossível qudo ão há ehum solução que stsfç o sstem, sto é, su solução é o vzo. Um sstem é dto possível qudo há, pelo meos, um seqüêc de vlores,,..., que stsfç o sstem, sto é, su solução uc é o vzo. Se estr um úc seqüêc de vlores que stsfç o sstem S, etão este sstem é dto Possível e determdo, se estr ms de um seqüêc de vlores,,..., que stsfç o sstem S, estão podemos frmr que o sstem é Possível e determdo... TRANSFORMAÇÕES EEMENTARES O cálculo d solução de sstems trvés de métodos tertvos, cosste em um seqüêc de trsformções, ode um sstem ms compleo é trsformdo em outro ms smples com mesm solução. As trsformções utlzds pr modfcr os sstems de equções leres são formds pels segutes operções elemetres: Trocr ordem de dus equções do sstem. Multplcr um equção do sstem por um costte ão um. Adcor dus equções do sstem. A prtr ds operdor presetds podemos trsformr um sstem S em um sstem S. Isto é, S e S são equvletes... MÉTODO DIRETO Cosste de métodos que determm solução do sstem ler com um úmero fto de trsformções elemetres.... Método de Guss-Jord Eemplo: Clcule solução do sstem z z z 6 Solução Como já eplcmos, pr melhor plcr o método de Guss-Jord devemos escrever o sstem form mtrcl: z z z z 6-6

27 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção 7 A mpld B é modfcd segudo s epressões à dret gerdo um ovo sstem sempre posto o B B B B B B B B z m m m m m m m m m m m m

28 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc 8 Eercíco Clcule solução do sstem 6 z z z 7 z z z c z z z d 7 8 t z t z t z t z e z z z f 8 z z z... Cálculo d Ivers de um Mtrz O método de Guss-Jord pode clculr vers de um mtrz. No clculo d vers de um mtrz M, mtrz mpld B é motd utlzdo mtrz M e um mtrz detdde I d dmesão d mtrz M. Isto é, mtrz detdde I susttu mtrz dos termos depedetes, utlzd resolução de sstems leres. Deste modo, mtrz B fc d segute form: I] [M : B - B B B m m m m m m m m

29 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção B B B - M e M Eercíco Determe vers ds mtrz o c - - d - - Determe vers ds mtrzes o

30 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc c d... Cálculo do determte de um Mtrz O método de Guss-Jord, tmém pode ser utlzdo pr clculrmos o determte de um mtrz. Pr sto, devemos esclor mtrz mpld B, como fzemos o cálculo d solução do sstem e determção d mtrz vers, porém ão devemos fzer o últmo psso, que é ormlzção d mtrz pelos elemetos d dgol prcpl. Eemplo Clcule o determte d mtrz - M - B - - B B B. -.. B.. *. *. M det m m. m m m m -. m m

31 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção Eercíco Determe o determte ds mtrz o c - - d MÉTODOS ITERATIVOS A outr form de se determr solução de um sstem A, que é trvés dos métodos tertvos. Os métodos tertvos cosstem em determr um seqüêc de promções, k,...,, pr solução do sstem, prtr de um dd promção cl. Segudo este rcocío, o sstem outro sstem equvlete com segute form k k F ode F é um mtrz prtr d promção, e d são mtrzes. d k A, é trsformdo em um é um promção otd k. Sedo seqüêc de promções otd d segute form F F F d d d... k k F d As promções são clculds té que se teh k m k Se lm k, etão seqüêc k,,..., k coverge pr solução.

32 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc... Método de Jco Pr etedermos o método de Jco tomemos o sstem em cd equção do sstem devemos solr o vlor de, sto é, prmer equção devemos solr, segud equção devemos solr, e ssm por dte, com sto teremos: Oservção:... Os elemetos devem ser dferetes de zeros,, se ão teremos dvsão por zero. Cso sto ão ocorr devemos regrupr o sstem pr que se cosg est codção k k Podemos colocr o sstem segute form F d, ode F / / / / / / / d... / / / / / O método de Jco fuco d segute form: º Psso: Devemos escolher um promção cl. º Psso: Devemos gerr s promções k prtr ds terções

