Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Ânderson Vieira

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1 CÁLCULO DE ÁREAS Cálculo de áres Cálculo Diferencil e Integrl II Prof. Ânderson Vieir Considere região S que está entre dus curvs y = f(x) e y = g(x) e entre s curvs verticis x = e x = b, onde f e g são funções contínus e f(x) g(x) pr todo x em [,b]. Vej figur: Figur : S = {(x,y) x b, g(x) y f(x)} Dividindo S em n fixs de lrgurs iguis, proximmos i-ésim fix por um retângulo com bse x e ltur f(x i) g(x i). A som de Riemnn n [f(x i) g(x i)] x é um proximção que intuitivmente pensmos como áre de S. i= () Retângulo típico (b) Retângulos proximdores Portnto, definimos áre A de S como o vlor do limite d som ds áres destes retângulos proximdos n A = lim [f(x i ) g(x i )] x; n isto é, i=

2 CÁLCULO DE ÁREAS Definição.. A áre A d região limitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e entre s curvs x = e x = b, onde f e g são funções contínus e f(x) g(x) pr todo x em [,b], é A = [f(x) g(x)]dx. Exemplo.. Encontre áre d região limitd por cim por y = e x, por bixo por y = x e limitd pelos ldos por x = 0 e x =. Exemplo.2. Encontre áre d região entre s prábols y = x 2 e y = 2x x 2. Pr encontrr áre entre s curvs y = f(x) e y = g(x), onde f(x) g(x) pr lguns vlores de x, ms g(x) f(x) pr outros vlores, então dividimos região S dde em váris regiões S, S 2,..., com áres A, A 2,... Então áre de S e som ds áres ds regiões menores S, S 2,...: A = A +A Como { f(x) g(x), qundo f(x) g(x) f(x) g(x) = g(x) f(x), qundo g(x) f(x) temos definição mis gerl Definição.2. A áre A d região limitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e entre s curvs x = e x = b, onde f e g são funções contínus pr todo x em [,b], é A = f(x) g(x) dx. Exemplo.3. Encontre áre d região limitd pels curvs y = sin(x) e y = cos(x), x = 0 e x = π 2. Tmbém temos Definição.3. A áre A d região limitd pels curvs x = f(y) e x = g(y) e entre s curvs y = c e y = d, onde f e g são funções contínus e f(y) g(y) pr todo y em [c,d], é A = v c [f(y) g(y)] dy. Exemplo.4. Encontre áre limitd pel ret y = x e pel prábol y 2 = 2x+6. 2

3 2 VOLUME 2 Volume Sej A(x) áre d seção trnsversl de S o plno P x perpendiculr o eixo x e pssndo pelo ponto x, onde x b, como mostr figur: A áre d seção trnsversl A(x) vir qundo x ument de té b. Vmos dividir S em n ftis de lrgurs iguis x usndo os plnos P x, P x2,...pr ftir o sólido. Se escolhermos pontos de mostrgem x i em [x i,x i ], podemos proximr i-ésim fti S i por um cilindro com áre de bse A(x i) e ltur x. O volume desse cilindro é proximdmente Somndo tods s ftis teremos V(S i ) A(x i ) x. V(S) n A(x i) x. Qundo fizermos n melhormos est proximção. i= Definição 2.. Sej S um sólido que está entre x = e x = b. Se áre d seção trnsversl de S o plno P x perpendiculr o eixo x e pssndo pelo ponto x é A(x), onde A é um função contínu, então volume de S é V = lim n n A(x i ) x = A(x) dx. Exemplo 2.. Mostre que o volume de um esfer de rio r é V = 4 3 πr3. i= 3

4 2 VOLUME Exemplo 2.2. Encontre o volume do sólido obtido pel rotção o redor do eixo x d região sob curv y = x de 0 té. Exemplo 2.3. Encontre o volume do sólido obtido pel rotção limitd por y = x 3, y = 8 e x = 0 o redor do eixo y. Exemplo 2.4. A região R limitd pels curvs y = x e y = x 2 é gird o redor do eixo x. Encontre o volume do sólido resultnte. 4

