Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Ânderson Vieira

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Ânderson Vieira"

Transcrição

1 CÁLCULO DE ÁREAS Cálculo de áres Cálculo Diferencil e Integrl II Prof. Ânderson Vieir Considere região S que está entre dus curvs y = f(x) e y = g(x) e entre s curvs verticis x = e x = b, onde f e g são funções contínus e f(x) g(x) pr todo x em [,b]. Vej figur: Figur : S = {(x,y) x b, g(x) y f(x)} Dividindo S em n fixs de lrgurs iguis, proximmos i-ésim fix por um retângulo com bse x e ltur f(x i) g(x i). A som de Riemnn n [f(x i) g(x i)] x é um proximção que intuitivmente pensmos como áre de S. i= () Retângulo típico (b) Retângulos proximdores Portnto, definimos áre A de S como o vlor do limite d som ds áres destes retângulos proximdos n A = lim [f(x i ) g(x i )] x; n isto é, i=

2 CÁLCULO DE ÁREAS Definição.. A áre A d região limitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e entre s curvs x = e x = b, onde f e g são funções contínus e f(x) g(x) pr todo x em [,b], é A = [f(x) g(x)]dx. Exemplo.. Encontre áre d região limitd por cim por y = e x, por bixo por y = x e limitd pelos ldos por x = 0 e x =. Exemplo.2. Encontre áre d região entre s prábols y = x 2 e y = 2x x 2. Pr encontrr áre entre s curvs y = f(x) e y = g(x), onde f(x) g(x) pr lguns vlores de x, ms g(x) f(x) pr outros vlores, então dividimos região S dde em váris regiões S, S 2,..., com áres A, A 2,... Então áre de S e som ds áres ds regiões menores S, S 2,...: A = A +A Como { f(x) g(x), qundo f(x) g(x) f(x) g(x) = g(x) f(x), qundo g(x) f(x) temos definição mis gerl Definição.2. A áre A d região limitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e entre s curvs x = e x = b, onde f e g são funções contínus pr todo x em [,b], é A = f(x) g(x) dx. Exemplo.3. Encontre áre d região limitd pels curvs y = sin(x) e y = cos(x), x = 0 e x = π 2. Tmbém temos Definição.3. A áre A d região limitd pels curvs x = f(y) e x = g(y) e entre s curvs y = c e y = d, onde f e g são funções contínus e f(y) g(y) pr todo y em [c,d], é A = v c [f(y) g(y)] dy. Exemplo.4. Encontre áre limitd pel ret y = x e pel prábol y 2 = 2x+6. 2

3 2 VOLUME 2 Volume Sej A(x) áre d seção trnsversl de S o plno P x perpendiculr o eixo x e pssndo pelo ponto x, onde x b, como mostr figur: A áre d seção trnsversl A(x) vir qundo x ument de té b. Vmos dividir S em n ftis de lrgurs iguis x usndo os plnos P x, P x2,...pr ftir o sólido. Se escolhermos pontos de mostrgem x i em [x i,x i ], podemos proximr i-ésim fti S i por um cilindro com áre de bse A(x i) e ltur x. O volume desse cilindro é proximdmente Somndo tods s ftis teremos V(S i ) A(x i ) x. V(S) n A(x i) x. Qundo fizermos n melhormos est proximção. i= Definição 2.. Sej S um sólido que está entre x = e x = b. Se áre d seção trnsversl de S o plno P x perpendiculr o eixo x e pssndo pelo ponto x é A(x), onde A é um função contínu, então volume de S é V = lim n n A(x i ) x = A(x) dx. Exemplo 2.. Mostre que o volume de um esfer de rio r é V = 4 3 πr3. i= 3

4 2 VOLUME Exemplo 2.2. Encontre o volume do sólido obtido pel rotção o redor do eixo x d região sob curv y = x de 0 té. Exemplo 2.3. Encontre o volume do sólido obtido pel rotção limitd por y = x 3, y = 8 e x = 0 o redor do eixo y. Exemplo 2.4. A região R limitd pels curvs y = x e y = x 2 é gird o redor do eixo x. Encontre o volume do sólido resultnte. 4

5 2 VOLUME Exemplo 2.5. Encontre o volume do sólido obtido pel rotção d região do Exemplo 2.4 o redor d ret y = 2. Os sólido obtidos nos exemplos são todos chmdos sólidos de revolução, porque eles são obtidos pel rotção de um região o redor de um eixo. Em gerl, usmos fórmul básic V = A(x)dx ou V = d c A(y) dy. Exemplo 2.6. Encontre o volume do sólido obtido pel rotção no Exemplo 2.4 o redor d ret x =. 5

6 2. Cálculo de volumes por cscs cilíndrics 2 VOLUME 2. Cálculo de volumes por cscs cilíndrics Considere S como sendo o sólido obtido pel rotção o redor do eixo y d região limitd por y = f(x) (f(x) 0), y = 0, x = e x = b, onde b > 0. Definição 2.2. O volume do sólido cim obtido pel rotção o redor do eixo y d região sob curv y = f(x) de té b é V = 2πxf(x)dx, onde 0 < b. Exemplo 2.7. Ache o volume do sólido obtido pel rotção o redor do eixo y d região limitd por y = 2x 2 x 3 e y = 0. Exemplo 2.8. Ache o volume de um sólido obtido pel rotção o redor do eixo y d região entre y = x e y = x 2. 6

7 3 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 3 Integris Imprópris 3. Intervlos Infinitos Considere região S que está sob curv y = x2, cim do eixo x e à direit d ret x =. A áre d prte de S é Note que A(t) = t x 2 dx = t. lim A(t) = lim t t t =. Definição 3. (Integrl imprópri Tipo I). () Se desde que o limite exist (como um número). t t f(x)dx = lim t f(x)dx existe pr cd número t, então f(x)dx (b) Se t f(x)dx existe pr cd número t b, então f(x)dx = lim f(x)dx t t 7

8 3.2 Integrndos Descontínuos 3 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS (c) Se desde que o limite exist (como um número). As integris imprópris f(x)dx e correspondentes existem, e divergentes cso contrário. f(x)dx e f(x) dx são convergentes, então definimos Exemplo 3.. Determine se integrl Exemplo 3.2. Avlie Exemplo 3.3. Avlie 0 xe x dx. +x 2 dx. f(x)dx = Exemplo 3.4. Pr que vlores de p integrl 3.2 Integrndos Descontínuos f(x)dx são chmds convergentes se os limites f(x)dx+ f(x)dx. dx é convergente ou divergente. x dx é convergente? xp Suponh que f sej um função positiv definid no intervlo finito [, b) ms com ssíntot verticl em b. A áre entre e t é A(t) = t f(x)dx. Se contecer de A(t) proximr um número definido A qundo t b, então dizemos que áre será t A = f(x)dx = lim f(x)dx. t b Definição 3.2 (Integrl imprópri Tipo II). () Se f é contínu em [,b) e descontínu em b, então f(x)dx = lim t b desde que o limite exist (como um número). t f(x)dx 8

