2. Utilização de retângulos para aproximar a área de uma região. 2. Utilização de retângulos para aproximar a área de uma região

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Áre e Teorem Fudmetl do Cálculo. Utlzção de retâgulos pr proxmr áre de um regão Exemplo : Utlze os qutro retâgulos dcdos fgur segur pr proxmr áre compreedd etre o gráfco de x f ( x) = e o exo x, de x = 0 x = 4. Prof.: Rogéro Ds Dll Rv Áre e Teorem Fudmetl do Cálculo.Itrodução.Utlzção de retâgulos pr proxmr áre de um regão.aproxmção de um áre por um som de Rem 4.Aproxmção d áre de um trâgulo 5.Aumeto do úmero de sutervlos 6.Áres de fgurs geométrcs usus 7.Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção 8.Cálculo de um áre pelo teorem fudmetl 9.Fuções pres e fuções ímpres. Utlzção de retâgulos pr proxmr áre de um regão. Itrodução. Utlzção de retâgulos pr proxmr áre de um regão Começremos mostrdo como áre de um regão pl pode ser proxmd por meo de retâgulos. Podemos determr s lturs dos retâgulos clculdo fução f o poto médo de cd sutervlo [ 0, ], [, ], [, ], [, 4]

2 . Utlzção de retâgulos pr proxmr áre de um regão. Utlzção de retâgulos pr proxmr áre de um regão Como lrgur de cd retâgulo é, som ds áres dos qutro retâgulos é lt. lt. lt. lt. lrg. lrg. lrg. lrg. 5 7 S = ( ) f + ( ) f + ( ) f + ( ) f S = = = 0, Este vlor (0,5) é um proxmção d áre d regão dd. Em cd sutervlo [x -, x ], escolhemos um poto rtrároc, e formmos som ( ) ( ) ( ) ( ) S = f c x + f c x + + f c x + f c x Esse tpo de som é chmdo um som de Rem, e costum ser escrto com otção de somtóro: = ( ) S = f c x. Utlzção de retâgulos pr proxmr áre de um regão. Utlzção de retâgulos pr proxmr áre de um regão OBSERVAÇÃO: A técc de proxmção utlzd o Exemplo é chmd Regr do Poto Médo. Pr som de Rem o Exemplo, o tervlo é [, ] = [0, 4], o úmero de sutervlos é = 4, mpltude de cd sutervlo é Dx =, e o poto c de cd sutervlo é seu poto médo.. Utlzção de retâgulos pr proxmr áre de um regão. Utlzção de retâgulos pr proxmr áre de um regão É possível geerlzr o processo lustrdo o Exemplo. Sej f um fução cotíu defd o tervlo fechdo [, ]. Pr começr, sudvdmos o tervlo em sutervlos, cd um com mpltude ( ) x = = x < x < x < < x < x = 0 Podemos, ssm, escrever proxmção do Exemplo como = = = ( ) S = f c x = ( ) = S f c x f ( c ) ( ) = =

3 . Aproxmção de um áre por um som de Rem. Aproxmção de um áre por um som de Rem Exemplo : Utlze um som de Rem pr proxmr áre d regão delmtd pelo gráfco d fução f (x) = -x + x e o exo x, pr 0 x. N som de Rem, fç = 6 e escolh c como o poto extremo esquerdo de cd sutervlo. Como c é o poto extremo esquerdo de cd sutervlo, som de Rem é dd por = ( ) S = f c x 4 5 S = f ( 0) + f + f + f ( ) + f + f S = = Aproxmção de um áre por um som de Rem. Aproxmção de um áre por um som de Rem Vmos sudvdr o tervlo [0, ] em ses sutervlos, cd um com mpltude 0 x = = 6 coforme fgur segur. O Exemplo lustr um poto mportte. Se um fução f é cotíu e ão-egtv o tervlo [, ], som de Rem = ( ) S = f c x pode ser usd pr proxmr áre d regão etre o gráfco de f e o exo x, de x = x =.. Aproxmção de um áre por um som de Rem. Aproxmção de um áre por um som de Rem Além dsso, pr um ddo tervlo, medd em que o úmero de sutervlos umet, melhor proxmção d áre efetv. Este fto é lustrdo os dos próxmos exemplos com utlzção de um som de Rem pr proxmr áre de um trâgulo.