5 2 VOLUME Exemplo 2.5. Encontre o volume do sólido obtido pel rotção d região do Exemplo 2.4 o redor d ret y = 2. Os sólido obtidos nos exemplos são todos chmdos sólidos de revolução, porque eles são obtidos pel rotção de um região o redor de um eixo. Em gerl, usmos fórmul básic V = A(x)dx ou V = d c A(y) dy. Exemplo 2.6. Encontre o volume do sólido obtido pel rotção no Exemplo 2.4 o redor d ret x =. 5

6 2. Cálculo de volumes por cscs cilíndrics 2 VOLUME 2. Cálculo de volumes por cscs cilíndrics Considere S como sendo o sólido obtido pel rotção o redor do eixo y d região limitd por y = f(x) (f(x) 0), y = 0, x = e x = b, onde b > 0. Definição 2.2. O volume do sólido cim obtido pel rotção o redor do eixo y d região sob curv y = f(x) de té b é V = 2πxf(x)dx, onde 0 < b. Exemplo 2.7. Ache o volume do sólido obtido pel rotção o redor do eixo y d região limitd por y = 2x 2 x 3 e y = 0. Exemplo 2.8. Ache o volume de um sólido obtido pel rotção o redor do eixo y d região entre y = x e y = x 2. 6

7 3 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 3 Integris Imprópris 3. Intervlos Infinitos Considere região S que está sob curv y = x2, cim do eixo x e à direit d ret x =. A áre d prte de S é Note que A(t) = t x 2 dx = t. lim A(t) = lim t t t =. Definição 3. (Integrl imprópri Tipo I). () Se desde que o limite exist (como um número). t t f(x)dx = lim t f(x)dx existe pr cd número t, então f(x)dx (b) Se t f(x)dx existe pr cd número t b, então f(x)dx = lim f(x)dx t t 7

8 3.2 Integrndos Descontínuos 3 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS (c) Se desde que o limite exist (como um número). As integris imprópris f(x)dx e correspondentes existem, e divergentes cso contrário. f(x)dx e f(x) dx são convergentes, então definimos Exemplo 3.. Determine se integrl Exemplo 3.2. Avlie Exemplo 3.3. Avlie 0 xe x dx. +x 2 dx. f(x)dx = Exemplo 3.4. Pr que vlores de p integrl 3.2 Integrndos Descontínuos f(x)dx são chmds convergentes se os limites f(x)dx+ f(x)dx. dx é convergente ou divergente. x dx é convergente? xp Suponh que f sej um função positiv definid no intervlo finito [, b) ms com ssíntot verticl em b. A áre entre e t é A(t) = t f(x)dx. Se contecer de A(t) proximr um número definido A qundo t b, então dizemos que áre será t A = f(x)dx = lim f(x)dx. t b Definição 3.2 (Integrl imprópri Tipo II). () Se f é contínu em [,b) e descontínu em b, então f(x)dx = lim t b desde que o limite exist (como um número). t f(x)dx 8

9 4 COMPRIMENTO DE ARCO (b) Se f é contínu em (,b] e descontínu em, então f(x)dx = lim f(x)dx t + t desde que o limite exist (como um número). As integris imprópris f(x) dxé chmd convergente se os limites correspondentes existem, e divergentes cso contrário. (c) Se f tiver um descontinuidde em c, onde < c < b e mbos convergentes, então definimos c f(x)dx e c f(x)dx são f(x)dx = c f(x)dx+ c f(x)dx. Exemplo 3.5. Clcule 5 2 x 2 dx. Exemplo 3.6. Determine se π 2 0 sec(x) dx converge ou diverge. Exemplo 3.7. Avlie 3 0 dx se for possível. x Exemplo 3.8. Avlie 0 ln(x) dx. Teorem 3. (Teorem de Comprção). Suponh que f e g sejm funções contínus com 0 g(x) f(x), pr x. () Se f(x)dx é convergente, então g(x) dx é convergente. (b) Se g(x)dx é divergente, então f(x)dx é divergente. Exemplo 3.9. Mostre que 0 e x2 dx é convergente. Exemplo 3.0. Mostre que integrl +e x dx é divergente. x 4 Comprimento de rco Suponhmos que um curv C sej definid pel equção y = f(x), onde f é contínu e x [,b]. Definição 4. (Comprimento de Arco). Se f é contínu em [,b], então o comprimento d curv y = f(x), x b, é L = +[f (x)] 2 dx. Exemplo 4.. Clcule o comprimento de rco d prábol semicúbic y 2 = x 3 entre os pontos (,) e (4,8). 9

