F A 6. Aplicações à Física e à Engenharia. Aplicações à Física e à Engenharia

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Aplcções à Físc e à Egehr. Pressão hdrostátc e forç Os mergulhdores otm que pressão d águ umet qudo eles mergulhm ms profudmete. Isso ocorre por cus do umeto do peso d águ cm deles. Prof.: Rogéro Ds Dll Rv 4 Aplcções à Físc e à Egehr. Pressão hdrostátc e forç.itrodução.pressão Hdrostátc e Forç.Resolução de Exemplos 4.Mometos e Cetros de Mss 5.Resolução de Exemplos Em gerl, supoh que um plc horzotl f com áre A por metros qudrdos sej sumers em um fludo de desdde ρ qulogrms por metro cúco um profuddde d metros xo d superfíce do fludo, como fgur xo. 5. Itrodução. Pressão hdrostátc e forç Juto com s muts plcções de cálculo tegrl à Físc e à Egehr cosdermos dus qu: forç devdo à pressão d águ e cetros de mss. Como em osss plcções terores à geometrc (áres, volume e comprmetos) e o trlho, oss estrtég é querr qutdde físc em um grde úmero de peques prtes, proxmr cd peque prte, dcor os resultdos, tomr o lmte e etão vlr tegrl resultte. O fludo dretmete cm d plc tem um volume V = Ad, ssm su mss é m = ρv = ρad. A forç exercd pelo fludo plc é, portto: F = mg = ρgad ode g é celerção d grvdde. A pressão P plc é defd como forç por udde de áre: F P = = ρgd A 6

2 . Pressão hdrostátc e forç No Sstem Itercol de Uddes, pressão é medd em ewtos por metro qudrdo, que é chmd pscl ( N/m = P). Como ess é um udde peque, o klopscl (kp) é frequetemete usdo. Por exemplo, um vez que desdde d águ é de ρ =. kg/m, pressão o fudo de um psc de m de profuddde é Exemplo : Um repres tem o formto do trpézo mostrdo fgur segur. A ltur é de m, e lrgur é de 5 m o topo e m o fudo. Clcule forç repres devdo à pressão hdrostátc d águ se o ível d águ está 4 m do topo d repres. P = ρgd =. kg/m 9,8 m/s m P = 9.6 P = 9,6 kp 7. Pressão hdrostátc e forç Um prcípo mportte d pressão de fludos é o fto verfcdo expermetlmete de que em qulquer poto o líqudo pressão é mesm em tods s dreções. Etão, pressão em qulquer dreção um profuddde d em um fludo com desdde ρ é dd por Solução: Escolhemos um exo vertcl x com orgem superfíce d águ, como fgur segur. P = ρgd = δd 8. Pressão hdrostátc e forç Isso os jud determr forç hdrostátc cotr um plc vertcl ou prede de um repres em um fludo. Este ão é um prolem smples, porque pressão ão é costte, ms se elev com o umeto d profuddde. 9 A profuddde d águ é de 6 m; ssm, dvdmos o tervlo [, 6] em sutervlos de gul comprmeto com extremos x e x [x -, x]. A -ésm fx horzotl d repres é proxmd por um retâgulo com ltur x e lrgur w, ode, por smlrdde de trâgulos (ver fgur xo) 6 x = = 6 x x = = 8

3 e ssm w = (5 + ) = (5 + 8 x ) = 46 x Se A é áre d -ésm, etão A = w x = x x (46 ) 6 F = 9.8 x (46 x) (46 ) F = x x x F = 9.8 x 6 7 F = ,4 N 6 6 Se x é peque, etão pressão P -ésm fx é prtcmete costte, e podemos escrever P. 9,8 x Exemplo : Clcule forç hdrostátc o extremo de um tmor clídrco com ro de pés que está sumerso em águ com pés de profuddde. Cosdere δ = 6,5 l/pés. P 9.8 x 4 7 A forç hdrostátc F gdo -ésm fx é o produto d pressão pel áre: F = P A x x x 9.8 (46 ) Solução: Neste exemplo é coveete escolher os exos como fgur xo, de modo que orgem sej colocd o cetro do tmor. Adcodo esss forçs e tomdo o lmte qudo, otemos forç hdrostátc totl repres: lm 9.8 (46 ) = F = x x x 5 8

4 Etão o círculo tem um equção smples x + y = 9. Como o Exemplo, dvdmos regão crculr em fxs horzots de lrgurs gus. D equção do círculo, vemos que o comprmeto d -ésm fx é e ssm su áre é ( y ) 9 ( ) A = 9 y y 9 A segud tegrl é, porque o tegrdo é um fução ímpr [f(-y) = -f(y)]. Portto: F = Lemrdo que y dy u s u u du = u + + C A pressão ess fx é proxmdmete ( y ) δd = 6,5 7 e ssm forç fx é proxmdmete ( ) ( ) δd A = 6,5 7 y 9 y y Teremos y 9 y F = y + s 9 ( ) 9 ( ) F = s 9 9 s 9 9 F = 875 s () s ( ) 9 π 9 π 9π F = 875 = l A forç totl é otd pel som ds forçs em tods s fxs e tomdo-se o lmte ( ) ( ) F = lm 6,5 7 y 9 y y = F = 5 7 y 9 y dy ( ) F = y dy 5 y 9 y dy Outr form de resolver o Exemplo é oservr que áre ser determd correspode à áre de um dsco semcrculr de ro. Portto: πr π () F = 875 = l 4 4