9 4 COMPRIMENTO DE ARCO (b) Se f é contínu em (,b] e descontínu em, então f(x)dx = lim f(x)dx t + t desde que o limite exist (como um número). As integris imprópris f(x) dxé chmd convergente se os limites correspondentes existem, e divergentes cso contrário. (c) Se f tiver um descontinuidde em c, onde < c < b e mbos convergentes, então definimos c f(x)dx e c f(x)dx são f(x)dx = c f(x)dx+ c f(x)dx. Exemplo 3.5. Clcule 5 2 x 2 dx. Exemplo 3.6. Determine se π 2 0 sec(x) dx converge ou diverge. Exemplo 3.7. Avlie 3 0 dx se for possível. x Exemplo 3.8. Avlie 0 ln(x) dx. Teorem 3. (Teorem de Comprção). Suponh que f e g sejm funções contínus com 0 g(x) f(x), pr x. () Se f(x)dx é convergente, então g(x) dx é convergente. (b) Se g(x)dx é divergente, então f(x)dx é divergente. Exemplo 3.9. Mostre que 0 e x2 dx é convergente. Exemplo 3.0. Mostre que integrl +e x dx é divergente. x 4 Comprimento de rco Suponhmos que um curv C sej definid pel equção y = f(x), onde f é contínu e x [,b]. Definição 4. (Comprimento de Arco). Se f é contínu em [,b], então o comprimento d curv y = f(x), x b, é L = +[f (x)] 2 dx. Exemplo 4.. Clcule o comprimento de rco d prábol semicúbic y 2 = x 3 entre os pontos (,) e (4,8). 9

10 5 ÁREA DE SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO Se um curv tem equção x = g(y), c y d e g (x) é contínu, então Definição 4.2. Se g é conínu em [c,d], então o comprimento d curv x = g(y), c y d, é L = d c +[g (y)] 2 dy. Exemplo 4.2. Clcule o comprimento de rco d prábol y 2 = x de (0,0) (,). Exemplo 4.3. Ache função comprimento de rco pr curv y = x 2 ln(x) tomndo P 0 (,) 8 como ponto inicil. 5 Áre de superfície de revolução Considere superfície mostrd n figur bixo, obtid pel rotção d curv y = f(x), x b, o redor do eixo x, onde f é positiv e tem um derivd contínu. Definimos áre d superfície como S = 2πf(x) +[f (x)] 2 dx. Se curv é descrit como x = g(y), c y d, então fórmul torn-se S = d c 2πg(y) +[g (x)] 2 dy. Exemplo 5.. A curv y = 4 x 2, x, é um rco do círculo x 2 +y 2 = 4. Encontre áre d superfície obtid pel rotção desse rco o redor do eixo. (A superfície é um porção de um esfer de rio 2. 0

11 6 APLICAÇÃO À FÍSICA E À ENGENHARIA Exemplo 5.2. O rco d prábol y = x 2 de (,) pr (2,4) é girdo o redor do eixo y. Encontre áre d superfície resultnte. Exemplo 5.3. Ache áre d superfície gerd pel rotção d curv y = e x, 0 x, o redor do eixo x. 6 Aplicção à Físic e à Engenhri Junto com s muits plicção de cálculo integrl à físi e à engenhri considermos dus qui: forç devido à pressão d águ e centros de mss. 6. Pressão Hidrostátic e Forç Mergulhdores notm que pressão d águ ument qundo eles mergulhm mis profundmente. Isso ocorre por cus do umento do peso d águ cim deles. Em gerl, suponh que um plc horizontl fin com áre A metros qudrdos sej submers em um fluido de densidde ρ quilogrms pro metro cúbico um profundidde d metros bixo d superfície do fluido, como mostr figur O fluido diretmente cim d plc tem volume V = Ad, ssim su mss é m = ρv = ρad. A forç exercid pelo fluido n plc é, portnto: F = mg = ρgad, onde g é celerção d grvidde. A pressão P n plc é definid como sendo forç por unidde de áre: P = F A = ρgd(n/m2 = P). Exemplo 6.. Um vez que densidde d águ é de ρ = 000kg/m 3, qul é pressão no fundo de um piscin de 2m de profundidde? Em qulquer ponto no líquido pressão é mesm em tods s direções. Então, pressão em qulquer direção um profundidde d em um fluido com densidde ρ é dd por P = ρgd = δd. () Isso nos jud determinr forç forç hidrostátic contr um plc verticl ou prede de um repres em um fluido. Este não é um problem simples, porque pressão não é constnte, ms ument com o umento d profundidde. Exemplo 6.2. Um repres tem o formto do trpézio como mostr figur No Sistem Interncionl de Uniddes pressão é medid em P

12 6.2 Momentos e Centros de Mss 6 APLICAÇÃO À FÍSICA E À ENGENHARIA A ltur é de 20m e lrgur é de 50m no topo e 30m no fundo. Clcule forç n repres devido à pressão hidrostátic d águ se o nível de águ está 4m do topo d repres. Exemplo 6.3. Clcule forç hidrostátic no extremo de um tmbor cilíndrico com rio de 3 pés que está submerso em águ com 0 pés de profundidde. 6.2 Momentos e Centros de Mss Nosso principl objetivo qui é encontrr o ponto P no qul um fin plc de qulquer formto se equilibr horizontlmente, como mostr figur Esse ponto é chmdo centro de mss ou centro de grvidde d plc. Consideremos situção mis simples 2

13 6 APLICAÇÃO À FÍSICA E À ENGENHARIA 6.2 Momentos e Centros de Mss O eixo ficrá em equilíbrio se m d = m 2 d 2, onde m e m 2 são dus msss press um bstão de mss desprezível em ldos opostos um poio e distâncis d e d 2 do poio. Pssndo pr um sistem de coordends teremos ssim teremos x = m x +m 2 x 2, m +m 2 onde m x e m 2 x 2 são chmdos de momentos ds msss m e m 2 em relção à origem. No gerl, em um sistem de n prtículs com msss m,...,m n loclizds nos pontos x,...,x n sobre o eixo n m i x i x = i=. n m i i= Agor considere um sistem de n prtículs com msss m,...,m n loclizds nos pontos (x,y ),...,(x n,y n ) no plno xy como mostr figur Anlogmente, definimos o momento do sistem com relção o eixo y como n M y = m i x i e o momento do sistem com relção o eixo x como n M x = m i y i i= i= ssim s coordends do centro de mss (x,y), são onde m = n m i. i= x = M y m e y = M y m, 3

14 6.2 Momentos e Centros de Mss 6 APLICAÇÃO À FÍSICA E À ENGENHARIA Exemplo 6.4. Clcule os momentos e os centro de mss do sistem de objetos que têm msss 3, 4 e 8 nos pontos (,), (2, ) e (3,2). A seguir considermos um plc pln (chm de lâmin) com densidde uniforme ρ que ocup um região R do plno. Desejmos encontrr o centro de mss d plc, chmdo centroide ( ou centro geométrico) de R. Suponhmos que região R sej do tipo mostrdo bixo ou sej, entre s rets x = e y = b, cim do eixo x e bixo do gráfico de f, sendo f um função contínu. O centro de mss d plc ou o centroide de R está loclizdo no ponto (x,y), onde e A = f(x)dx. x = A xf(x)dx e y = A [f(x)] 2 dx 2 Exemplo 6.5. Clcule o centro de mss de um plc semicirculr de rio r Exemplo 6.6. Encontre o centroide d região limitd pels curvs y = cos(x), y = 0, x = 0 e x = π 2. Se região R está entre s curvs y = f(x) e y = g(x), onde f(x) g(x), como n figur então o centroide (x,y) é ddo por onde A = x = A f(x)dx. x[f(x) g(x)]dx e y = A [f(x)] 2 [g(x)] 2 dx 2 Exemplo 6.7. Encontre o centroide d região limitd pel ret y = x e prábol y = x 2. 4

