INTERPOLAÇÃO. Introdução

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1 INTERPOLAÇÃO Itrodução A terolção cosste em determr rtr de um cojuto de ddos dscretos um ução ou um cojuto de uções lítcs que ossm servr r determção de qulquer vlor o domío de deção. Pode-se ver terolção como um rocesso umérco que me um ução dscret r um ução cotíu. A terolção tem vst lcção em dversos cmos d cêc como or eemlo comutção grác o rocessmeto de ss e mges. É errmet umérc ásc tegrção umérc e os rgorosos métodos umércos de solução de equções derecs (Método de Glerk Método dos Elemetos Ftos Elemetos de Cotoro etc.. Prolem Gerl de Iterolção Ddos:. Um cojuto de otos { }... N. Um cojuto de vlores { }... N. Um cojuto de uções (deomds de uções de se { } j j... N Ecotrr: Os coecetes j j... N tl que N (...N j j j

2 A equção cm ode ser escrt so orm mtrcl B ou B - ode e são vetores colus reresetdo resectvmete os ddos cohecdos e os coecetes serem determdos e B é mtrz ded or: B { j } j ( É mortte oservr que r o rolem de terolção ter um solução é ecessáro que mtrz B dmt um vers o que ode ão ocorrer deededo d escolh ds uções de se. E.: Ddo ( - e [ ] T e escolhedo s uções de se como j(jj temos: ( j j o B det ortto o sstem ão dmte solução.

3 Iterolção ler A rtr de dos otos dsttos de (. e. ( e ( desej-se ecotrr o vlor d ução r um oto de css termedár. A mer ms smles de estmr é trvés de um terolção ler.e. suodo que o oto ( ertece o segmeto de ret que ue os otos de coordeds cohecds. Esse segmeto é rte do olômo teroldor de º gru dedo or: P A m de determr os coecetes e deve-se resolver o sstem: ou em orm mtrcl: Pode-se demostrr que r que o rolem de terolção sej determdo o gru do olômo teroldor é semre gul o úmero de otos meos um.

4 Erro de Trucmeto É o erro cometdo em decorrêc d reresetção de um suost ução ( or um ret o que equvle desrezr os termos de ordem gul ou sueror do seu desevolvmeto em sére de Tlor. Sej. e. ução do gráco: Seu erro de trucmeto é ddo or: T ( ( - ( E É ácl oservr que esse erro se ul r e r. Assm ode-se escrever eressão do erro orm: ET ( A( - ( - A m de determr um eressão r A cosdere-se ução ulr G(t ded or: ( t ( t -φ ( t ( t ( t ( t ( t ( t A G Ε Τ É ácl oservr que G(t se ul elo meos em três otos: e. Portto: ε ε ( / G ( ε ( / G ( ε ε ( ε ε / G ( ε ε Ms G ( ε A logo: A ( ε Assm eressão do erro de trucmeto c: ( ε E T ( ( (

5 Eemlo: Determr o erro de trucmeto cometdo o se eetur um terolção ler d ução - etre os otos. e.5 r estmr o vlor de (.5 Solução: ( ; ( E T (.5 (.5. ( O vlor rel de (.5 é.875 e o vlor estmdo el terolção ler ode ser clculdo ós determção dos coecetes de cordo com: ( O erro ercetul é:.% (lto!

6 Iterolção qudrátc Ddos três otos e ode-se der um olômo teroldor de cordo com: com erro E T ulo r os otos ddos. Os coecetes de ( odem ser determdos trvés de: ou d: O sstem terá solução se o determte (de Vdermode d mtrz dos coecetes (V or derete de zero: V det Demostr-se que V det. O letor ode tetr chegr esse resultdo ós trgulrzr mtrz V. Erro de Trucmeto! E T ε

7 Iterolção Poloml As uções de se são olômos. Os ms utlzdos são os: Polômos de Newto; Polômos de Lgrge; e Sles (um clsse de olômos rclmete dedos. Iterolção or Polômos de Newto Deção do olômo de Newto: ( ( ( L ( ( ( L ou j ( j ode: são os coecetes do olômo serem determdos terolção e j são os cetros.

8 Determção dos coecetes Cosdere um cojuto de otos { } com. Sej o olômo de Newto ser usdo terolção. Como deve reroduzr os vlores de os otos ddos tem-se:... L L L [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] / / [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

9 [ ] [ ] - [ ] [ ] ( - [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } -

10 ode [... ] k k- K k. é chmd de dereç dvdd etre Assm susttudo os vlores dos coecetes eressão do olômo tem-se: ou ( [ ]( [ ]( ( [ L ]( ( L( [ ] ( j L j L Tel de Dereçs Dvdds ( ( [ ] ( [ ] [ ] [ ] ( [ ] [ ] ( E. : (.. (. (.. (. (. (.