4 4. Aproxmção d áre de um trâgulo 4. Aproxmção d áre de um trâgulo Exemplo : Com um som de Rem, proxme áre d regão trgulr delmtd pelo gráfco de f (x) = x e o exo x, 0 x. Utlze um prtção de ses sutervlos e escolh c como o poto extremo esquerdo de cd sutervlo. Como c é o poto extremo esquerdo de cd sutervlo, som de Rem é dd por = ( ) S = f c x 5 S = f ( 0) + f + f ( ) + f + f ( ) + f [ ] = S = 4. Aproxmção d áre de um trâgulo 4. Aproxmção d áre de um trâgulo Vmos sudvdr o tervlo [0, ] em ses sutervlos, cd um com mpltude 0 x = = 6 coforme fgur segur. OBSERVAÇÃO: As proxmções os Exemplos e são chmds soms de Rem à esquerd, porque escolhemos c como o poto extremo esquerdo de cd sutervlo. Se tvéssemos escolhdo os potos extremos à dret o Exemplo, som de Rem à dret ter sdo / (Verfque!). 4. Aproxmção d áre de um trâgulo 4. Aproxmção d áre de um trâgulo Como c é o poto extremo dreto de cd sutervlo, som de Rem é dd por = ( ) S = f c x 5 S = f + f ( ) + f + f ( ) + f + f ( ) [ ] = S = 4

5 4. Aproxmção d áre de um trâgulo 5. Aumeto do úmero de sutervlos Note que áre ext d regão trgulr do Exemplo é Áre = ( se) ( ltur) = ( ) ( 6) = 9 Exemplo 4: Sej f (x) = x, 0 x. Com o uxílo de um pllh eletrôc, determe s soms de Rem à dret e à esquerd pr = 0, = 00 e =.000 sutervlos. Assm, som de Rem à esquerd os dá um proxmção por flt de verdder áre, equto som de Rem à dret dá um proxmção por excesso d referd áre. 4. Aproxmção d áre de um trâgulo 5. Aumeto do úmero de sutervlos f ( x) = x Som de Rem à Esquerd Som de Rem à Dret 6 7, , , , , , , , , , , , , , , , , , Aproxmção d áre de um trâgulo 5. Aumeto do úmero de sutervlos No Exemplo 4 mostrremos que proxmção melhor à medd que umet o úmero de sutervlos. Os resultdos do Exemplo 4 sugerem que s soms de Rem tedem pr o lmte 9 qudo tede pr o fto. É est oservção que motv segute defção de tegrl defd. Nest defção, cosdermos prtção de [, ] em sutervlos de gul mpltude ( ) x = = x < x < x < < x < x = 0 5