15 7 EXERCÍCIOS 7 Exercícios Áres entre curvs Clcule áre d região. y = x+, y = 9 x 2, x =, x = 2 R: 9,5 2. y = x, y = x 2 R: 6 3. y = x, y = x 2, x = 2 R: ln y = x 2, y 2 = x R: 3 5. y = 4x 2, y = x 2 +3 R: 4 6. y = x+, y = (x ) 2, x =, x = 2 R: y 2 = x, x 2y = 3 R: x = y 2, x = y 2 R: y = cos(x), y = sin(2x), x = 0, x = π 2 R: 2 Volumes Encontre o volume do sólido obtido pel rotção d região limitd pels curvs dds em torno dos eixos especificdos. Esboce região, o sólido e um disco típico ou rruel.. y = x 2, x =, y = 0; o redor do eixo x R: π 5 2. y = x, x =, x = 2, y = 0; o redor do eixo x R: π 2 3. y = x 2, 0 x 2, y = 4, x = 0; o redor do eixo y R: 8π 4. y = x 2,y 2 = x; o redor do eixo y R: 3π 0 5. y 2 = x, x = 2y; o redor do eixo y R: 64π 5 6. y = x, y = x; o redor de y = R: π 6 7. y = x 4, y = ; o redor de y = 2 R: 208π x = y 2, x = ; o redor de x = R: 6π 5 9. y = x 2, x = y 2 ; o redor de x = R: 29π 30 5

16 7 EXERCÍCIOS Cscs Cilíndrics Use o método ds cscs cilíndrics pr chr o volume gerdo ( pel rotção o redor do eixo y d região limitd pels curvs. Esboce região e csc típic. V = ) b 2πxf(x)dx. y =, y = 0, x =, x = 2 R: 2π x ( 2. y = e x2, y = 0, x = 0, x = R: π ) e 3. y 2 = x, x = 2y R: 64π 5 Use o método ds cscs cilíndrics pr chr o volume gerdo ( pel rotção o redor do eixo y d região limitd pels curvs. Esboce região e csc típic. V = ) b 2πyf(y)dy. x = +y 2, x = 0, y =, y = 2 R: 2π 2 2. y = x 2, y = 9 R: 944π 5 3. y = x, y = 0, x+y = 2 R: 5π 6 Integris Imprópris. Determine se cd integrl é convergente ou divergente. Avlie quels que são convergente. () (b) (c) (d) (e) (x 2) x dx e 5p dp dx x 2 +x 2 dx xe x2 dx Comprimento de rco (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) 0 0 e 0 sin 2 (α)dα x 2 +x dx ze 2z dz lnx x dx x 2 9+x 6 dx x(ln(x)) 3 dx 3 x 5 dx. Clcule o comprimento d curv () y = 3 (x2 +2) 3 2, 0 x (b) y = x x 2, x 3 (c) y = ln(sec(x)), 0 x π 4 (d) y = ln( x 2 ), 0 x 2 (e) y = e x, 0 x 6

17 7 EXERCÍCIOS Áre de Superfície de Revolução. Clcule áre d superfície obtid pel rotção d curv o redor do eixo x. () y = x 3, 0 x 2 (b) y = x, 4 x 9 (c) y = sin(x), 0 x π (d) x = 3 (y2 +2) 3 2, y 2 2. Clcule áre d superfície obtid pel rotção d curv o redor do eixo y. () y = 3 x, x 2 (b) x = e 2y, 0 y 2 (c) x = 2 2 (y2 ln(y)), y 2 Aplicção à Físic e à Engenhri. Um quário de 5 pés de comprimento, 2 pés de lrgur e 3 pés de profundidde está cheio de águ. Clcule: () pressão hidrostátic no fundo do quário; (b) forç hidrostátic no fundo; (c) forç hidrostáti em um extremo do quário. 2. Um cnl é preenchido com um líquido de densidde 840kg/m 3. Os extremos do cnl são triângulos equiláteros com ldos de 8m de comprimento e o vértice no fundo. Clcule forç hidrostátic em um extremo do cnl. 3. Um cubo com ldos de 20cm de comprimento está no fundo de um quário no qulágutemmdeprofundidde. Clcule forç hidrostátic: () no topo do cubo; (b) em um dos ldos do cubo. 4. Um piscin tem 20 pés de lrgur, 40 pés de comprimento e seu fundo é um plno inclindo. Os extremos mis rsos tem um profundidde de 3 pés e o extremo mis fundo 9 pés. Se piscin estiver chei de águ, clcule forç hidrostátic () no extremo mis rso; (b) no extremo mis fundo; (c) em um dos ldos; (d) no fund d piscin. 5. Clcule s coordends do centroide. () y = x 2, y = 0, x = 2 (b) y = e x, y = 0, x = 0, x = 6. Clcule s coordends do centroide d região limitd pels curvs. () y = sin(2x), y = 0, x = 0 e x = π 2 (b) y = sin(x), y = cos(x), x = 0, x = π 4 (c) x = 5 y 2, x = 0 7

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos 3. Cálculo integrl em IR 3.. Integrl Indefinido 3... Definição, Proprieddes e Exemplos A noção de integrl indefinido prece ssocid à de derivd de um função como se pode verificr prtir d su definição: Definição

Leia mais

b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 8.1B Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp

b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 8.1B Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp 8.1 Áres Plns Suponh que cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região D é

Leia mais

INTEGRAL DEFINIDO. O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana.

INTEGRAL DEFINIDO. O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana. INTEGRAL DEFINIDO O oneito de integrl definido está reliondo om um prolem geométrio: o álulo d áre de um figur pln. Vmos omeçr por determinr áre de um figur delimitd por dus rets vertiis, o semi-eio positivo

Leia mais

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução (9) - www.elitecmpins.com.br O ELITE RESOLVE MATEMÁTICA QUESTÃO Se Améli der R$, Lúci, então mbs ficrão com mesm qunti. Se Mri der um terço do que tem Lúci, então est ficrá com R$, mis do que Améli. Se

Leia mais

Calculando volumes. Para pensar. Para construir um cubo cuja aresta seja o dobro de a, de quantos cubos de aresta a precisaremos?

Calculando volumes. Para pensar. Para construir um cubo cuja aresta seja o dobro de a, de quantos cubos de aresta a precisaremos? A UA UL LA 58 Clculndo volumes Pr pensr l Considere um cubo de rest : Pr construir um cubo cuj rest sej o dobro de, de quntos cubos de rest precisremos? l Pegue um cix de fósforos e um cix de sptos. Considerndo

Leia mais

Apoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc.

Apoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc. Aul Métodos Esttísticos sticos de Apoio à Decisão Aul Mônic Brros, D.Sc. Vriáveis Aletóris Contínus e Discrets Função de Probbilidde Função Densidde Função de Distribuição Momentos de um vriável letóri

Leia mais

Aplicações da Integral

Aplicações da Integral Módulo Aplicções d Integrl Nest seção vmos ordr um ds plicções mtemático determinção d áre de um região R do plno, que estudmos n Unidde 7. f () e g() sejm funções con-, e que f () g() pr todo em,. Então,

Leia mais

Cálculo III-A Módulo 8

Cálculo III-A Módulo 8 Universidde Federl Fluminense Instituto de Mtemátic e Esttístic Deprtmento de Mtemátic Aplicd álculo III-A Módulo 8 Aul 15 Integrl de Linh de mpo Vetoril Objetivo Definir integris de linh. Estudr lgums

Leia mais

Relações em triângulos retângulos semelhantes

Relações em triângulos retângulos semelhantes Observe figur o ldo. Um escd com seis degrus está poid em num muro de m de ltur. distânci entre dois degrus vizinhos é 40 cm. Logo o comprimento d escd é 80 m. distânci d bse d escd () à bse do muro ()

Leia mais

Vestibular UFRGS 2013 Resolução da Prova de Matemática

Vestibular UFRGS 2013 Resolução da Prova de Matemática Vestibulr UFRG 0 Resolução d Prov de Mtemátic 6. Alterntiv (C) 00 bilhões 00. ( 000 000 000) 00 000 000 000 0 7. Alterntiv (B) Qundo multiplicmos dois números com o lgrismo ds uniddes igul 4, o lgrismo

Leia mais

FUNC ~ OES REAIS DE VARI AVEL REAL

FUNC ~ OES REAIS DE VARI AVEL REAL FUNC ~ OES REAIS DE VARI AVEL REAL Clculo Integrl AMI ESTSetubl-DMAT 15 de Dezembro de 2012 AMI (ESTSetubl-DMAT) LIC ~AO 18 15 de Dezembro de 2012 1 / 14 Integrl de Riemnn Denic~o: Sej [, b] um intervlo

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula. Márcia Federson e Gabriela Planas

Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula. Márcia Federson e Gabriela Planas Cálculo Diferencil e Integrl - Nots de Aul Márci Federson e Gbriel Plns de mrço de 03 Sumário Os Números Reis. Os Números Rcionis................................ Os Números Reis.................................

