EQUAÇÕES LINEARES E DECOMPOSIÇÃO DOS VALORES SINGULARES (SVD)

Transcrição

1 EQUAÇÕES LINEARES E DECOMPOSIÇÃO DOS VALORES SINGULARES (SVD) 1 Equções Leres Em otção mtrcl um sstem de equções leres pode ser represetdo como x1 b1 2 x2 b2. x b ou A.X = b (1) Pr solução, város csos são cosderdos: Cso (): b 0 e 0 Nesse cso A -1 exste e A -1. A. X = A -1.b ==> X = A -1.b e há um úc solução pr (1) Cso (b): b = 0 e 0 A -1 exste e A.X = 0 ==> A -1.A.X = A ==> X = 0 e há pes solução trvl X = 0.

2 Cso (c): b 0 e = 0 A -1 ão exste. ==> ou há fts soluções ou ão há solução Ex: 3.x 2.y x 2.y x 2. ão há solução 2 y 6 (cosstete) 3.x 2.y x 4.y x 2. 4 y 4 fts soluções (eqs. lermete depedetes) 3 x = y 1 pr ftos vlores de 2 Cso (d): b = 0 e = 0 Há fts soluções.x b.y 0.x.b.y 0 A 0 x y b ==> Um sstem homogêeo (A.X = 0) tem solução ão-trvl se e somete se = 0. (vej cso b) 2 Autovlores e Autovetores de um Mtrz Qudrd A Procurr um solução ão-trvl pr Os vlores de ==> utovlores. As soluções de X ==> utovetores A.X =.X (2)

3 A eq. (2) pode ser escrt form (.I A).X 0 (3) pr que solução sej ão-trvl det(.i A) 0 Esse resultdo produz equção crcterístc 1 2 c( ) c 1. c2 c1 c0 0 o que produz soluções pr. Os vlores podem ser ão ecessrmete dsttos, res ou complexos, em que = 1, 2,...,. Correspodedo cd, há um solução ão-ul x = e, e e é chmdo o utovetor de A correspodedo o utovlor. Em gerl -1 Se x = e stsfz (3), etão qulquer.e de e stsfz (3). 3 Propreddes Útes de Autovlores Propredde 1: A som dos utovlores de A é 1 trço de A 1 Propredde 2: O produto dos utovlores d A é 1 det A Propredde 3: Os utovlores de A -1 (se exstr) são

4 Propredde 4: Os utovlores d trspost de A, A são Propredde 5: Se é um esclr, os utovlores de.a são. 1,. 2,...,. Propredde 6: Se é um esclr e I um mtrz detdde x, etão os utovlores de A +.I são respectvmete Propredde 7: Se é um tero postvo, etão s utovlores de A são

5 Decomposção dos Vlores Sgulres (SVD) rês mporttes plcções d SVD: 1) resolver sstems de equções leres ão-homogêeos; 2) resolver sstems de equções leres homogêeos com defcêcs de posto; 3) grtr que os elemetos de um mtrz estmd umercmete stsfçm certs restrções (ex: ortogoldde). Defção: Qulquer mtrz A m x pode ser escrt como o produto de 3 mtrzes: A = U.D.V, (1) em que s colus d mtrz U m x são vetores utáros mutumete ortogos, ssm como tmbém o são s colus d mtrz V x. A mtrz D x é dgol, seus elemetos dgos,, chmdos vlores sgulres, são ts que Propreddes d SVD Propredde 1: os vlores sgulres oferecem mporttes formções sobre sgulrdde de um mtrz qudrd. Um mtrz qudrd, A, é ão-sgulr, se e somete se todos os seus vlores sgulres são dferetes de zero. Ms mportte, os vlores sgulres tmbém dzem o quto um mtrz A está próxm de ser sgulr: rzão C 1 (2) chmd úmero de codcometo, mede o gru de sgulrdde de A. Qudo C é muto grde (1/C comprável à precsão d máqu), mtrz A é ml-codcod, e pode ser cosderd sgulr. Propredde 2: Se A é um mtrz retgulr, o úmero de ão ulos se gul o posto de A. Portto, dd um tolerâc fx ( 10-6 ), o úmero de vlores sgulres > forecem o posto efetvo d mtrz A.