6 5. Aumeto do úmero de sutervlos 6. Áres de fgurs geométrcs usus Além dsso, tommos c como um poto rtráro o mo sutervlo [x -, x ]. Dzer que o úmero de sutervlos tede pr fto equvle dzer que mpltude, Dx, dos sutervlos tede pr zero. Exemplo 5: Fç um esoço d regão correspodete cd um ds tegrs defds segur. Clcule etão cd tegrl utlzdo um fórmul geométrc.. 4 dx. ( x + ) dx c. 4 x dx 0 5. Aumeto do úmero de sutervlos 6. Áres de fgurs geométrcs usus Defção de Itegrl Defd Se f é um fução cotíu defd o tervlo fechdo [, ], tegrl defd de f em [, ] é f ( x) dx = lm f ( c ) x = lm f ( c ) x 0 x = = 5. Aumeto do úmero de sutervlos 6. Áres de fgurs geométrcs usus OBS : Se f é cotíu e ão-egtv o tervlo [, ], tegrl defd de f em [, ] dá áre d regão delmtd pelo gráfco de f, o exo x e s rets vertcs x = e x =. OBS : O cálculo de um tegrl defd por meo de su defção como lmte pode ser dfícl. Etretto, há ocsões em que podemos resolver um tegrl defd recohecedo el áre de um fgur geométrc comum.. A regão ssocd est tegrl defd é um retâgulo de ltur 4 e lrgur. Além dsso, como fução f(x) = 4 é cotíu e ão-egtv o tervlo [, ], cocluímos que áre do retâgulo é dd pel tegrl defd. Assm, o vlor d tegrl defd é 4dx = 4 () = 8 6

7 6. Áres de fgurs geométrcs usus 6. Áres de fgurs geométrcs usus. A regão ssocd est tegrl defd é um trpézo com ltur e ses prlels de comprmetos e 5. A fórmul d áre de um trpézo é ½h( + ); temos, pos, 0 ( x + ) dx = () ( + 5) = Pr demostrr expressão teror, oserve os pssos segur: S = ( ) + ( ) + S = + ( ) + ( ) Adcodo os dos somtóros, otemos: S = ( + ) + ( + ) + + ( + ) vezes 6. Áres de fgurs geométrcs usus 6. Áres de fgurs geométrcs usus c. A regão ssocd est tegrl defd é um semcírculo de ro. A áre é, pos, ½πr, e temos 4 x dx = π () = π Portto, cocluímos que S = ( + ) ( + ) S = = ( + ) = 6. Áres de fgurs geométrcs usus 7. Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção Pr lgums fuções smples é possível clculr tegrs defds pel defção como som de Rem. No próxmo exemplo, recorremos o fto de que som dos prmeros úmeros teros é dd pel fórmul ( + ) = = = pr clculr áre d regão trgulr dos Exemplos e 4. Exemplo 6: Clcule tegrl defd 0 Sej ( ) x = = x dx e selecoemos c como o poto extremo esquerdo de cd sutervlo. = c 7

8 7. Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção 7. Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção lm ( ) lm 0 0 x dx = f c x = x = = ( ) = lm = lm = 8 9 = lm + = lm + 9 Felzmete, o Teorem Fudmetl do Cálculo os dá um técc pr o cálculo de tegrs defds utlzdo tdervds, e por est rzão costum ser cosderdo o teorem ms mportte do cálculo. Vmos mostrr como s dervds e s tegrs estão ter-relcods trvés do Teorem Fudmetl do Cálculo. 7. Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção 7. Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção Em prtculr, qudo tede pr fto, vemos que 9/ tede pr zero, e o lmte é 9. Cocluímos, pos, que Vmos supor que f é um fução cotíu e ão-egtv defd o tervlo [, ]. Sej A (x) áre so o gráfco de f de x, coforme fgur xo. x dx = 9 0 A (x) 7. Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção 7. Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção Pelo Exemplo 6, vemos que pode ser dfícl clculr, por soms de Rem, tegrl defd té de fuções stte smples. Um computdor pode uxlr o cálculo de ts soms pr vlores grdes de, ms tl processo dr pes um proxmção d tegrl defd. A áre so regão somred fgur xo é A (x + x) A (x). A (x + x) A (x) 8