Leia mais

1 As grandezas A, B e C são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional a C.

1 As grandezas A, B e C são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional a C. As grndezs A, B e C são tis que A é diretmente proporcionl B e inversmente proporcionl C. Qundo B = 00 e C = 4 tem-se A = 5. Qul será o vlor de A qundo tivermos B = 0 e C = 5? B AC Temos, pelo enuncido,

Leia mais

Lista 4. 2 de junho de 2014

Lista 4. 2 de junho de 2014 Lista 4 2 de junho de 24 Seção 5.. (a) Estime a área do gráfico de f(x) = cos x de x = até x = π/2 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas. Esboce os gráficos e os retângulos. Sua

Leia mais

Uma roda gigante tem 10m de raio e possui 12 assentos, igualmente espaçados, e gira no sentido horário.

Uma roda gigante tem 10m de raio e possui 12 assentos, igualmente espaçados, e gira no sentido horário. Questão PROVA FINAL DE MATEMÁTICA - TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - OUTUBRO DE. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Um rod

Leia mais

Gabarito - Matemática Grupo G

Gabarito - Matemática Grupo G 1 QUESTÃO: (1,0 ponto) Avlidor Revisor Um resturnte cobr, no lmoço, té s 16 h, o preço fixo de R$ 1,00 por pesso. Após s 16h, esse vlor ci pr R$ 1,00. Em determindo di, 0 pessos lmoçrm no resturnte, sendo

Leia mais

{ 2 3k > 0. Num triângulo, a medida de um lado é diminuída de 15% e a medida da altura relativa a esse lado é aumentada

{ 2 3k > 0. Num triângulo, a medida de um lado é diminuída de 15% e a medida da altura relativa a esse lado é aumentada MATEMÁTICA b Sbe-se que o qudrdo de um número nturl k é mior do que o seu triplo e que o quíntuplo desse número k é mior do que o seu qudrdo. Dess form, k k vle: ) 0 b) c) 6 d) 0 e) 8 k k k < 0 ou k >

Leia mais

Universidade Federal da Bahia

Universidade Federal da Bahia Universidde Federl d Bhi Instituto de Mtemátic DISCIPLINA: MATA0 - CÁLCULO B UNIDADE II - LISTA DE EXERCÍCIOS Atulizd 008. Coordends Polres [1] Ddos os pontos P 1 (, 5π ), P (, 0 ), P ( 1, π ), P 4(, 15

Leia mais

Matemática D Extensivo V. 6

Matemática D Extensivo V. 6 Mtemátic D Extensivo V. 6 Exercícios 0) ) cm Por definição temos que digonl D vle: D = D = cm. b) 6 cm² A áre d lterl é dd pel som ds áres dos qutro ldos que compõe: =. ² =. ( cm)² = 6 cm² c) 96 cm² O

Leia mais

Notas Teóricas de Análise Matemática

Notas Teóricas de Análise Matemática Nots Teórics de Análise Mtemátic Rui Rodrigues Deprtmento de Físic e Mtemátic Instituto Superior de Engenhri de Coimbr Índice Primitivção de funções reis de vriável rel. Primitivção...................................2

Leia mais

Matemática Aplicada. A Mostre que a combinação dos movimentos N e S, em qualquer ordem, é nula, isto é,

Matemática Aplicada. A Mostre que a combinação dos movimentos N e S, em qualquer ordem, é nula, isto é, Mtemátic Aplicd Considere, no espço crtesino idimensionl, os movimentos unitários N, S, L e O definidos seguir, onde (, ) R é um ponto qulquer: N(, ) (, ) S(, ) (, ) L(, ) (, ) O(, ) (, ) Considere ind

Leia mais

Somos o que repetidamente fazemos. A excelência portanto, não é um feito, mas um hábito. Aristóteles

Somos o que repetidamente fazemos. A excelência portanto, não é um feito, mas um hábito. Aristóteles c L I S T A DE E X E R C Í C I O S CÁLCULO INTEGRAL Prof. ADRIANO PEDREIRA CATTAI Somos o que repetidmente fzemos. A ecelênci portnto, não é um feito, ms um hábito. Aristóteles Integrl Definid e Cálculo

Leia mais

1 Fórmulas de Newton-Cotes

1 Fórmulas de Newton-Cotes As nots de ul que se seguem são um compilção dos textos relciondos n bibliogrfi e não têm intenção de substitui o livro-texto, nem qulquer outr bibliogrfi. Integrção Numéric Exemplos de problems: ) Como

Leia mais

Um fluido é considerado estático quando as partículas não se deformam, isto é, estão em repouso ou em movimento de corpo rígido.

Um fluido é considerado estático quando as partículas não se deformam, isto é, estão em repouso ou em movimento de corpo rígido. Estátic de Fluidos Um fluido é considerdo estático qundo s rtículs não se deformm, isto é, estão em reouso ou em movimento de coro ríido. Como um fluido não suort tensões cislhntes sem se deformr, em um

Leia mais

, então ela é integrável em [ a, b] Interpretação geométrica: seja contínua e positiva em um intervalo [ a, b]

, então ela é integrável em [ a, b] Interpretação geométrica: seja contínua e positiva em um intervalo [ a, b] Interl Deinid Se é um unção de, então su interl deinid é um interl restrit à vlores em um intervlo especíico, dimos, O resultdo é um número que depende pens de e, e não de Vejmos deinição: Deinição: Sej

Leia mais

CPV O cursinho que mais aprova na GV

CPV O cursinho que mais aprova na GV O cursinho que mis prov n GV FGV Administrção 04/junho/006 MATEMÁTICA 0. Pulo comprou um utomóvel fle que pode ser bstecido com álcool ou com gsolin. O mnul d montdor inform que o consumo médio do veículo

Leia mais

Semelhança e áreas 1,5

Semelhança e áreas 1,5 A UA UL LA Semelhnç e áres Introdução N Aul 17, estudmos o Teorem de Tles e semelhnç de triângulos. Nest ul, vmos tornr mis gerl o conceito de semelhnç e ver como se comportm s áres de figurs semelhntes.