33 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção k F k d, k,,,... º Psso: Prmos de clculr s promções qudo um dos crtéros de prd o for stsfeto. k k º crtéro: m E, ode E é tolerâc. º crtéro: k M, ode M é o úmero mámo de terções. Oservção: A tolerâc E f o gru de precsão ds soluções. Eemplo Resolv pelo método de Jco o sstem com E ou k. Solução Isoldo o vlor de prmer equção e segud equção, temos s equções de terção k k ode k,,,... k k Utlzremos como promção cl pr clculr, como mostrremos segur Pr k.... Pr k repetremos estes cálculos pr k,,... e colocmos os vlores otdos tel o: k k k E

34 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc ou k?.... Eercíco Resolv o sstems, com [ ], terções. z z z z c z d z... MÉTODO DE GAUSS-SEIDE E ou k, ode k é o úmero de z z z z t z t z t z t O método tertvo de Guss-Sedel cosste em: º Psso: Defrmos um promção cl. º Psso: Clcul-se seqüêc de promções segutes fórmuls:,,..., k utlzdo-se s

35 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k, No cálculo d promção k, utlzmos s promções k, Isto fz com que este método teh covergêc ms rápd. Eemplo Resolv pelo método de Jco o sstem k,..., k. com [ ], E ou k. Solução Isoldo o vlor de prmer equção e segud equção, temos s equções de terção k k ode k,,,... k k O clculo ds promções é feto d segute form Pr k ª terção..... Pr k ª terção repetremos estes cálculos pr k,,... e colocmos os vlores otdos tel segur.

36 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc k k k E ou k? Eercíco Resolv o sstems, com [ ], E ou k, ode k é o úmero de terções. Utlze o método de Guss Sedel. z z z z z c z d z z z z t z t 9 z t 6 z t 8 6

37 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção. INTERPOAÇÃO INEAR.. CONCEITO DE INTERPOAÇÃO Sej fução f, cujos vlores estão em um tel. Se desejrmos determr f sedo:, ode,,,..., e, O tem represet um prolem de terpolção, sto é, está detro do tervlo mostrdo, logo devemos clculr um polômo terpoldor, que é um promção d fução teld. O tem represet um prolem de etrpolção, sto é, está for do tervlo mostrdo. Nos trtremos pes de prolems de terpolção este cpítulo... INTERPOAÇÃO INEAR Eemplo - N tel está produção segur está ssldo o úmero de httes de um cdde A em qutro cesos. Tel ANO 9 96 Nº de Httes Determr o úmero promdo de httes cdde A em 9. Solução Neste cso, o polômo terpoldor terá gru, sto é, será d form P Pr se determr os coefcetes, e devemos fzer P P Pr 9 e.7 temos que 9.7 Pr 96 e temos que Com sto temos o segute sstems ode 8, e 686 logo teremos P 8, 686 7

38 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc como queremos ser o úmero promdo de httes cdde A em 9, temos 8, httes P.. INTERPOAÇÃO QUADRATICA Eemplo - N tel segur está ssldo o úmero de httes de um cdde A em qutro cesos. Tel ANO Nº de Httes Determr o úmero promdo de httes cdde A em 96. Solução Neste cso, o polômo terpoldor será de º gru, sto é, será d form P Pr se determr os coefcetes,, e devemos fzer P P P Pr o prolem em questão temos: cuj solução, trvés de esclometo esdo o cpítulo teror é. logo teremos P. como queremos ser o úmero promdo de httes cdde A em 96, temos P httes 8

39 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção.. ERRO DE TRUNCAMENTO Pr que você eted o erro de trucmeto, oserve o gráfco mostrdo fgur segur. P Vlor Apromdo Vlor rel f Fgur. f é fução teld e P um polômo terpoldor de º gru. Podemos oservr que, este cso, P ão prom em solução. O erro de trucmeto cometdo o poto é ddo pel fórmul ET A, ode A é um costte determr, como fução erro de trucmeto. No clculo de A, utlzremos fução ulr G t defd por: Gt ft P t E t.. TEOREMA DE ROE T. Se fução f é cotíu o tervlo [, ] e dferecável o tervlo, e f f, etão, este um,, tl que f '.6. INTERPOAÇÃO DE AGRANGE As terpolções presetds terormete terpolção ler e qudrátc são csos prtculres d terpolção de grge. Agor vmos determr, o polômo terpoldor P de gru meor ou gul, sedo ddo pr sto, potos dsttos. Teorem Sejm,,,,,...,, potos dsttos, sto é, j pr j. Este um úco polômo P de gru ão mor que, tl que p, pr todo. O polômo P pode ser escrto form: ou d segute form P P... 9

