Curso: Engenharia Industrial Elétrica

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1 urso: Egehr Idustrl Elétr Aálse de vráves omlexs MAT 6 Turm: Semestre:. Professor: Edmry S. B. Arújo Teor de Itegrção omlex Teor de Itegrção Resodeu Jesus: Em verdde, em verdde te dgo: quem ão ser d águ e do Esírto ão ode etrr o reo de Deus. Jo :5 Aros e otoros Defmos ro otíuo omo sedo um ojuto de otos do to { ( x( + y(, t }, ode ( é um fução otíu de t. hmse ro de Jord ou ro smles quele em que d oto ( orresode um úo vlor de t. hmse urv fehd todo ro ujs extremddes () e () odem; e urv fehd smles ou urv de Jord tod urv fehd ujos otos, exeção ds extremddes, sejm todos smles. Um regão R é dt smlesmete oex se qulquer urv smles fehd otd em R ode ser redud um oto, ermeedo em R. Um regão é multlmete oex se ão é smlesmete oex. Um regão smlesmete oex é quel que ão ossu uros. Exemlos: < < < Teorem d urv de Jord Um urv de Jord dvde o lo em dus regões, tedo omo froter omum urv. A regão lmtd é regão teror à urv, equto outr é regão exteror ou for d urv. A regão teror um urv smles fehd é um regão smlesmete oex e uj froter é urv smles fehd. Suoh ( :[, ] " tî(, ) e '( ¹. trjetór. Demos que ( é suve se ( exste hmremos otoro ou mho todo ro otíuo que osste de um úmero fto de ros regulres.

2 A froter ou otoro de um regão dse oretd o setdo ou dreção ostv se o oservdor, erorredo o setdo ddo, tver regão à su esquerd. Itegrção omlex e Teorem de uhy Sej f() um fução otíu em todos os otos de um urv. S å f ( ) d å f ( xk )( k k ) f ( xk ) Dk f ( ) d Itegrl de lh omlex, tegrl de lh de f() o logo d urv. Itegrção de f() o logo d froter o setdo ostvo. Símolo: Se e são qusquer dos otos de R e G() e G () f(). Se Se e são qusquer dos otos de R e G() otos de R e F ()f(), etão f ( ) d ) ) ) f ( e ) de etão G() é lít em R f ( e ) de e são qusquer dos Sej f() um fução lít um regão lmtd or dus urvs smles fehds e e sore ests urvs. Etão f ( ) d f ( ) d. Ode e são ms erorrds o setdo ostvo reltvmete seus terores. Sej f() lít um regão lmtd els urvs smles fehds,,..., ( ode,,..., estão otds regão lmtd or ) e sore ests urvs. Etão f ( ) d f ( ) d+ f ( ) d f ( ) d f ( ) d

3 osderções Itegrs de lh res Se P(x, y) e Q(x, y) são fuções res de x e y otíus em todos os otos d urv, tegrl de lh rel de Pdx + Qdy o logo d urv ode ser defd omo I Pdx+ Qdy Sej f() u + v um fução otíu em. A tegrl de lh omlex ose ser exress em termos ds tegrs de lhs res or f ( ) d ( u+ v)( dx+ dy) udxvdy+ vdx+ udy Teorem de Greem o lo: Sejm P(x, y) e Q(x, y) fuções otíus om dervds rs otíus um regão R e sore su froter. æ Q Pö Pdx+ Qdy ç dxdy x y R è ø Teorem de uhy : Sej f() um fução lít em R e sore su froter. Etão Se é suve e tem equções rmétrs vlor de (I) é ddo or: Se f() é um fução otíu em. Reresetção do otoro, (, t, defmos f ( ) d f ( ( ) '( dt Sej u( + v( um fução otíu vrável t um tervlo [, ]. Proreddes: dt f ( ) d udxvdy+ vdx+ udy I t t { u( x'( v( y'( } dt+ dt ' { P( f(, y ( ) f ( } dt+ ( ) '( dt x f( e y y (, odet t t t t ' { Q( f(, y ( ). y ( } dt { v( x'( + u( y'( } dt, o

4 ) [ f ( ) + g( )] d f ( ) d+ g( ) d ) Af ( ) d A f ( ) d ) f ( ) d f ( ) d 4) f ( ) d f ( ) d+ f ( ) d, e m erteem. 5) f ( ) d f ( ) d+ f ( ) d + Þ Fórmul d tegrl de uhy. Se f () for lít detro e o otoro de um f regão smlesmete oetd D e se for qulquer oto tero etão f ( o). m Exemlos m ( ) d ) Eotre d ode é rte de um rulo utáro de ( ruferê de írulo utáro erorredo o setdo t horáro.) f ( ) d ( x y ) dx xydy+ (xydx+ ( x y ) dy d Outr mer de demostrr írulo utáro. q ou e osq + seq q q q q q ( e ). e. dq e.. dq e. dq q d q q e dq e q e e é êe ë ù os + se ú û

5 ) d Ode é o írulo utáro. ) De form smlr eotrmos r tegrl írulo de etro e ro r. q rþ re Þ + re q d re q dq ( ) d, ode é o Pr ¹ re q q ( re ) dq Pr q re dq q re d 4) lule, ode é qulquer urv smles fehd e está: ) for de e d regão lmtd or d ) ertee regão lmtd or. d d 5) Avle ( ) ode é urv 5

6 Dervds de um fução Alít Se f() for lít um domío smlesmete oetdo D, etão em qulquer oto tero s dervds de f() de tods s ordes exstrão e serão líts. As dervds ( )! f ( ) de são dds or : f ( ) d, ode é qulquer urv fehd + ( ) smles que evolve e está detro de D. ( ) se Exemlo: Eotre d, ode é trjetór. + ) ) + ) )o umerdor é líto, logo vle deomdor f() se + ( ) ( ) se( ) seh( ) se + d f () os é ode er o Se( x+ y) se ( x) osh( y) + os( x) seh( y) Se( ) seh( ) Se( ) seh( ) ( ) seh Þ Þ seh ) + Pr trjetór ) ( ) ( ) se Þ d + se ( ) + os odu ( ) seq sh

7 Pr trjetór ) utlremos + sh

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