Leia mais

1. VARIÁVEL ALEATÓRIA 2. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

1. VARIÁVEL ALEATÓRIA 2. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Vriáveis Aletóris 1. VARIÁVEL ALEATÓRIA Suponhmos um espço mostrl S e que cd ponto mostrl sej triuído um número. Fic, então, definid um função chmd vriável letóri 1, com vlores x i2. Assim, se o espço

Leia mais

Vestibular Comentado - UVA/2011.1

Vestibular Comentado - UVA/2011.1 estiulr Comentdo - UA/0. Conecimentos Específicos MATEMÁTICA Comentários: Profs. Dewne, Mrcos Aurélio, Elino Bezerr. 0. Sejm A e B conjuntos. Dds s sentençs ( I ) A ( A B ) = A ( II ) A = A, somente qundo

Leia mais

- Operações com vetores:

- Operações com vetores: TEXTO DE EVISÃO 0 - VETOES Cro Aluno(): Este texto de revisão deve ser estuddo ntes de pssr pr o cp. 03 do do Hllid. 1- Vetores: As grndezs vetoriis são quels que envolvem os conceitos de direção e sentido

Leia mais

Aplicações da Integral Simples

Aplicações da Integral Simples Chpter Aplicções d Integrl Simples. Áre de regiões plnres Sej R região limitd pelo gráfico d função = f(), s rets =, = b e o eio, sendo f() pr todo [, b]. A áre d região R é ddo pel fórmul: A = f()d. =

Leia mais

Transporte de solvente através de membranas: estado estacionário

Transporte de solvente através de membranas: estado estacionário Trnsporte de solvente trvés de membrns: estdo estcionário Estudos experimentis mostrm que o fluxo de solvente (águ) em respost pressão hidráulic, em um meio homogêneo e poroso, é nálogo o fluxo difusivo

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE 1 DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-2007 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE 1 DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-2007 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DA FASE DO VESTIBULAR DA UFBA/UFRB-7 POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA Questão Sore números reis, é correto firmr: () Se é o mior número de três lgrismos divisível

Leia mais

COLÉGIO NAVAL 2016 (1º dia)

COLÉGIO NAVAL 2016 (1º dia) COLÉGIO NAVAL 016 (1º di) MATEMÁTICA PROVA AMARELA Nº 01 PROVA ROSA Nº 0 ( 5 40) 01) Sej S som dos vlores inteiros que stisfzem inequção 10 1 0. Sendo ssim, pode-se firmr que + ) S é um número divisíel

Leia mais

Há uma equivalência entre grau e radiano: π radianos equivalem a 180 graus (π é uma constante numérica equivalente a 3,14159...).

Há uma equivalência entre grau e radiano: π radianos equivalem a 180 graus (π é uma constante numérica equivalente a 3,14159...). 9. TRIGONOMETRIA 9.1. MEDIDAS DE ÂNGULOS O gru é um medid de ângulo. Um gru, notdo por 1 o, equivle 1/180 de um ângulo rso ou 1/360 de um ângulo correspondente um volt complet em torno de um eixo. Outr

Leia mais

os corpos? Contato direto F/L 2 Gravitacional, centrífuga ou eletromagnética F/L 3

os corpos? Contato direto F/L 2 Gravitacional, centrífuga ou eletromagnética F/L 3 Universidde Federl de Algos Centro de Tecnologi Curso de Engenri Civil Disciplin: Mecânic dos Sólidos 1 Código: ECIV018 Professor: Edurdo Nobre Lges Forçs Distribuíds: Centro de Grvidde, Centro de Mss

Leia mais

PRESSÕES LATERAIS DE TERRA

PRESSÕES LATERAIS DE TERRA Estdo de equilíbrio plástico de Rnkine Pressões lteris de terr (empuxos de terr) f(deslocmentos e deformções d mss de solo) f(pressões plicds) problem indetermindo. É necessário estudr o solo no estdo

Leia mais

José Miguel Urbano. Análise Infinitesimal II Notas de curso

José Miguel Urbano. Análise Infinitesimal II Notas de curso José Miguel Urbno Análise Infinitesiml II Nots de curso Deprtmento de Mtemátic d Universidde de Coimbr Coimbr, 2005 Conteúdo Primitivs 3 2 O integrl de Riemnn 8 2. Proprieddes do integrl de Riemnn..............

Leia mais

Assíntotas horizontais, verticais e oblíquas

Assíntotas horizontais, verticais e oblíquas Assíntots horizontis, verticis e olíqus Méricles Thdeu Moretti MTM/PPGECT/UFSC INTRODUÇÃO Dizemos que um ret é um ssíntot de um curv qundo um ponto o mover-se o longo d prte etrem d curv se proim dest

Leia mais

Universidade Federal da Bahia

Universidade Federal da Bahia Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática DISCIPLINA: CALCULO B UNIDADE III - LISTA DE EXERCÍCIOS Atualizado 2008.2 Domínio, Imagem e Curvas/Superfícies de Nível y2 è [1] Determine o domínio

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST VESTIBULAR 2010 1 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST VESTIBULAR 2010 1 a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVET VETIBULAR 00 Fse Prof. Mri Antôni Gouvei. Q-7 Um utomóvel, modelo flex, consome litros de gsolin pr percorrer 7km. Qundo se opt pelo uso do álcool, o utomóvel consome 7 litros

Leia mais

Definição 1 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 é por definição a aplicação. det

Definição 1 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 é por definição a aplicação. det 5 DETERMINANTES 5 Definição e Proprieddes Definição O erminnte de um mtriz qudrd A de ordem é por definição plicção ( ) : M IR IR A Eemplo : 5 A ( A ) ( ) ( ) 5 7 5 Definição O erminnte de um mtriz qudrd

Leia mais

Manual de Operação e Instalação

Manual de Operação e Instalação Mnul de Operção e Instlção Clh Prshll MEDIDOR DE VAZÃO EM CANAIS ABERTOS Cód: 073AA-025-122M Rev. B Novembro / 2008 S/A. Ru João Serrno, 250 Birro do Limão São Pulo SP CEP 02551-060 Fone: (11) 3488-8999

Leia mais

Física 1 Capítulo 3 2. Acelerado v aumenta com o tempo. Se progressivo ( v positivo ) a m positiva Se retrógrado ( v negativo ) a m negativa

Física 1 Capítulo 3 2. Acelerado v aumenta com o tempo. Se progressivo ( v positivo ) a m positiva Se retrógrado ( v negativo ) a m negativa Físic 1 - Cpítulo 3 Movimento Uniformemente Vrido (m.u.v.) Acelerção Esclr Médi v 1 v 2 Movimento Vrido: é o que tem vrições no vlor d velocidde. Uniddes de celerção: m/s 2 ; cm/s 2 ; km/h 2 1 2 Acelerção

Leia mais

Operadores momento e energia e o Princípio da Incerteza

Operadores momento e energia e o Princípio da Incerteza Operdores momento e energi e o Princípio d Incertez A U L A 5 Mets d ul Definir os operdores quânticos do momento liner e d energi e enuncir o Princípio d Incertez de Heisenberg. objetivos clculr grndezs

Leia mais

TRIGONOMETRIA. A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações trigonométricas num triângulo retângulo.