5 mss mss Nosso prcpl ojetvo qu é ecotrr o poto P o qul um f plc de qulquer formto se equlr horzotlmete, como fgur segur. Esse poto é chmdo cetro de mss (ou cetro de grvdde) d plc. Agor supoh que o exo estej sore o exo x com m em x e m em x e o cetro de mss em. Se verfcrmos fgur xo, veremos que d = x x e d = x x 5 8 mss mss Prmero cosdermos stução ms smples mostrd fgur xo, ode dus msss m e m são press um stão de mss desprezível em ldos opostos um poo e dstâcs d e d do poo. 6 Portto m d = m d ( ) = ( ) m x x m x x mx mx = mx mx mx + mx = mx + mx ( ) x m + m = m x + m x m x + m x x = m + m 9 mss mss O exo fcrá em equlíro se m d = m d Esse é um fto expermetl descoerto por Arqumedes e chmdo Le d Alvc. Os úmeros m x e m x são deomdos mometos ds msss m e m (em relção à orgem) e equção teror dz que o cetro de mss é otdo pel som dos mometos ds msss e dvsão pel mss totl m = m + m. 7 5

6 mss mss Em gerl, temos um sstem de prtículs com msss m m,, m loclzds os potos x, x,, x sore o exo x. Podemos mostrr smlrmete que o cetro de mss do sstem está loclzdo em m x m x x = = m = m = = m = m = Por log com o cso udmesol, defmos o mometo do sstem com relção o exo y como y = m x = M e o mometo do sstem com relção o exo x como M x = m y = 4 mss mss ode m é mss totl do sstem, e som dos mometos dvdus M = = m x é chmd mometo do sstem em relção à orgem. Etão pode ser reescrt como mx = M que dz que se mss totl fosse cosderd como cocetrd o cetro de mss, etão seu mometo dever ser o mesmo que o mometo do sstem. Etão M y mede tedêc do sstem grr o redor do exo y e M x mede tedêc de ele grr o redor do exo x. Como o cso udmesol, s coordeds (, ) do cetro de mss são dds em termos dos mometos pels fórmuls x M y = y = m Mx m 5 mss mss Agor cosdere um sstem de prtículs com msss m m,, m os potos (x, y ), (x, y ),, (x, y ) o plo xy como mostrdo fgur xo ode m = m é mss totl. Como mx = M e my = M y x o cetro de mss (, ) é o poto ode um prtícul úc de mss m ter os mesmos mometos do sstem. 6 6

7 Exemplo : Clcule os mometos e os cetros de mss do sstem de ojetos que têm mss, 4 e 8 os potos (-, ), (, -) e (, ). M = ( ) + 4 () + 8 () = 9 y M = () + 4 ( ) + 8 () = 5 x A segur cosdermos um plc pl (deomd lâm) com desdde uforme ρ que ocup um regãor do plo. Desejmos ecotrr o cetro de mss d plc, chmd cetróde (ou cetro geométrco) der. Fzedo sso usmos os segutes prcípos físcos: o prcípo d smetr dz que se R é smétrco o redor d ret l, etão o cetróde de R está em l. 7 4 Como m = = 5, otemos Smetr em relção o exo y M y x = = m 9 5 R 5 y = = 5 Smetr em relção o exo x 8 O cetróde de um retâgulo é o seu cetro 4 9 Etão o cetro de mss é,. 5 Os mometos devem ser defdos de mer que se mss totl d regão está cocetrd o cetro de mss, etão seus mometos permecem lterdos. Tmém, o mometo d uão de dus regões sem terseção deve ser som dos mometos ds regões dvdus

8 Supoh que regão R sej do tpo mostrdo fgur xo; sto é, R estej etre s rets x = e x =, cm do exo x e xo do gráfco de f, ode f é um fução cotíu. Su áre é A = f ( x ) x Assm, su mss é m = ρf ( x ) x O mometo de R o redor do exo y é o produto de su mss pel dstâc de C o exo y, que é. Etão 4 M ( R ) = [ ρf ( x ) x] x = ρx f ( x ) x y 46 Dvdmos o tervlo [, ] em sutervlos com os extremos x, x,, x e lrgurs gus x. Escolhemos o poto de mostrgem x como o poto médo do -ésmo sutervlo, que é = (x - + x )/. Isso determ um proxmção polgol R, mostrd fgur segur. Somdo esses mometos, otemos o mometo d proxmção polgol R e, etão, tomdo o lmte qudo, otemos o mometo do próprorem relção o exo y. M = lm ρx f ( x ) x = ρ xf ( x) y = De mer smlr clculmos o mometo de R em relção o exo x como o produto de su mss e d dstâc de C o exo x: Mx( R ) = [ ρf ( x ) x] f ( x ) = ρ [ f ( x ) ] x Novmete sommos esses mometos e tommos o lmte pr oter o mometo de R o redor do exo x. O cetróde do -ésmo retâgulo proxmdor R é seu cetro C (, ½f[ ]). 45 x = lm ρ [ ( ) ] = ρ [ ( ) ] = M f x x f x 48 8