9 7. Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção 7. Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção Se x é pequeo, etão est áre é dd proxmdmete pel áre do retâgulo de ltur f (x) e lrgur x. Temos, ssm, A (x + x) A (x) f (x) x. Dvddo por x, vem A( x + x) A( x) f ( x) x O Teorem Fudmetl estelece que se cohecermos um tdervd F de f, etão podemos clculr f ( x ) dx smplesmete sutrdo os vlores de F os extremos do tervlo [, ]. É muto supreedete que tegrl cm, defd por um procedmeto complcdo evolvedo todos os vlores de f (x) pr x, pode ser ecotrdo sedo-se os vloresde F (x) em somete dos potos, e. 7. Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção 7. Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção Pssdo o lmte qudo x tede pr zero, vemos que A( x + x) A( x) f ( x) = lm = A ( x) x 0 x Estelecemos, ssm, o fto de que fução áre A(x) é um tdervd de f. Emor tehmos suposto f cotíu e ão-egtv, o desevolvmeto cm é váldo desde que fução f sej smplesmete cotíu o tervlo fechdo [, ]. Utlzmos este resultdo prov do Teorem Fudmetl do Cálculo. Emor o teorem poss ser surpreedete à prmer vst, ele fc plusível se o terpretrmos em termos físcos. Se v (t) for velocdde de um ojeto e s (t) for su posção o stte t, etão v (t) = s (t), portto s é umtdervddev. Pr um ojeto que se move sempre o setdo postvo, áre so curv d velocdde é gul dstâc percorrd. Em símolos ( ) ( ) v ( t ) dt = s s 7. Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção 7. Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção Teorem Fudmetl do Cálculo Se f é um fução cotíu o tervlo fechdo [, ], etão f ( x ) dx = F ( ) F ( ) ode F é um fução rtrár tl que F (x) = f (x) pr todo x em [, ]. Cem três cometáros sore o Teorem Fudmetl do Cálculo.. O Teorem Fudmetl do Cálculo dc um mer de clculr um tegrl defd, e ão um processo pr chr tdervds.. Ao plcr o Teorem Fudmetl do Cálculo, é coveete utlzr otção f ( x) dx = F( x) = F( ) F( ) ] 9

10 7. Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção 7. Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção. A costte de tegrção C pode ser omtd porque [ ] f ( x) dx = F( x) + C [ F( ) C] [ F( ) C] = + + = F( ) F( ) + C C = F( ) F( ) OBS: É mportte dstgur etre tegrs defds e tegrs defds. A tegrl defd f ( x) dx deot um fmíl de fuções, cd um ds qus é um tdervd de f, o psso que tegrl defd é um úmero. f ( x ) dx 7. Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção 7. Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção No estelecmeto do Teorem Fudmetl do Cálculo, supusemos f ão-egtv o tervlo fechdo [, ]. Como tl, tegrl defd fo defd como um áre. Ms, com o Teorem Fudmetl do Cálculo, defção pode ser estedd de modo clur fuções que são egtvs em todo o tervlo fechdo [, ] ou em prte dele. Propreddes ds Itegrs Defds Sejm f e g cotíus o tervlo fechdo [, ].. k f ( x) dx = k é um costte f ( x) dx, k [ ± ] = ±. f ( x ) g ( x ) dx f ( x ) dx g ( x ) dx. ( ) c = ( ) f x dx f x dx + f ( x ) dx, < c < c 4. f ( x ) dx = 0 5. ( ) f x dx = f ( x ) dx 7. Cálculo de um tegrl defd por meo de su defção 8. Cálculo de um áre pelo teorem fudmetl Especfcmete, se f é um fução rtrár que é cotíu em um tervlo fechdo [, ], etão tegrl defd de f(x) de se defe como f ( x ) dx = F ( ) F ( ), Exemplo 7: Clcule áre d regão delmtd pelo exo x e pelo gráfco de f ( x) = x, x ode F é um tdervd de f. Teh em mete que s tegrs defds ão represetm ecessrmete áres, podedo ser egtvs, zero ou postvs. 0