TRIGONOMETRIA. A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações trigonométricas num triângulo retângulo. TRIGONOMETRIA A trigonometri é um prte importnte d Mtemátic. Começremos lembrndo s relções trigonométrics num triângulo retângulo. Num triângulo ABC, retângulo em A, indicremos por Bˆ e por Ĉ s medids

Leia mais

OPERAÇÕES ALGÉBRICAS

OPERAÇÕES ALGÉBRICAS MATEMÁTICA OPERAÇÕES ALGÉBRICAS 1. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Monômio ou Termo É expressão lgébric mis sintétic. É expressão formd por produtos e quocientes somente. 5x 4y 3x y x x 8 4x x 4 z Um monômio tem

Leia mais

Aplicações de integração. Cálculo 2 Prof. Aline Paliga

Aplicações de integração. Cálculo 2 Prof. Aline Paliga Aplicações de integração Cálculo Prof. Aline Paliga Áreas entre curvas Nós já definimos e calculamos áreas de regiões que estão sob os gráficos de funções. Aqui nós estamos usando integrais para encontrar

Leia mais

Simbolicamente, para. e 1. a tem-se

Simbolicamente, para. e 1. a tem-se . Logritmos Inicilmente vmos trtr dos ritmos, um ferrment crid pr uilir no desenvolvimento de cálculos e que o longo do tempo mostrou-se um modelo dequdo pr vários fenômenos ns ciêncis em gerl. Os ritmos

Leia mais

x + y + 1 (2x 4y) = 10. (x 3) 5 y 2 + (x 3) 4 y 4 (x 2 6x + 9 + y 6 ) 3

x + y + 1 (2x 4y) = 10. (x 3) 5 y 2 + (x 3) 4 y 4 (x 2 6x + 9 + y 6 ) 3 1 Lista 2 de Cálculo Diferencial e Integral II Funções de Várias Variáveis e Diferenciação Parcial 1. Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo: (a) f(x, y) = xy 5 x

Leia mais

VETORES. Com as noções apresentadas, é possível, de maneira simplificada, conceituar-se o

VETORES. Com as noções apresentadas, é possível, de maneira simplificada, conceituar-se o VETORES INTRODUÇÃO No módulo nterior vimos que s grndezs físics podem ser esclres e vetoriis. Esclres são quels que ficm perfeitmente definids qundo expresss por um número e um significdo físico: mss (2

Leia mais

Projecções Cotadas. Luís Miguel Cotrim Mateus, Assistente (2006)

Projecções Cotadas. Luís Miguel Cotrim Mateus, Assistente (2006) 1 Projecções Cotds Luís Miguel Cotrim Mteus, Assistente (2006) 2 Nestes pontmentos não se fz o desenvolvimento exustivo de tods s mtéris, focndo-se pens lguns items. Pelo indicdo, estes pontmentos não

Leia mais

64 5 y e log 2. 32 5 z, então x 1 y 1 z é igual a: c) 13 e) 64 3. , respectivamente. Admitindo-se que E 1 foi equivalente à milésima parte de E 2

64 5 y e log 2. 32 5 z, então x 1 y 1 z é igual a: c) 13 e) 64 3. , respectivamente. Admitindo-se que E 1 foi equivalente à milésima parte de E 2 Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Função Logrítmic p. (UFSM-RS) Sejm log, log 6 e log z, então z é igul : ) b) c) e) 6 d) log log 6 6 log z z z z (UFMT) A mgnitude de um terremoto é medid

Leia mais

Apostila de Cálculo II

Apostila de Cálculo II Antiderivd e Integrl Indefinid Um ntiderivd ou primitiv d função f no intervlo [,b] que:, é um função F, tl df d ( ) f( ) pr todo [,b] Notção de Leibniz: Outr notção empregd pr designr operção de primitivção

Leia mais

1. A quantidade em estudo é aproximada por uma soma, que é identificada como sendo a soma de Riemann de

1. A quantidade em estudo é aproximada por uma soma, que é identificada como sendo a soma de Riemann de Cpítulo Aplicções d Integrl Definid. Introdução As integris surgirm no estudo ds áres, ms, ssim como s derivds, revelrm possuir muits outrs plicções. Mostrremos neste e nos próimos cpítulos como s integris

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UNESP VESTIBULAR 2012 1 a Fase RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UNESP VESTIBULAR 2012 1 a Fase RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UNESP VESTIBULAR 01 1 Fse Prof. Mri Antôni Gouvei. QUESTÃO 83. Em 010, o Instituto Brsileiro de Geogrfi e Esttístic (IBGE) relizou o último censo populcionl brsileiro, que mostrou

Leia mais

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Cálculo Numérico Fculdde de Enenhri, Arquiteturs e Urnismo FEAU Pro. Dr. Serio Pillin IPD/ Físic e Astronomi V Ajuste de curvs pelo método dos mínimos qudrdos Ojetivos: O ojetivo dest ul é presentr o método

Leia mais

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ADMINISTRAÇÃO/CIÊNCIAS CONTÁBEI /LOGISTICA ASSUNTO: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ADMINISTRAÇÃO/CIÊNCIAS CONTÁBEI /LOGISTICA ASSUNTO: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ADMINISTRAÇÃO/CIÊNCIAS CONTÁBEI /LOGISTICA ASSUNTO: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES PROFESSOR: MARCOS AGUIAR MAT. BÁSICA I. FUNÇÕES. DEFINIÇÃO Ddos

Leia mais

Professores Edu Vicente e Marcos José Colégio Pedro II Departamento de Matemática Potências e Radicais

Professores Edu Vicente e Marcos José Colégio Pedro II Departamento de Matemática Potências e Radicais POTÊNCIAS A potênci de epoente n ( n nturl mior que ) do número, representd por n, é o produto de n ftores iguis. n =...... ( n ftores) é chmdo de bse n é chmdo de epoente Eemplos =... = 8 =... = PROPRIEDADES

Leia mais

Soluções abreviadas de alguns exercícios

Soluções abreviadas de alguns exercícios Tópicos de cálculo para funções de várias variáveis Soluções abreviadas de alguns exercícios Instituto Superior de Agronomia - 2 - Capítulo Tópicos de cálculo diferencial. Domínio, curva de nível e gráfico.

Leia mais

NÃO existe raiz real de um número negativo se o índice do radical for par.

NÃO existe raiz real de um número negativo se o índice do radical for par. 1 RADICIAÇÃO A rdicição é operção invers d potencição. Sbemos que: ) b) Sendo e b números reis positivos e n um número inteiro mior que 1, temos, por definição: sinl do rdicl n índice Qundo o índice é,

Leia mais

Unidade 2 Geometria: ângulos

Unidade 2 Geometria: ângulos Sugestões de tividdes Unidde 2 Geometri: ângulos 7 MTEMÁTIC 1 Mtemátic 1. Respond às questões: 5. Considere os ângulos indicdos ns rets ) Qul é medid do ângulo correspondente à metde de um ân- concorrentes.

Leia mais

MATRIZES E DETERMINANTES

MATRIZES E DETERMINANTES Professor: Cssio Kiechloski Mello Disciplin: Mtemátic luno: N Turm: Dt: MTRIZES E DETERMINNTES MTRIZES: Em quse todos os jornis e revists é possível encontrr tbels informtivs. N Mtemátic chmremos ests

Leia mais

Física Fascículo 02 Eliana S. de Souza Braga

Física Fascículo 02 Eliana S. de Souza Braga ísic scículo 0 Elin S. de Souz r Índice Dinâmic Resumo eórico...1 Exercícios... Gbrito...4 Dinâmic Resumo eórico s 3 leis de ewton: 1. lei ou princípio d Inérci: res = 0 = 0 v = 0 v é constnte. lei ou

Leia mais

Apostila De Matemática GEOMETRIA: REVISÃO DO ENSINO FUNDAMENTAL, PRISMAS E PIRÂMIDES

Apostila De Matemática GEOMETRIA: REVISÃO DO ENSINO FUNDAMENTAL, PRISMAS E PIRÂMIDES posti De Mtemátic GEOMETRI: REVISÃO DO ENSINO FUNDMENTL, PRISMS E PIRÂMIDES posti de Mtemátic (por Sérgio Le Jr.) GEOMETRI 1. REVISÃO DO ENSINO FUNDMENTL 1. 1. Reções métrics de um triânguo retânguo. Pr

Leia mais

Aula 4 Movimento em duas e três dimensões. Física Geral I F -128

Aula 4 Movimento em duas e três dimensões. Física Geral I F -128 Aul 4 Moimento em dus e três dimensões Físic Gerl I F -18 F18 o Semestre de 1 1 Moimento em D e 3D Cinemátic em D e 3D Eemplos de moimentos D e 3D Acelerção constnte - celerção d gridde Moimento circulr