40 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc Oserve que P é, o mámo, de gru, se. Pr determr o polômo P devemos cohecer os vlores,,,...,. Como P cotém os potos, podemos escrever p, d segute form S: A solução do sstem S são os vlores,,,...,..., com os qus determmos o polômo P. Pr verfcrmos que tl polômo é úco, st clculrmos o determte d mtrz A mtrz dos coefcetes e verfcr que ele é dferete de zero. Oserve A que mtrz A, tem form d mtrz de Vdermote, tmém cohecd como mtrz ds potêcs. Seu determte, segudo Álger er, é ddo pel epressão: det A j, com j Semos que det A, logo sto prov que P é úco. j Oteção d Fórmul Pr que você eted terpolção de grge é ecessáro que compreeder como é otd fórmul de recorrêc deste método. O teorem fudmetl d Álger grte que podemos escrever o polômo P d segute form P... ode,,,,..., são s rízes do polômo P. Motremos gor, um seqüêc de polômos ulres d segute form º polômo: se retrrmos oteremos o polômo p... º polômo: se retrrmos oteremos o polômo p...

41 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção º polômo: se retrrmos oteremos o polômo p... Segudo este rcocío oteremos os polômos p, p, p,..., p Estes polômos podem ser escrtos form stétc: p,,,,,..., j j j. Ts polômos possuem s segutes propreddes p, pr todo. p j, pr todo j. e são cohecdos como polômos de grge. O polômo P pode ser escrto como um comção ler dos polômos p, p, p,..., p, d segute form: P p p p... p ou P p Ms, como p j, pr todo j e p, pr todo, temos que P p logo P p e como P, teremos susttudo este vlor o somtóro será de ode teremos j j j como p etão P P P p p j j deomd de fórmul de terpolção de grge. p p p j j

42 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc Eemplo - A prtr ds formções estetes tel, determe: O polômo terpoldor de grge P Solução Como temos potos, o polômo terpoldor será de gru, logo j P, ou sej P j j j susttudo os vlores d tel, teremos... P smplfcdo epressão, temos o segute polômo terpoldor P P.... 7

43 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção Eercíco A prtr ds formções estetes tel, determe: I....6 O polômo terpoldor de grge P A prtr ds formções estetes tel, determe: I....7 O polômo terpoldor de grge P A prtr ds formções estetes tel, determe: I....6 O polômo terpoldor de grge P A prtr ds formções estetes tel, determe: I....7 O polômo terpoldor de grge P

44 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc.7. INTERPOAÇÃO DE NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS Coceto de Dfereçs Dvdds Sej f um fução que cotém potos dsttos,, ode,,,...,. Represetremos dfereç dvdds, por f [ ]. Defremos dfereç dvdd de ordem zero própr fução, sto é, f [] f. A dfereç dvdd de ª ordem pr os rgumetos e é um promção d ª dervd, sto é, f f f [, ], ode temos segute propredde f [, ] f [, ]. Cosderdo f podemos escrever s dfereçs dvdds de º ordem, de form gerl, por: f [, ]. A dfereç dvdd de ª ordem pr os rgumetos, e é dd por: f [, ] f [, ] f [,, ]. A dfereç dvdd de ª ordem pr os rgumetos,, e é dd por: f [,, ] f [,, ] f [,,, ]. Geercmete, dfereç dvdd de ordem é dd por: f [,,..., ] f [,,,..., f [,,,..., ] Eemplo - Dd fução teld clcule dfereç dvdd de segud ordem., ] Solução Devemos clculr s dfereçs dvdds de prmer ordem 7..9 f [, ] f [, ].6.. com tods s dfereçs dvdds de prmer ordem clculds, vmos etão clculr de segud ordem

45 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção f [,, ] f [, ] f [, ] Pr fcltr os procedmetos umércos e orgzr os ossos cálculos colocremos própr tel o desevolvmeto do clculo d segute form: [, ] f f f [,..9 [, ]. 7. ].. f [,, f [,, ] ] Fzedo susttução umérc temos: [, ] f f [,, ] A fórmul de recorrêc de terpol, de Newto com dfereçs dvdd, depede do úmero de potos estete tel. º Cso: Estem só dos potos tel A fórmul, de terpolção, é otd prtr d epressão de dfereç dvdds de prmer ordem, f f f f f [, ] ode soldo f, pr oter fórmul de terpolção: f f f [, ] ssumremos, ode é qulquer vlor detro do tervlo [, ]. º Cso: Estem só três potos tel A fórmul de terpolção, este cso, é otd prtr d epressão de dfereç dvdds de segud ordem, f ode soldo [, ] f [, ] f [, ] f [, ] f [,, ] f, otemos: f [, ] f [, ] f [,, ] Susttudo prmer fórmul de terpolção, temos f f {f [, ] f [,, ]} [, ]