11 8. Cálculo de um áre pelo teorem fudmetl 8. Cálculo de um áre pelo teorem fudmetl Note que f (x) 0 o tervlo x, coforme fgur segur. Portto, podemos represetr áre d regão por um tegrl defd. Pr clculr áre, plcremos o Teorem Fudmetl do Cálculo. Assm, áre d regão é 4/ uddes qudrds. OBS: É fácl cometer erros de ss o cálculo de tegrs defds. Pr evtr ts erros, clu em cojutos seprdos de prêteses os vlores d tdervd os lmtes superor e feror, coforme feto o slde teror. 8. Cálculo de um áre pelo teorem fudmetl 8. Cálculo de um áre pelo teorem fudmetl Exemplo 8: Clcule tegrl defd ( t + ) 0 4 dt e fç um esoço d regão cuj áre é represetd pel tegrl. 8. Cálculo de um áre pelo teorem fudmetl 8. Cálculo de um áre pelo teorem fudmetl ( x ) Áre = dx x = x ( ) ( ) = = 4 Defção de tegrl defd Determr tdervd Aplcr o Teorem Fudmetl Smplfcr

12 8. Cálculo de um áre pelo teorem fudmetl 8. Cálculo de um áre pelo teorem fudmetl t dt t dt Multplcr e dvdr por 4 4 ( 4 + ) = ( 4 + ) ( 4) 0 0 ( 4t + ) = 4 0 ( 5) ( ) = 4 = Determr tdervd Aplcr o Teorem Fudmetl Smplfcr 4 4 c. x dx = x dx 4 4 x = = x ( ) ( ) = 4 = 8 = 4 Escrever com expoete rcol Determr tdervd Aplcr o Teorem Fudmetl 8. Cálculo de um áre pelo teorem fudmetl 8. Cálculo de um áre pelo teorem fudmetl Exemplo 9: Clcule s tegrs defds OBS: Pelo Exemplo 4c, vemos que o vlor de um tegrl pode ser egtvo.. x e 0 dx. dx x c. 4 x dx 8. Cálculo de um áre pelo teorem fudmetl 8. Cálculo de um áre pelo teorem fudmetl x x 6 0. e dx = e = ( e e ) 0, 0 0. dx = l x] = l l= l 0,69 x Exemplo 0: Clcule tegrl defd x dx 0

13 8. Cálculo de um áre pelo teorem fudmetl 8. Cálculo de um áre pelo teorem fudmetl Pel defção de vlor soluto, podemos escrever x, x x = ( x ), x < A fgur segur mostr regão represetd pel tegrl defd. = ( ) + ( ) 0 0 x dx x dx x dx = x + x + x x 0 ( 0 0) = ( 4 ) 4 4 = 5 8. Cálculo de um áre pelo teorem fudmetl 9. Fuções pres e fuções ímpres Muts fuções comus têm gráfcos smétrcos em relção o exo y ou à orgem, coforme mostr fgur segute. Se o gráfco de f é smétrco em relção o exo y, etão f ( x) = f ( x), Fução pr e f é chmd fução pr. 8. Cálculo de um áre pelo teorem fudmetl 9. Fuções pres e fuções ímpres Aplcdo Propredde ds tegrs defds, podemos escrever tegrl como som de dus tegrs defds. Smetr em relção o exo y

14 9. Fuções pres e fuções ímpres 9. Fuções pres e fuções ímpres Se o gráfco de f é smétrco em relção à orgem, coforme fgur segur, etão f ( x) = f ( x), Fução ímpr e f é chmd fução ímpr. Exemplo : Clcule s tegrs defds. x dx. x dx 9. Fuções pres e fuções ímpres 9. Fuções pres e fuções ímpres. Como f (x) = x é pr, x 8 6 x dx = x dx = = 0 = 0. Como f (x) = x é ímpr, 0 Smetr em relção à orgem x dx = 0 9. Fuções pres e fuções ímpres Itegrção de Fuções Pres e de Fuções Ímpres. Se f é um fução pr, etão = 0 f ( x ) dx f ( x ) dx. Se f é um fução ímpr, etão f ( x ) dx = 0 4