10 5 ÁREA DE SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO Se um curv tem equção x = g(y), c y d e g (x) é contínu, então Definição 4.2. Se g é conínu em [c,d], então o comprimento d curv x = g(y), c y d, é L = d c +[g (y)] 2 dy. Exemplo 4.2. Clcule o comprimento de rco d prábol y 2 = x de (0,0) (,). Exemplo 4.3. Ache função comprimento de rco pr curv y = x 2 ln(x) tomndo P 0 (,) 8 como ponto inicil. 5 Áre de superfície de revolução Considere superfície mostrd n figur bixo, obtid pel rotção d curv y = f(x), x b, o redor do eixo x, onde f é positiv e tem um derivd contínu. Definimos áre d superfície como S = 2πf(x) +[f (x)] 2 dx. Se curv é descrit como x = g(y), c y d, então fórmul torn-se S = d c 2πg(y) +[g (x)] 2 dy. Exemplo 5.. A curv y = 4 x 2, x, é um rco do círculo x 2 +y 2 = 4. Encontre áre d superfície obtid pel rotção desse rco o redor do eixo. (A superfície é um porção de um esfer de rio 2. 0

11 6 APLICAÇÃO À FÍSICA E À ENGENHARIA Exemplo 5.2. O rco d prábol y = x 2 de (,) pr (2,4) é girdo o redor do eixo y. Encontre áre d superfície resultnte. Exemplo 5.3. Ache áre d superfície gerd pel rotção d curv y = e x, 0 x, o redor do eixo x. 6 Aplicção à Físic e à Engenhri Junto com s muits plicção de cálculo integrl à físi e à engenhri considermos dus qui: forç devido à pressão d águ e centros de mss. 6. Pressão Hidrostátic e Forç Mergulhdores notm que pressão d águ ument qundo eles mergulhm mis profundmente. Isso ocorre por cus do umento do peso d águ cim deles. Em gerl, suponh que um plc horizontl fin com áre A metros qudrdos sej submers em um fluido de densidde ρ quilogrms pro metro cúbico um profundidde d metros bixo d superfície do fluido, como mostr figur O fluido diretmente cim d plc tem volume V = Ad, ssim su mss é m = ρv = ρad. A forç exercid pelo fluido n plc é, portnto: F = mg = ρgad, onde g é celerção d grvidde. A pressão P n plc é definid como sendo forç por unidde de áre: P = F A = ρgd(n/m2 = P). Exemplo 6.. Um vez que densidde d águ é de ρ = 000kg/m 3, qul é pressão no fundo de um piscin de 2m de profundidde? Em qulquer ponto no líquido pressão é mesm em tods s direções. Então, pressão em qulquer direção um profundidde d em um fluido com densidde ρ é dd por P = ρgd = δd. () Isso nos jud determinr forç forç hidrostátic contr um plc verticl ou prede de um repres em um fluido. Este não é um problem simples, porque pressão não é constnte, ms ument com o umento d profundidde. Exemplo 6.2. Um repres tem o formto do trpézio como mostr figur No Sistem Interncionl de Uniddes pressão é medid em P

12 6.2 Momentos e Centros de Mss 6 APLICAÇÃO À FÍSICA E À ENGENHARIA A ltur é de 20m e lrgur é de 50m no topo e 30m no fundo. Clcule forç n repres devido à pressão hidrostátic d águ se o nível de águ está 4m do topo d repres. Exemplo 6.3. Clcule forç hidrostátic no extremo de um tmbor cilíndrico com rio de 3 pés que está submerso em águ com 0 pés de profundidde. 6.2 Momentos e Centros de Mss Nosso principl objetivo qui é encontrr o ponto P no qul um fin plc de qulquer formto se equilibr horizontlmente, como mostr figur Esse ponto é chmdo centro de mss ou centro de grvidde d plc. Consideremos situção mis simples 2

