Método de Gauss- Seidel

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1 .7.- Método de Guss- Sedel Supohmos D = I, como fo feto pr o método de Jco-Rchrdso. Trsformmos o sstem ler A = como se segue: (L + I + R) = (L + I) = - R + O processo tertvo defdo por: é chmdo de Guss-Sedel. = - (L + I) - R + (L + I) - X (k + ) = - ( L + I) - R (k) + (L + I) - Eplctdo s compoetes, usdo pr sso equç ão do processo form: (L + I) (k + ) = - R (k) + ou X (k+) = - L (k+) R (k) + Result que o método de Guss-Sedel cosste determção de um sequêc de promtes de ídce k k) prtr de vlores cs (, ( k ),..., ( k ), k =,,,... 0) (, ( o),..., o) ( trvés do processo tertvo defdo por: (k + ) = 0 - (k) (k) + (k + ) (k+ ) = (k) (k) (k) + (k + ) (k ) = (k + ) 0 (k ) (k + ) = - (k ) + - (k + ) (k + )

2 Vemos por ests equções que s compoetes de (k+) são clculds sucessvmete sem ecessdde de se clculr ( L + I) -. Esse método dfere do de Jco-Rchrdso por utlzrmos pr o cálculo de um compoete de (k + ) o vlor ms recete ds dems compoetes..7.- Crtéro de covergêc. ) O Crtéro de Sssefeld: Aplcdo o crtéro gerl de covergêc, clculemos: B = (L + I) R Recordemos que: B = m k. Portto se k stsfzer desguldde Se y = B B k teremos B k. y = - (L + I ) - R (L + I)y = - R ou y = - Ly R. Assm o vetor y é otdo de prtr ds equções: (I) y = 0 L y = y 0 L y = y y 0 L M y = y y y L 0 Clculemos y = B como y = m y A prtr ds equções (I) cosegumos s segutes morções: y = m = β ode β = 5

3 \ y β y = y + + m = + = + = = ( + ) = β ode β = ( + ) \ y Alogmete, otemos: y m = ( + ) = + ode β = ( + ) ode + \ y. Portto: B = y = m y m B m. Podemos eucr gor o Crtéro de Sssefeld: O método de Guss-Sedel coverge se: m < ode os β são clculdos por recorrêc trvés de: β =

4 ) Crtéro ds lhs O método de Guss-Sedel coverge se o crtéro ds lhs for stsfeto, sto é, se: m <. = Pr provr este crtéro st verfcr que codção mplc β < =,,...,. De fto: Pr =, temos: m < = β = m = = <. Supohmos β < pr =,,..., -. Etão = + β = β + m <. Portto m β < e o crtéro de Sssefeld é verfcdo. Oservções: - Ddo um sstem ler A= pode cotecer que o método de co-rchrdso plcdo ele resulte covergete equto que o de Guss-Sedel result dvergete e vce-vers. - Se B ão for precvelmete meor que covergêc pode ser stte let. - A covergêc pr os métodos: Jco-Rchrdso e Guss-Sedel ão depede do vlor cl (0). - Um permutção coveete ds lhs ou colus de A tes de dvdr cd equção pelo coefcete d dgol prcpl pode reduzr o vlor de B. 7

5 Eemplo.7.: Resolver o sstem: = = = 0 pelo método de Guss-Sedel com (0) = (0,0,0) t e ε < 0 -. Solução: Dvddo cd equção pelo correspodete elemeto d dgol prcpl otemos: = = = 0 Temos: m = Portto, por esse crtéro ão podemos grtr covergêc. Ms plcdo o crtéro de Sssefeld, temos: β = = 0.4 β = ( 0. 4) = = 0.55 β = 0. 5 ( 0. 4) + (0.5) (0.55) = = m β = 0.55 < Logo temos o crtéro de covergêc stsfeto. Efetudo-se s terções defds por: ( k+ ) ( k) ( k ) = ( k+ ) ( k+ ) ( k) = = ( k+ ) ( k+ ) ( k+ ) prtr de (0) = (0,0,0) t, resultm os segutes vlores: K

6 Oservções: - Pr ε < 0 - temos que solução do sstem é = (.00 ; 0.99 ; -.00) t - A solução et do sstem proposto é = (,, -) t..7.- Eercícos:.7..) Resolver o sstem: 0 + = = + 0 = pelo método de Jco-Rchrdso com (0) = (0,0,0) t e ε< ) Ddo o sstem: = = = 0 ) Verfcr possldde de plcção do método tertvo de co-rchrdso. ) Se possível, resolvê-lo pelo método do tem )..7..) Ddo o sstem: = 4 + = = Mostrr que reordedo s equções e cógts poderemos fzer com que o crtéro de Sssefeld se stsfeto, ms ão o ds lhs..7..4) Ddo o sstem = = + 0 = ) Verfcr covergêc usdo o crtéro ds lhs e o crtéro de Sssefeld. ) Reslover o sstem por:.- Jco-Rchrdso..- Guss-Sedel. Efetur, em mos os csos, dus terções prtdo-se d0 vetor (0) = (-.4; 5; 0.) t. 9

7 .7..5) Clculr u, u, u 4 e u 5 resolvedo equção de dfereçs () u + + u + + u = com s codções de cotoro u = 0 e u 6 = Oservção: Escrever () pr =,, e 4 e resolver o sstem resultte pelo Método de Guss-Sedel..7..6) Ddo o sstem: = 8 ) Verfcr covergêc usdo o crtéro de Sssefeld. ) Resolver pelo Método de Guss-Sedel ( terções prtr do vetor ulo). 40