9 Como o cso do sstem de prtículs, o cetro de mss d plc é defdo de mer que Exemplo 4: Clcule o cetro de mss de um plc semcrculr de ro r. mx = M e my = M y Ms mss d plc é o produto de su desdde por su áre: m = ρa = ρf ( x) x 49 5 e ssm ρ xf ( x) xf ( x) M y x = = = m ρ f ( x) f ( x) ρ [ f ( x)] [ f ( x)] M x y = = = m ρ f ( x) f ( x) 5 Solução: Pr usrmos s fórmuls terores, colocmos o semcírculo como fgur xo de modo que f ( x) = r x = r = r 5 Note o ccelmeto de ρ. A loclzção do cetro de mss depede d desdde. Em resumo, o cetro de mss d plc (ou o cetróde de R) está loclzdo o poto (, ), ode x = xf ( x) y = [ f ( x)] A A Aqu ão há ecessdde de usr fórmul pr clculr porque, pelo prcípo d smetr, o cetro de mss deve estr sore o exo y, e, dess form, =. A áre do semcírculo é A = πr

10 Portto: [ ( )] y = f x A r r ( ) ( ) y = r x = πr πr r r r x r r r x ( r x ) ( r x ) r x r = = = πr πr πr r r 4r = r = = πr πr π 55 Solução: A áre d regão é π ] π A = cos x = se x = 58 O cetro de mss está loclzdo o poto de coordeds 4r, π 56 π x = x cos x A Lemrdo que u dv = uv v du fzemos u = x du = e dv = cos x v = se x. π π π x = x cos x = x se x] se x A π π π π π [ x] [ x] = cos = + cos = 59 Exemplo 5: Determe o cetróde d regão lmtd pels curvs y = cos x, y =, x = e x = π/. π y = [ f ( x ) ] A π π π + cosx = cos x ( cosx ) = = + 4 π π π = x sex 4 + = =

11 O cetróde está loclzdo o poto de coordeds Exemplo 6: Determe o cetróde d regão lmtd pel ret y = x e práol y = x. π π, Se regãorestá etre s curvs y = f(x) e y = g(x), ode f(x) g(x), como mostrdo fgur segur, etão o mesmo tpo de rgumeto que os levou às fórmuls pr determção do cetro de mss pode ser usdo pr mostrr que o cetróde deré(, ). Solução: A regão é esoçd fgur xo. Tommos f(x) = x, g(x) = x, = e = fórmul teror Cálculo d áre: x x A = ( x x ) = = = 6 x = x[ f ( x) g( x) ] y {[ f ( x)] g( x)] } A = A 6 66

12 x = x[ f ( x) g( x) ] A x = ( ) 6 x x x = ( x x ) 6 4 x x x = 6 = = = 4 Agor mostrremos um coexão etre cetródes e volumes de revolução. Teorem de Pppus: Sej R um regão pl que está termete de um ldo de um ret l em um plo. Se R é grd o redor de l, etão o volume do sóldo resultte é o produto d áre A de R e dstâc d percorrd pelo cetróde de R. 67 Esse teorem tem o ome do mtemátco grego Pppus de Alexdr, que vveu o século IV. 7 y = { [ f ( x )] g ( x )] } A 4 4 y = ( ) 6 x x = ( x x ) 6 Prov: Provremos pr o cso especl o qul regão está etre y = f(x) e y = g(x) como fgur xo e ret l é o exo y. 5 x x y = 5 = = = O cetróde está loclzdo o poto de coordeds, 5 V = π x [ f ( x) g( x) ] π x f ( x) g( x) = π xa = π x A = Ad [ ] ( ) ( ) ode d = π é dstâc percorrd pelo cetróde durte um rotção o redor do exo y. 69 7

13 Exemplo 7: Um toro é formdo pel rotção de um círculo de ro r o redor de um ret o plo do círculo que está um dstâc R (> r) do cetro do círculo. Clcule o volume do toro. 7 Solução: O círculo tem áre A = πr. Pelo prcípo de smetr, seu cetróde é seu cetro e, ssm, dstâc percorrd pelo cetróde durte rotção é d = πr. R r 74 Portto, pelo Teorem de Pppus, o volume do toro é ( ) ( ) π π π V = r R = r R 75