46 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc que pode ser escrt por f f f [, ] f [,, ] que é fórmul de terpolção pr este cso, ode ssumremos, ode é qulquer vlor detro do tervlo, ] [. º Cso: Estem só qutro potos tel A fórmul de terpolção, este cso, é otd prtr d epressão de dfereç dvdds de tercer ordem, f [,, f [,, ] f [,, ] f [,, ] f, ] f f [,, ] f [,, ] f [,,, ] ode solmos [,, ], pr oter: Susttudo segud fórmul de terpolção, temos f f que pode ser epresso por: f f f [ f f, [ [ {f ],, ] [,, ] que é fórmul de terpolção pr este cso, ode ssumremos, ode é qulquer vlor detro do tervlo, ] [. º Cso: Geerlzção pr potos tel Pr um tel de potos, fórmul de terpolção pode ser epress, segudo o mesmo rcocío, por:, ] f [,, f [, [, ] },,, ], ] f f f [,..., ] j j ode ssumremos, ode é qulquer vlor detro do tervlo [, ]. Eemplo - Determr o vlor promdo de f., usdo todos os potos teldos

47 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção Solução I f[ ] f [ ] f [ ] f [ ] f [ ] Utlzmos os vlores em zul o mometo s susttução f. f [ ]... f [ ]... f [ ] f. [ ]... f [ ] f..6 Eercíco Determr o vlor promdo de f., usdo todos os potos teldos I Determr o vlor promdo de f., usdo todos os potos teldos I Determr o vlor promdo de f., usdo todos os potos teldos

48 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc. AJUSTE DE CURVAS.. AJUSTE INEAR O juste ler cosste em justr um fução do prmero gru o ddos, ode e são deomdos prâmetros do modelo. Y ŷ d Y ŷ Fgur As olhs represetm os vlores mostrdos o cmpo e ret represet fução justd os potos mostrdos. No poto o vlor represet o vlor mostrdo, e ŷ o seu vlor estmdo pel fução justd e d ŷ é dfereç etre o vlor mostrdo vlor rel do cmpo e o vlor estmdo. Pr estmrmos fução ŷ, o erro etre o vlor mostrdo e o vlor estmdo ŷ deve ser mímo, pr sto som dos qudrdos do erro de todos os potos deve ser meor possível. Pr você eteder melhor, prmero defremos fução que represet som do qudrdo dos erros: D ŷ, ode temos é o úmero de potos mostrdos. A mgtude de D depede d ret justd, ou sej depede de e. Assm como ŷ, podemos escrever: D,. Etão pr determrmos e d fução ŷ, devemos fzer D, e D,, O que result s epressões: ŷ e Eemplo: Ecotre o úmero de httes de um cdde o o de 97 cosderdo os ddos do ceso mostrdo Tel.. 8

49 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção Ao Número de httes Tel Ceso feto cdde hpotétc A. Pr clculrmos e devemos prmero completr tel com s colus cotedo formção de,,, smplesmete pel som dos elemetos de cd colu., e que são otdos Número de Ao httes Tel Estão os vlores de,,,,, e. Com os vlores d Tel podemos clculr os coefcetes e, d segute form: * 968 * * Com sto fução de juste é ŷ ; O úmero de httes em 97 é otdo pel fórmul ŷ, d segute form: ŷ * 97 99, ogo tvemos 99 httes em 97. 9

50 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc Eercíco Com se dos ddos mostrdos dspostos tel segur ecotre o vlor qudo., segudo um promção ler Com se dos ddos mostrdos dspostos tel segur ecotre o vlor qudo.6, segudo um promção ler AJUSTE POINOMIA O juste ler é um cso prtculr do juste poloml, ode justremos os potos mostrdos um polômo, ŷ, de gru. Os são coefcetes ŷ....,,,,..., são otdos trvés de um sstem: X A B. Pr justrmos um ret polômo do º gru ŷ, devemos mmzr fução D,, pr sto devemos fzer D D,,