6 Propredde 3: Se A é um mtrz qudrd, ão-sgulr, su vers pode ser escrt como A -1 = V.D -1.U (3) Sej A sgulr ou ão, pseudo-vers 1 de A, A +, pode ser escrt como A + = V.D o -1.U (4) com D o -1 gul D -1 pr todos os vlores sgulres ão-ulos, e zero em outro cso. Se A é ão-sgulr, etão D o -1 = D -1 e A + = A -1. Propredde 4: As colus de U correspodetes os vlores sgulres ão-ulos vrrem mgem de A, s colus de V correspodetes os vlores sgulres ulos são o espço ulo 2 de A. Propredde 5: Os qudrdos dos vlores sgulres ão-ulos são os utovlores ãoulos de mbs s mtrzes (A.A) x e (A.A ) m x m. As colus de U são utovetores de A.A, s colus de V utovetores de A.A. Além dsso, A.u. v e A.v.u, ode u e v são s colus de U e V correspodetes. Propredde 6: Um possível medd de dstâc etre mtrzes se utlz d Norm de Frobeus. Ess orm de um mtrz A é smplesmete som dos qudrdos dos elemetos,j de A, ou substtudo (5) em (1) 2 A F, j (5), j A F 2 1 A pseudo-vers de um mtrz A R m é um mtrz A + R m tl que A=A.A +.A, A + =A +.A.A +, A + = (A.A) +.A = A.(A.A ) + e A + =A -1 se A for qudrd e ão-sgulr. 2 O espço ulo de A cosste de tods s soluções pr Ax = 0.

7 Mímos Qudrdos Cosdere um sstem com m equções leres A.x b, (6) em que x é o vetor de cógts -dmesol. A mtrz A m x cotém os coefcetes ds equções, e b é o vetor m-dmesol dos ddos. Se os compoetes de b ão forem todos ulos, solução pode ser ecotrd multplcdo-se mbos os ldos d eq. (6) por A, produzdo A.A.x A b (7) Segue que solução é dd por 1 x (A.A).A.b (8) Est é cohecd solução o setdo dos mímos qudrdos 2 ( A.x b A.x b. A.x b mímo ). No cso de ms equções do que cógts 1 (A.A) cocde com pseudo-vers (A.A), desde que propredde 1 sej stsfet (úmero de codcometo de A.A ão muto grde). Sstems Homogêeos Resolver o sstem homogêeo de m equções leres em cógts A.x = 0 com m 1 e posto (A) = 1 (det(a) tem de ser ulo)

8 A solução, em fução de um ftor de escl, pode ser chd trvés d SVD. A solução é smplesmete proporcol o utovetor correspodete o úco utovlor ulo de A A. Isto pode ser provdo bxo: A orm d solução de um sstem homogêeo é rbtrár (fts soluções). Fzedo-se solução com orm utár, o setdo dos mímos qudrdos, deve-se mmzr A.x (A.x).A.x x.a.a.x, 2 submetd à restrção x.x 1 Usdo multplcdor de Lgrge (método de otmzção), sto é equvlete mmzr o Lgrgeo (x) x.a.a.x.(x.x 1) Iguldo dervd de zero, ( d ) dx A.A.x..x 0 o que mostr que é utovlor de A.A, e solução é A.A.e com. e, tem-se 0 x e. rocdo x com e e (e ) e..e.(e.e 1), ou sej, o mímo é tgdo em = 0, o meor utovlor de A.A. Etretto pode-se obter mesm solução ds propreddes 4 e 5 como: colu de V correspodete o úco vlor sgulr ulo de A.