11 E. : Estmr ol( utlzdo o olômo de Newto de tercer ordem ( ssm.498( ( -( ( -( - 4( l.9478 ; ε t 9.% Estmtv de Erro Iterolção or Polômo de Newto Semelhtemete o trucmeto eto sére de Tlor tem-se: R ( ( ξ ( ( L( (! ou: R R [ L ]( ( L( [ L ]( ( L(

12 Iterolção or Polômo de Lgrge O olômo de Lgrge é smlesmete um reormulção do olômo de Newto que evt o cálculo de dereçs dvdds. ode: com: A orm gerl do olômo de Lgrge é: L ( L j j j j L ( j j j O erro estmdo de terolção é o mesmo do olômo de Newto.

13 Dedução dos coecetes do olômo de Lgrge ( rtr do olômo de Newto [ ] que é o olômo so orm de Lgrge. De orm semelhte r... : [ ] [ ]

14 { } T [ ] { } T T / / { } T T / / T

15 Comrção etre s terolções de Lgrge e de Newto A m de estelecer um comrção determ-se o úmero (úmero de otos totl de multlcções/dvsões r cd método: Newto - Lgrge - Mult. Dv. Totl - A Codção < é verdder : Etretto se várs uções devem ser terolds o mesmo tervlo terolção de Lgrge ode se ms vtjos um vez que os rodutos dos deomdores são clculdos es um vez. E.: Estmrl( rtr dos ddos o P ( ( ( ( ( ( ( ( ( 4( ( 4( ( ( 4 ( ( l.9478 ( ( ( ( ( ( 4 ( ( ( ( (.8944 (

16 Iterolção or Sles Cúcs Sles (régu leível Em vez de se rocurr determr um úc ução de gru elevdo que reroduz o comortmeto de um cojuto de otos detro de um tervlo ode-se dvd-lo em sutervlos m de ermtr utlzção de várs uções de o gru (cso de olômos. A terolção ms smles cosste em romr o comortmeto d ução etre dos otos cosecutvos or segmetos de ret. Sles Cúcs Deção e dmesometo do rolem Ddo um tervlo [ ] dvddo em k sutervlos [ t t ] com...k ode-se der r cd um destes um seção oloml cúc como olômo teroldor d ução romr como mostr gur:

17 Deção: s ( - t ( - t ( - t (... k com s segutes roreddes ( ( t s ( t s sto result em k - equções ( ( t s ( t s resultdo em k - equções ( s ( t s ( t Os lmtes dos tervlos são chmdos de ós. Alcdo codção de erro de trucmeto ulo r ms s sles de um mesmo ó termedáro otém-se dus equções r cd um destes.

18 Ess codção roduz d dus equções r os ós etremos. Cosderdo que estem k ós codção de erro ulo ger etão [( k - ] ( k equções. A m de grtr um ução teroldor termete derecável é ecessáro que s dervds à dret e à esquerd de cd ó termedáro sejm gus. Isso result em ( k - ( k - equções. Codção semelhte deve ser lcd r s dervds seguds r grtr que os ós termedáros ão são otos de leão. Isso result em ms (k - equções totlzdo k ( k - 4k - equções. Cd sle é ded trvés d eressão: ( - t ( - t ( - t s o ossudo ortto 4 (qutro coecetes determr. Estem ssm 4k cógts e 4k - equções. A m de elmr esses dos grus de lerdde é comum egr-se que s dervds seguds se ulem os otos etremos do tervlo (sle turl. Cso sejm cohecds ormções dcos sore ução ser romd como or eemlo s rmers dervds os etremos ess codção ode susttur codção teror.

19 Dedução do Algortmo r Sles Cúcs Cosderdo que cd r de ós é coectdo or um sle cúc etão dervd segud dest sle é um ret. Reresetdo ess ret so orm de um olômo de Lgrge tem-se: S Notr que: " S " S Portto ão há descotudde dervd. k d d k S S k k k d S S d c c d d c k k ms S e S

20 c S d S c d Assm: D C S (* ode: D C Notr que: S S Portto ão há descotudde.

21 Dervdo (* tem-se: [ ] S Por log: [ ] S [ ] S [ ] S [ ] [ ] S [ ] [ ] { } - - [ ] [ ] { } (** ode: [ ] [ ] { } - - r - k L

22 A equção corresodete ossu cógts: ms equção de recem e.e. um úc cógt dcol. Geerlzdo dção d j-ésm equção / j...k z surgr es um cógt ms. Portto estem [( - - ] k k cógts. Como o sstem cm dee es ( k - equções s dus cógts resttes odem ser otds rtr d codção de sle turl: e S ( S k k k k ( k k k- k k k k k k

23 E.: Reresetr or sles cúcs: π π π Nesse cso k sles. Portto equção (** deve ser escrt or e : ( ( ( { [ ] [ ]} ( ( ( { [ ] [ ]} Sles turs. 4π π π π 4π π Usdo um método qulquer r resolução de sstems de equções leres otem-se: 7 5π 9477

24 Aós determdos e deem-se s sles: ; Pr: s π d c c ; d ; Pr: s π π d c c ; d π π d c ; Pr: s c ; d Eetudo-se os cálculos otém-se: π π π π π Pr : 5588; s Pr : 7 ; s Pr : ; s