51 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção Podemos escrever este sstem form mtrcl Comprdo com o sstem B A X, temos que: X, A e B Com resolução do sstem, ecotrremos A que possltrá determção do polômo terpoldor ŷ. Pr etedermos como terpolr um polômo de gru, oserve tel segur: Polômo terpoldor Sstem ser determdo ŷ ŷ ŷ 6

52 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc Segudo o rcocío d tel, podemos frmr que pr justrmos o polômo: ŷ... Devemos resolver o sstem: 6 Eemplo - Com se dos ddos mostrdos dspostos tel segur ecotre o vlor qudo, segudo o polômo terpoldor ŷ Solução: Pr motrmos o sstem devemos completr tel com s formções:

53 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção Dest form o sstem pr o juste do polômo ŷ , dqure form: De ode otemos o segute polômo ŷ, cujo gráfco est mostrdo Fgur jutmete com os potos mostrdo. ogo qudo ŷ Fgur Polômo terpoldor ŷ e potos mostrdos. Eercíco Com se dos ddos mostrdos dspostos tel segur ecotre o vlor qudo, segudo o polômo terpoldor ŷ

54 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc Com se dos ddos mostrdos dspostos tel segur ecotre o vlor qudo., segudo o polômo terpoldor ŷ Com se dos ddos mostrdos dspostos tel segur ecotre o vlor qudo., segudo o polômo terpoldor ŷ Com se dos ddos mostrdos dspostos tel segur ecotre o vlor qudo, segudo o polômo terpoldor ŷ Com se dos ddos mostrdos dspostos tel segur ecotre o vlor qudo. 7, segudo o polômo terpoldor ŷ

55 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção Com se dos ddos mostrdos dspostos tel segur ecotre o vlor qudo., segudo o polômo terpoldor ŷ INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Se fução f é cotíu em um tervlo [, ] e su prmtv F é cohecd, etão áre é clculd pel tegrl defd dest fução o tervlo defdo e é dd por: fd F F, ode F ' f. 6.. REGRA DOS TRAPÉZIOS Neste método, susttuímos rchurd que se desej clculr pel áre de um trpézo como lustr fgur segur. f f f f f f h h Fgur Áre rchurd compreedd pel fução f e o eo do o tervlo [ ]. Trpézo utlzdo pr promr áre rchurd do tem. O trpézo utlzdo pr promr áre rchurd é determdo, utlzdo os dos potos do tervlo, ode pssmos um ret. D geometr semos que áre deste trpézo é dd por: h A f f.

56 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc A dfereç etre tegrl et de f áre so curv f e tegrl promd áre do trpézo é deomd de erro de tegrção. Um form de se melhorr o resultdo estmdo, sto é, dmur dfereç etre o resultdo estmdo e o eto regr do trpézo é sudvdr o tervlo [ ] em tervlos de mpltude h e em cd tervlo plc-se regr dos trpézos. f h h h h h = - = Fgur Áre compreedd pel fução f e o eo do o tervlo [ ] é promd pel som de áres dos trpézos de mesm se compreeddos o tervlo ] [. Dest form, áre promd é clculd pel epressão: A h h... h, Que pode ser smplfcdo pr A h.... Ode E é o erro cometdo plcção d regr dos trpézos o tervlo cujos etremos e, ou sej, são h E f '' ; Com sto o erro totl cometdo é som dos erros cometdos em cd tervlo, logo h E f '', e pel cotudde de f '', este em, tl que: E f '', ode. 6

57 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção Eemplo Clcule áre etre o gráfco v t t e o eo do, detro do tervlo [ ]. A precsão do vlor promdo depede do úmero de trpézos, oserve Resolução lítc: t A t t dt t A * * A Apromção pr = h A E f '' A E Apromção pr = h A A E f '' E Apromção pr = 6 A h 6 7 A.7 E f '' E.96 Apromção pr = A.68 E f '' E Fgur Mostrdo promção pel regr dos trpézos pr dferetes vlores de. Com v 't t, e como v ''t, logo f '' em tods s epressões, ode. 7

