Métodos tipo quadratura de Gauss

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1 COQ-86 Métodos Numércos ara Sstemas Algébrcos e Dferecas Métodos to quadratura de Gauss Cosderado a tegração: Método de quadratura de Gauss com otos teros I f d a ser comutada com a maor recsão ossível or: Ium f( ) f( ) Esta eressão é a fórmula de quadratura de Gauss de I sedo,, e, resectvamete, os esos e as abscssas do método de quadratura Para calcular esses arâmetros, a fução teste f ( ) é utlzada, cuo valor eato da tegral é: I d e o corresodete valor umérco é: Ium Costrudo-se a tabela: I I um 5 Para assegurar a maor recsão ossível do método umérco roosto, mõem-se as equações: () () () () Para resolver o sstema algébrco ão lear acma se cosdera que as abscssas da quadratura [ < ] são as raízes do olômo: b c, assm: b, c, b c, b c Subtrado da equação () a equação () multlcada or b e somado ao resultado a equação () multlcada or c, obtém-se:

2 COQ-86 Métodos Numércos ara Sstemas Algébrcos e Dferecas b b c b c c, orém: b b c e b c, assm: c b 6 c Subtrado da equação () a equação () multlcada or b e somado ao resultado a equação () multlcada or c, obtém-se: b c b c b c, orém: b c b c e b c, assm: b 6 c Dado orgem ao sstema algébrco lear: 6 Cuas raízes são:,5, Os valores de e b 6 c b, deste modo: b 6 c c 6 são a segur calculados de () e (), assm: e Dado orgem, falmete, ao método de quadratura de Gauss com dos otos teros: f d f,5 f, Que é eata ara fuções olomas em de grau ão sueror a Em vsta desta roredade é também ossível coclur que: () ( ) d ; () d e d d d () 6 65 d d

3 COQ-86 Métodos Numércos ara Sstemas Algébrcos e Dferecas As roredades () e () revelam que o olômo () é ortogoal o tervalo [, ] com relação à fução eso w() =, sto é: w ( ) d =,,,, O olômo que tem esta roredade é o Polômo de Jacob, ( P, ) ( ), que é ortogoal o tervalo [, ] com relação à fução eso w ( ) ( ) Neste caso (,) = = Por eemlo, as raízes de P ( ) são =,5 e =,788675, que são as raízes obtdas ara () a quadratura de Gauss, or sto ela também é referecada como quadratura de Gauss-Jacob Também estem as quadraturas de Gauss-Legedre, Gauss-Hermte, Gauss-Chebyshev, Gauss-Laguerre, etc, em fução da escolha do tervalo de tegração e da fução eso ara o cálculo da tegral Método de Ruge-Kutta-Gauss Para utlzar a quadratura de Gauss a resolução de equações dferecas ordáras, cosdera-se a forma adrão: d t f tt, ara t e com t t dt, o ésmo asso de tegração: d t t h f, ara = ; e d h Assm, em vsta de: dh f, d, obtém-se: h f, d Como o valor umérco de t é u e de t é u, tem-se: g g, em que se comutou a tegral, u u h f d or quadratura gaussaa com dos otos teros, e Cosderado-se: u e u, tem-se: g h f t hu, e g h f t hu, As eressões usadas ara a determação de u e u são obtdas cosderado a aromação arabólca:, costruída a artr das três formações: u, Desse modo: u d, resulta: ge d g d g g, tegrado em com a codção:

4 COQ-86 Métodos Numércos ara Sstemas Algébrcos e Dferecas u g g Em vsta de: u e u, obtém-se: u u g g u u g g Substtudo os valores de e, obtém-se: u u g 6 g u u g g 6 Dado orgem ao arrao de Butcher: 6 6 As eressões usadas ara a determação de u e u odem também ser obtdas cosderado a terolação arabólca de Lagrage, de acordo com: l u l u l u, l 6 6 ; l e l Sedo: 6 6 ; + e + l l l Obtêm-se: dl dl 6 ; 6 d d + e dl 6 + d Dado orgem a: e d u u u u u u u g

5 COQ-86 Métodos Numércos ara Sstemas Algébrcos e Dferecas d u u u u u u u g u u g 6 g Ou sea: u u g g 6 Uma forma equvalete de mlemetação do rocedmeto é a utlzação dreta de: u u u u g h f t h, u u u u u g h f t h, u Nessa forma o cômuto da matrz Jacobaa (ecessára ao método de Newto- Rahso) é mas smles do que o arrao de Butcher Assm, detfcado: Fu, u u u u u h f t h, u Fu, u u u u u hf t h, u Obtém-se: F u, u f t h, u F u, u J h e J u u u Fu, u Fu, u f t h, u J e J h u u u f Note que as dervadas t h, u f t h, u e aresetam a mesma u u eressão aalítca, ortato: f t h, u f th, z f t h, u e f th, z u z u z zu Tal rocedmeto ode ser geeralzado, adotado a otação: l u l u u l u u dl d u u u u A g ara,,,, d Há duas maeras de calcular os comoetes da matrz A: () reresetado os olômos base de Lagrage or: m l c m, l,, ode-se calcular esses coefcetes através da m m versão da matrz to Vadermode: zu 5

6 COQ-86 Métodos Numércos ara Sstemas Algébrcos e Dferecas c, c, c, c, c, c, C c, c, c, A segur calculam-se: dl m m cm, cm, A, ara,,,, d m m Que ode ser reresetado matrcalmete or: A A matrz versa dessa matrz será a matrz do arrao de Butcher, assm: B A () reresetado os olômos base de Lagrage or: odal l sedo odal, ou sea: l odal odal odal O que ermte coclur que: Note que: Logo: A, dl odal l d odal l l d d odal d d odal A odal odal odal, se odal se e odal odal odal 6