Leia mais

CDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 12) y x 2 + y, 2. x x 2 + y 2), F 1 y = F 2

CDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 12) y x 2 + y, 2. x x 2 + y 2), F 1 y = F 2 Instituto Superior Técnico eprtmento de Mtemátic Secção de Álgebr e Análise Prof. Gbriel Pires CI-II Resumo ds Auls Teórics (Semn 12) 1 Teorem de Green no Plno O cmpo vectoril F : R 2 \ {(, )} R 2 definido

Leia mais

Cálculo Integral em R

Cálculo Integral em R Cálculo Integrl em R (Primitivção e Integrção) Miguel Moreir e Miguel Cruz Conteúdo Primitivção. Noção de primitiv......................... Algums primitivs imedits................... Proprieddes ds primitivs....................4

Leia mais

DESAFIOS. π e. π <y < π, satisfazendo seny = 8 x

DESAFIOS. π e. π <y < π, satisfazendo seny = 8 x DESAFIOS ENZO MATEMÁTICA 01-(FUVEST) Sejm x e y dois números reis, com 0

Leia mais

Linhas 1 2 Colunas 1 2. (*) Linhas 1 2 (**) Colunas 2 1.

Linhas 1 2 Colunas 1 2. (*) Linhas 1 2 (**) Colunas 2 1. Resumos ds uls teórics -------------------- Cp 5 -------------------------------------- Cpítulo 5 Determinntes Definição Consideremos mtriz do tipo x A Formemos todos os produtos de pres de elementos de

Leia mais

MATEMÁTICA BÁSICA 8 EQUAÇÃO DO 2º GRAU

MATEMÁTICA BÁSICA 8 EQUAÇÃO DO 2º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA 8 EQUAÇÃO DO 2º GRAU Sbemos, de uls nteriores, que podemos resolver problems usndo equções. A resolução de problems pelo médtodo lgébrico consiste em lgums etps que vmso recordr. - Representr

Leia mais

O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Indefinidas

O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Indefinidas Cpítulo O Teorem Fundmentl do Cálculo e Integris Indefinids. Introdução Clculr integris usndo soms de Riemnn, tl qul vimos no cpítulo nterior, é um trblho penoso e por vezes muito difícil (ou quse impossível).

Leia mais

Sólidos semelhantes. Um problema matemático, que despertou. Nossa aula. Recordando semelhança 2 = 9 3 = 12 4

Sólidos semelhantes. Um problema matemático, que despertou. Nossa aula. Recordando semelhança 2 = 9 3 = 12 4 A UA UL LA Sólidos semelhntes Introdução Um problem mtemático, que despertou curiosidde e mobilizou inúmeros ciddãos n Gréci Antig, foi o d dupli- cção do cubo. Ou sej, ddo um cubo de rest, qul deverá

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M13 Determinantes. 1 (Unifor-CE) Sejam os determinantes A 5. 2 (UFRJ) Dada a matriz A 5 (a ij

Matemática. Resolução das atividades complementares. M13 Determinantes. 1 (Unifor-CE) Sejam os determinantes A 5. 2 (UFRJ) Dada a matriz A 5 (a ij Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Determinntes p. (Unifor-CE) Sejm os determinntes A, B e C. Nests condições, é verdde que AB C é igul : ) c) e) b) d) A?? A B?? B C?? C AB C ()? AB C, se i,

Leia mais

4.1A Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva. cos (1=t), para 0 < t 1 e y 0 (0) = 0. Sendo esta derivada

4.1A Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva. cos (1=t), para 0 < t 1 e y 0 (0) = 0. Sendo esta derivada 4.1 Curvas Regulares 4.1A Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva. (a) ~r (t) = t~i + (1 t)~j; 0 t 1 (b) ~r (t) = 2t~i + t 2 ~j; 1 t 0 (c) ~r (t) = (1=t)~i + t~j; 1 t

Leia mais

UT 01 Vetores 07/03/2012. Observe a situação a seguir: Exemplos: área, massa, tempo, energia, densidade, temperatura, dentre outras.

UT 01 Vetores 07/03/2012. Observe a situação a seguir: Exemplos: área, massa, tempo, energia, densidade, temperatura, dentre outras. UT 01 Vetore Oerve itução eguir: A prtícul vermelh etá e movendo num di quente, onde o termômetro indic tempertur de 41 gru Celiu! GRANDEZA ESCALAR É um grndez fíic completmente crcterizd omente com o

Leia mais

Programação Linear Introdução

Programação Linear Introdução Progrmção Liner Introdução Prof. Msc. Fernndo M. A. Nogueir EPD - Deprtmento de Engenhri de Produção FE - Fculdde de Engenhri UFJF - Universidde Federl de Juiz de For Progrmção Liner - Modelgem Progrmção

Leia mais

Trabalhando-se com log 3 = 0,47 e log 2 = 0,30, pode-se concluir que o valor que mais se aproxima de log 146 é

Trabalhando-se com log 3 = 0,47 e log 2 = 0,30, pode-se concluir que o valor que mais se aproxima de log 146 é Questão 0) Trlhndo-se com log = 0,47 e log = 0,0, pode-se concluir que o vlor que mis se proxim de log 46 é 0),0 0),08 0),9 04),8 0),64 Questão 0) Pr se clculr intensidde luminos L, medid em lumens, um

Leia mais

COLÉGIO MILITAR DE BELO HORIZONTE CONCURSO DE ADMISSÃO 2006 / 2007 PROVA DE MATEMÁTICA 1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO

COLÉGIO MILITAR DE BELO HORIZONTE CONCURSO DE ADMISSÃO 2006 / 2007 PROVA DE MATEMÁTICA 1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO MILITA DE BELO HOIZONTE CONCUSO DE ADMISSÃO 6 / 7 POVA DE MATEMÁTICA 1ª SÉIE DO ENSINO MÉDIO CONFEÊNCIA: Chefe d Sucomissão de Mtemátic Chefe d COC Dir Ens CPO / CMBH CONCUSO DE ADMISSÃO À 1ª SÉIE

Leia mais

CINÉTICA QUÍMICA CINÉTICA QUÍMICA. Lei de Velocidade

CINÉTICA QUÍMICA CINÉTICA QUÍMICA. Lei de Velocidade CINÉTICA QUÍMICA Lei de Velocidde LEIS DE VELOCIDADE - DETERMINAÇÃO Os eperimentos em Cinétic Químic fornecem os vlores ds concentrções ds espécies em função do tempo. A lei de velocidde que govern um

Leia mais

Índice. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. Resumo Teórico...1 Exercícios...5 Dicas...6 Resoluções...7

Índice. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. Resumo Teórico...1 Exercícios...5 Dicas...6 Resoluções...7 Índice Mtrizes, Determinntes e Sistems Lineres Resumo Teórico...1 Exercícios...5 Dics...6 Resoluções...7 Mtrizes, Determinntes e Sistems Lineres Resumo Teórico Mtrizes Representção A=( ij )x3pode ser representd

Leia mais

EXAME DE INGRESSO 2014 3º Período

EXAME DE INGRESSO 2014 3º Período PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA ÁREA DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO (141) ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO EXAME DE INGRESSO 2014 º Período NOME: Oservções Importntes: 1. Não

Leia mais

EQUAÇÃO DO 2 GRAU ( ) Matemática. a, b são os coeficientes respectivamente de e x ; c é o termo independente. Exemplo: x é uma equação do 2 grau = 9

EQUAÇÃO DO 2 GRAU ( ) Matemática. a, b são os coeficientes respectivamente de e x ; c é o termo independente. Exemplo: x é uma equação do 2 grau = 9 EQUAÇÃO DO GRAU DEFINIÇÃO Ddos, b, c R com 0, chmmos equção do gru tod equção que pode ser colocd n form + bx + c, onde :, b são os coeficientes respectivmente de e x ; c é o termo independente x x x é

Leia mais

1º semestre de Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 Profa Olga (1º sem de 2015) Função Exponencial

1º semestre de Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 Profa Olga (1º sem de 2015) Função Exponencial º semestre de Engenhri Civil/Mecânic Cálculo Prof Olg (º sem de 05) Função Eponencil Definição: É tod função f: R R d form =, com R >0 e. Eemplos: = ; = ( ) ; = 3 ; = e Gráfico: ) Construir o gráfico d

Leia mais

Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos. Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 a série E.M.

Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos. Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 a série E.M. Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 série E.M. Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 Eercícios Introdutórios Eercício 10. Três ilhs

Leia mais

SOMESB Sociedade Mantenedora de Educação Superior da Bahia S/C Ltda. FTC-EAD Faculdade de Tecnologia e Ciências Ensino a Distância

SOMESB Sociedade Mantenedora de Educação Superior da Bahia S/C Ltda. FTC-EAD Faculdade de Tecnologia e Ciências Ensino a Distância Cálculo II CÁLCULO II SOMESB Sociedde Mntenedor de Educção Superior d Bhi S/C Ltd. Presidente Gervásio Meneses de Oliveir Vice-Presidente Willim Oliveir Superintendente Administrtivo e Finnceiro Smuel

Leia mais

Desvio do comportamento ideal com aumento da concentração de soluto

Desvio do comportamento ideal com aumento da concentração de soluto Soluções reis: tividdes Nenhum solução rel é idel Desvio do comportmento idel com umento d concentrção de soluto O termo tividde ( J ) descreve o comportmento de um solução fstd d condição idel. Descreve

Leia mais

Aula 8: Gramáticas Livres de Contexto

Aula 8: Gramáticas Livres de Contexto Teori d Computção Segundo Semestre, 2014 ul 8: Grmátics Livres de Contexto DINF-UTFPR Prof. Ricrdo Dutr d Silv Veremos gor mneir de gerr s strings de um tipo específico de lingugem, conhecido como lingugem

Leia mais

Modelagem Matemática das Pistas de Skate

Modelagem Matemática das Pistas de Skate Modelgem Mtemátic ds Pists de Skte Dnilo A. Mrques 1 Rfel H. A. de Oliveir Rosn S. M. Jfelice 3 Fculdde de Mtemátic - FAMAT Universidde Federl de Uberlândi - UFU 388-1, Uberlândi - MG Dezembro 7 Introdução

Leia mais

e como . 2 contradomínio e como contradomínio [ 0,π ]. Y = arcsen(x) 1 x Y = arccos(x) -1 1 x A função arccos(x) tem como domínio [ 1,1 ] e como

e como . 2 contradomínio e como contradomínio [ 0,π ]. Y = arcsen(x) 1 x Y = arccos(x) -1 1 x A função arccos(x) tem como domínio [ 1,1 ] e como Análise Mtemátic I - 6/7 Y rcsen y - A unção rcos tem como domínio [, ] e como A unção rcsen tem como domínio [, ] contrdomínio,. e como Y rccos y - A unção rccos tem como domínio [, ] contrdomínio [,

Leia mais

Universidade do Algarve. Departamento de Física. de Electromagnetismo. Compilados por. Robertus Potting, Paulo Seara de Sá e Orlando Camargo Rodríguez

Universidade do Algarve. Departamento de Física. de Electromagnetismo. Compilados por. Robertus Potting, Paulo Seara de Sá e Orlando Camargo Rodríguez Universidde do Algrve Deprtmento de Físic Exercícios de Electromgnetismo Compildos por Robertus Potting, Pulo Ser de Sá e Orlndo Cmrgo Rodríguez Fro, 12 de Setembro de 2005 1 Cálculo Vectoril Elementr

Leia mais

Estudo dos Logaritmos

Estudo dos Logaritmos Instituto Municipl de Ensino Superior de Ctnduv SP Curso de Licencitur em Mtemátic 3º no Prátic de Ensino d Mtemátic III Prof. M.Sc. Fbricio Edurdo Ferreir fbricio@ffic.br Situção inicil Estudo dos Logritmos

Leia mais

Função de onda e Equação de Schrödinger

Função de onda e Equação de Schrödinger Função de ond e Equção de Schrödinger A U L A 4 Met d ul Introduzir função de ond e Equção de Schrödinger. objetivos interpretr fisicmente função de ond; obter informção sobre um sistem microscópico, prtir

Leia mais

2.4. Função exponencial e logaritmo. Funções trigonométricas directas e inversas.

2.4. Função exponencial e logaritmo. Funções trigonométricas directas e inversas. Cpítulo II Funções Reis de Vriável Rel.. Função eponencil e logritmo. Funções trigonométrics directs e inverss. Função eponencil A um unção deinid por nome de unção eponencil de bse. ( ), onde, > 0 e,

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fenômenos de Transporte I A Profª Fátima Lopes

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fenômenos de Transporte I A Profª Fátima Lopes UNIVESIDDE FEDEL D HI ESCOL POLITÉCNIC DEPTMENTO DE ENGENHI QUÍMIC ENG 008 Fenômenos de Trnsorte I Profª Fátim Loes VSOS COMUNICNTES E MNÔMETOS Considerndo um fluido incomressível num tubo em U cujs extremiddes

Leia mais

Se conhecemos a taxa de variação de uma quantidade em relação a outra, podemos determinar a relação entre essas quantidades?

Se conhecemos a taxa de variação de uma quantidade em relação a outra, podemos determinar a relação entre essas quantidades? UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA UNEB DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DCET / CAMPUS I DISCIPLINA: Cálculo II (MAT 089 CH: 75 PROFESSOR: Adrino Ctti SEMESTRE: 0. ALUNO: APOSTILA 0: INTEGRAL INDEFINIDA

Leia mais

POLINÔMIOS. Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma. n em que cada a i é um número complexo (ou

POLINÔMIOS. Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma. n em que cada a i é um número complexo (ou POLINÔMIOS Definição: Um polinômio de gru n é um função que pode ser escrit n form P() n n i 0... n i em que cd i é um número compleo (ou i 0 rel) tl que n é um número nturl e n 0. Os números i são denomindos

Leia mais

Resolução: T = F atd. m M = 0,40 70 (kg) M = 28 kg. 4 E.R. Uma caixa de peso 10 kgf acha-se em repouso sobre uma. Resolução:

Resolução: T = F atd. m M = 0,40 70 (kg) M = 28 kg. 4 E.R. Uma caixa de peso 10 kgf acha-se em repouso sobre uma. Resolução: Tópico 2 trito entre sólidos 147 Tópico 2 1 (GV-S) O sistem indicdo está em repouso devido à forç de trito entre o bloco de mss de 10 k e o plno horizontl de poio. Os f ios e s polis são ideis e dot-se

Leia mais

Pontos onde f (x) = 0 e a < x < b. Suponha que f (x 0 ) existe para a < x 0 < b. Se x 0 é um ponto extremo então f (x 0 ) = 0.

Pontos onde f (x) = 0 e a < x < b. Suponha que f (x 0 ) existe para a < x 0 < b. Se x 0 é um ponto extremo então f (x 0 ) = 0. Resolver o seguinte PPNL M (min) f() s. [, ] Pr chr solução ótim deve-se chr todos os máimos (mínimos) locis, isto é, os etremos locis. A solução ótim será o etremo locl com mior (menor) vlor de f(). É

Leia mais