58 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc Eercíco Dd fução f clculr o vlor d tegrl I trpézos e dvddo o tervlos 6 prtes. Dd fução f l clculr o vlor d tegrl I trpézos e dvddo o tervlos 6 prtes. Dd fução f clculr o vlor d tegrl I trpézos e dvddo o tervlos 6 prtes. Dd fução f e clculr o vlor d tegrl I trpézos e dvddo o tervlos 6 prtes. fd, usdo regr dos f d, usdo regr dos fd, usdo regr dos f d, usdo regr dos Utlzmos um promção de prmer ordem do polômo terpoldor de Gregor- Newto P pr represetr fução f. P z z z z z z *! *...* z! z z * z! *... Isto é, utlzmos regr do trpézo, utlzmos P z =, pr promr f, com sto tegrl pssou ser determd por I fd z d Como z h d h dz, e cosderdo e, temos que pr z h, pr z h susttudo os lmes tegrl temos I z d z hdz h z z 8

59 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção I h * h * I h I h I h, fo est epressão utlzd o método dos trpézos. 6.. PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON A vtgem, de revermos o método dos trpézos usdo o polômo terpoldor de Gregor-Newto P e que prmer regr de Smpso, utlzmos um promção z z de ª ordem deste polômo, sto é, fremos: f z *, ode! z. h Com sto o vlor d tegrl ser: z z I fd z * d! Como z d h dz, h Pr se promr fução f por um polômo do º gru, serão ecessáros potos:, e Fgur. f f f f P h Fgur Gráfco de f jutmete com promção de segud ordem P. Cosderdo e, temos que : z h, z h Com sto, tegrl será resolvd d segute form h 9

60 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc I fd z z z! * hdz Cujo resultdo é: I h Como emos que h, etão com susttução teremos I que é deomdo de ª regr de Smpso. I h, fo est epressão utlzd o método dos trpézos. Pr dmur o erro, sto é, dfereç do vlor estmdo e do vlor rel, devemos sudvdr o tervlo de tegrção, d mesm form que fzemos o método dos trpézos, com sto, tegrl I fd, será plcd em cd dupl de tervlos d segute form: h h h I... º sut ervlo º sut ervlo últmo sut ervlo O erro totl cometdo será som dos erros cometdos em cd plcção d ª regr de Smpso s dupls de sutervlos e são determdos por: E 8 IV f, ode. Eemplo. Clcule o vlor d tegrl Solução d, com Fgur Gráfco d fução f...6.8, ode áre rchurd é d. 6

61 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção Devemos defr qul dever ser o úmero de sutervlos devemos usr, pr sto utlzremos oss fórmul do erro totl Como f E, etão temos que IV f f IV, ode, ode. IV Semos que o mor erro totl será otdo qudo, logo f, e m cosderdo, etão temos: * Isto é, devemos escolher um úmero de sutervlos mor que 7, e escolheremos pr este cso 8. O vlor d promção fo otdo, pr 8, prtr d tel segur. c Tel - c são os coefcetes que devem ser plcdos pr determr promção do vlor d tegrl. Pr clculrmos o vlor d tegrl pel segute epressão d 6 7 h d Susttudo os vlores d tel teremos

62 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc Eercíco Clcule o vlor d tegrl Smpso. Clcule o vlor d tegrl Smpso. Clcule o vlor d tegrl Smpso. Clcule o vlor d tegrl Smpso. d l d d, com, com, com l d, com, usdo prmer regr de, usdo prmer regr de, usdo prmer regr de, usdo prmer regr de 6.. SEGUNDA REGRA DE SIMPSON N segud regr de Smpso utlzmos um promção de tercer ordem o polômo terpoldor de Gregor-Newto P o que result epressão : P z z z! * z z z! *, ode z. h Com sto o vlor d tegrl ser: z z z z z I fd z * *!! d como z d h dz, h Dest form solução d tegrl é: I h 8 O erro totl este método é ddo pel epressão E IV f,. 8 6

63 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção Pr dmur o erro qudo o tervlo ão for muto pequeo, devemos sudvdr o tervlo de tegrção d segute form: h h h I º sut ervlo º sut ervlo últmo sut ervlo Eemplo Clcule o vlor d tegrl I l e d Solução Clculr est tegrl sgfc determr áre compreedd etre o gráfco e o eo, como mostr Fgur 8. O vlor d tegrl é otdo pel segute epressão: h l e d Os vlores de,,,..., são otdos tel segur, O vlor d promção fo otdo, pr 9, prtr d tel segur. I c Tel - c são os coefcetes que devem ser plcdos pr determr promção do vlor d tegrl. Susttudo os vlores d tel teremos l e d Eercíco Clcule o vlor d tegrl Smpso. Clcule o vlor d tegrl Smpso. d l d, com, com, usdo segud regr de, usdo segud regr de 6

64 z z Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc Clcule o vlor d tegrl Smpso. Clcule o vlor d tegrl Smpso. d, com l d, com, usdo segud regr de, usdo segud regr de 6.. INTEGRA DUPA Pr clculrmos o volume etre fução f, e o plo, mostrdo fgur, devemos clculr um tegrl dupl Volume f, dd. D Clculrmos umercmete tegrl dupl presetd sgfc plcrmos os métodos presetdos s dus dreções, sto é, os dos eos, e. Sedo que D é um retâgulo lmtdo por e c d, podemos escrever tegrl d segute form: V d c f,d d d Fzedo f,d G, temos que c Oservção: V G d. Oserve que temos dreção dos dos eos um tegrl defd, cuj solução umérc já fo ordd terormete. O prolem gor é como mplemetr s dus dreções e o mesmo tempo. Eemplo - Pr clculr o volume compreeddo etre fução e Fgur 9, devemos clculr tegrl f, dd., o tervlo tervlos m tervlos 6

65 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção Fgur Superfíce gerd pel fução f, e represetção gráfc d dvsão o tervlo em sutervlos e e m sutervlos. Pr clculrmos tegrl dd, seguremos os segutes pssos: º Psso: Dvdremos o domío D, em m retâgulos, os qus clculremos o vlor d fução f,. No eemplo dvdmos o tervlo em sutervlos e o tervlo em m sutervlos como mostr fgur. logo teremos s segutes ídces,,,, e j,,,,, e fução f, será vld os segutes vlores de e : = {, /, /, /, } e = {, /, /, /, }. J / / / / / / º Psso: Escolher o método ser usdo o cálculo d tegrl defd em cd eo, o que mplcrá em estpulrmos qus serão os ídces que fcrão áre rchurd tel teror. Escolheremos, este eemplo, usr o logo do eo regr do trpézo c {,,,, }, e o logo do eo usrmos prmer regr de Smpso c j {,,,, }, como mostr próm tel / / / j c j / / / c 6

66 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc º Psso: Fremos gor o produto dos ídces e gurdremos o resultdo detro dos retâgulos rchurdos próm tel. Por eemplo Pr c e c j * Pr c e c j * 8 j / / / / / / c c j º Psso: Pr coclur tel só os rest clculr o vlor d fução detro de cd retâgulo rchurd próm tel, pr sto utlzremos os vlores de e já mostrdos tel, d segute form: Pr e f, / / / j c j c / / / º Psso: Pr clculrmos o vlor d tegrl dd remos somr tods s multplcções etre o vlor d fução áre rchurd tel teror pelo produto dos ídces pequeo qudrdo em rco detro ds áres rchurds, o que pode ser epresso pelo somtóro: 66

67 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção m dd k k c c j f, j, j ode k e k são os ftores estetes os métodos d regr do trpézoh/, º regr de Smpso h/ e º regr de Smpso h/8 que multplc o somtóro e este prolem são: k.6 e k.67 O somtóro é determdo por m c c j f, j * *, j Cujo resultdo é m c c j f, j j *, *, *, 7 *, 8 8 *, *, 7 8 *, * 6, Com sto, o vlor d tegrl é: dd.6 *.67 * *, 8 *, 7 *, 8 * 6, * 7, 8 *, 7 8 *, * 6, 8 * 7, * 8, 7 *, * 6, * 7, * 8, 7 *, Eercíco Clcule o vlor d tegrl / Clcule o vlor d tegrl / Clcule o vlor d tegrl se Clcule o vlor d tegrl e dd cos dd l dd dd 67

68 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc QUESTÕES COMPEMENTARES N tel o, d é dstc, em metros, que um l percorre o logo de um co de chão em t segudos. Ecotrr dstc percorrd pel l segudos pós ter sdo dsprd. Tempo de dspros 6 8 Dstc percorrd o logo do co.,,9,7,87, Durte três ds cosecutvos form tomds s temperturs em º C um regão de um cdde, por qutro vezes o período ds 6 às hors. Determr, usdo todos os ddos d tel o, méd ds temperturs dos três ds às 9 hors. Hor º d º d º d Determr, usdo todos os vlores ds tels o o vlor de FG, X F X G,,,,,8,,69,,6,6,6,6,67,8 6,9 lttude de 89m, sedo que O poto de eulção d águ vr com lttude, coforme mostr tel o. Determr, usdo os cco prmeros potos d tel, o poto de eulção d águ em um locl que possu lttude de m. Determr, usdo os cco potos ms prómos de 89, o poto de eulção d águ em um locl que possu lttude de 89m. Alttudem Poto de eulção d águ º C 8 97,8 9 96,8 96, 96,8 9,

69 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção , 7 9, 8 9,67 9 9, 9 A velocdde do som águ vr com tempertur, usdo os vlores d tel o, determr o vlor promdo d velocdde do som águ ºC. Tempertur ºC Velocdde m/s 86 9, 8 98,9, 8 6 Um utomóvel percorreu 6 km um rodov que lg dus cddes e gstou, este trjeto, hors e mutos. A tel o dá o tempo gsto e dstc percorrd em lgus potos etre s dus cddes. Determr: Qul fo promdmete dstc percorrd pelo utomóvel os prmeros mutos de vgem, cosderdo pes os qutro prmeros potos d tel? Qutos mutos o utomóvel gstou pr chegr à metde do cmho? TEMPO em muto DISTANCIA em metro, 8, 7, A tel o relco qutdde del de clors, em fução d dde e do peso, pr homes e mulheres que possuem tvdde físc moderd e vvem um tempertur mete méd de ºC. Peso Cot de clors em kcl kg Idde em os homes. Idde em os mulheres

70 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc Determe cot promd de clors pr um homem de: os que pes 7 qulogrms; os que pes 6 qulogrms; c os que pes 78 qulogrms. Determe cot promd de clors pr um mulher de: os que pes 6 qulogrms; os que pes qulogrms; c os que pes 6 qulogrms. 8 O gráfco d fgur fo regstrdo por um strumeto usdo pr medr um quldde físc. Estme s coordeds- dos potos dos gráfcos e eprme áre d regão somred usdo com = 6. regr do trpézo e regr de Smpso. 9 Um lgo rtfcl tem form d fgur, com mesurções eqüdsttes de m. Us regr do trpézo pr estmr áre d superfíce do lgo. 9 m 6 m 6 m 8 m m m 9 m 7 m 7 m Um specto mportte dmstrção de águ é oteção de ddos cofáves de sore o fluo de correte, que é o úmero de metros cúcos que pssm por um seção trsvers d correte ou ro. O prmero psso este clculo é determção d velocdde méd um dstâc metros d mrgem do ro. Se k é um profuddde d correte em um poto metros d mrgem e v é velocdde em m/s um profuddde metros ver fgur, etão k v v d k com o método dos ses potos, fzem-se s leturs d velocdde superfíce, s profudddes,k,,k,,6k e,8k e prómo do leto do ro.us-se etão regr do trpézo pr estmr v com os ddos d tel Y m,k,k,6k,8k k V m/s,8,,9,7,, 7

71 Uversdde Estdul do Prá Cetro de Cêcs Socs e Educção m m k,k Com referêc o eercíco teror, o fluo de correte F m / s pode ser promdo pel fórmul F v h d ode h é profuddde d correte um dstâc metros d mrgem e é o comprmeto d seção trsvers. Com os ddos d tel o, use regr de Smpso pr estmr F. m 6 9 h m,,7,6, v m/s,9,8,,6 m 8 h m,,,6 v m/s,,9, A fgur ee um dgrm específco crg-tesão 7 Tesão Crg esforço Estme s coordeds- e prome áre d regão delmtd pelo lço de hsterese, usdo, com = 6. regr do trpézo regr de Smpso 7

72 Deprtmeto de Mtemátc, Esttístc e Iformátc cectur em Mtemátc Modldde Dstâc BIBIOGRAFIA DEMIDOVICH. B. P. e MARON,. A. Cálculo Numérco Fudmetl Mdr: Prfo 977. DORN. W. S. e CRAKEN. D. D. Mc, Cálculo Numérco com Estudos de Csos em Fortr ZV / São Pulo : Ed. d Uversdde de São Pulo 978. RUGGIEIRO. M. A. G., e OPES V.. de R. Cálculo Numérco Aspectos Teórcos e Computcos São Pulo : Ed. McGrw - Hll MORAES. D. C., MARTINS J. M. Clculo Numérco Computcol: Teor e Prátc; Algrtmo em Pseudo gugem, Idcção de Softwre Mtemátco São Pulo: Atls

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