13 6 APLICAÇÃO À FÍSICA E À ENGENHARIA 6.2 Momentos e Centros de Mss O eixo ficrá em equilíbrio se m d = m 2 d 2, onde m e m 2 são dus msss press um bstão de mss desprezível em ldos opostos um poio e distâncis d e d 2 do poio. Pssndo pr um sistem de coordends teremos ssim teremos x = m x +m 2 x 2, m +m 2 onde m x e m 2 x 2 são chmdos de momentos ds msss m e m 2 em relção à origem. No gerl, em um sistem de n prtículs com msss m,...,m n loclizds nos pontos x,...,x n sobre o eixo n m i x i x = i=. n m i i= Agor considere um sistem de n prtículs com msss m,...,m n loclizds nos pontos (x,y ),...,(x n,y n ) no plno xy como mostr figur Anlogmente, definimos o momento do sistem com relção o eixo y como n M y = m i x i e o momento do sistem com relção o eixo x como n M x = m i y i i= i= ssim s coordends do centro de mss (x,y), são onde m = n m i. i= x = M y m e y = M y m, 3

14 6.2 Momentos e Centros de Mss 6 APLICAÇÃO À FÍSICA E À ENGENHARIA Exemplo 6.4. Clcule os momentos e os centro de mss do sistem de objetos que têm msss 3, 4 e 8 nos pontos (,), (2, ) e (3,2). A seguir considermos um plc pln (chm de lâmin) com densidde uniforme ρ que ocup um região R do plno. Desejmos encontrr o centro de mss d plc, chmdo centroide ( ou centro geométrico) de R. Suponhmos que região R sej do tipo mostrdo bixo ou sej, entre s rets x = e y = b, cim do eixo x e bixo do gráfico de f, sendo f um função contínu. O centro de mss d plc ou o centroide de R está loclizdo no ponto (x,y), onde e A = f(x)dx. x = A xf(x)dx e y = A [f(x)] 2 dx 2 Exemplo 6.5. Clcule o centro de mss de um plc semicirculr de rio r Exemplo 6.6. Encontre o centroide d região limitd pels curvs y = cos(x), y = 0, x = 0 e x = π 2. Se região R está entre s curvs y = f(x) e y = g(x), onde f(x) g(x), como n figur então o centroide (x,y) é ddo por onde A = x = A f(x)dx. x[f(x) g(x)]dx e y = A [f(x)] 2 [g(x)] 2 dx 2 Exemplo 6.7. Encontre o centroide d região limitd pel ret y = x e prábol y = x 2. 4

15 7 EXERCÍCIOS 7 Exercícios Áres entre curvs Clcule áre d região. y = x+, y = 9 x 2, x =, x = 2 R: 9,5 2. y = x, y = x 2 R: 6 3. y = x, y = x 2, x = 2 R: ln y = x 2, y 2 = x R: 3 5. y = 4x 2, y = x 2 +3 R: 4 6. y = x+, y = (x ) 2, x =, x = 2 R: y 2 = x, x 2y = 3 R: x = y 2, x = y 2 R: y = cos(x), y = sin(2x), x = 0, x = π 2 R: 2 Volumes Encontre o volume do sólido obtido pel rotção d região limitd pels curvs dds em torno dos eixos especificdos. Esboce região, o sólido e um disco típico ou rruel.. y = x 2, x =, y = 0; o redor do eixo x R: π 5 2. y = x, x =, x = 2, y = 0; o redor do eixo x R: π 2 3. y = x 2, 0 x 2, y = 4, x = 0; o redor do eixo y R: 8π 4. y = x 2,y 2 = x; o redor do eixo y R: 3π 0 5. y 2 = x, x = 2y; o redor do eixo y R: 64π 5 6. y = x, y = x; o redor de y = R: π 6 7. y = x 4, y = ; o redor de y = 2 R: 208π x = y 2, x = ; o redor de x = R: 6π 5 9. y = x 2, x = y 2 ; o redor de x = R: 29π 30 5

16 7 EXERCÍCIOS Cscs Cilíndrics Use o método ds cscs cilíndrics pr chr o volume gerdo ( pel rotção o redor do eixo y d região limitd pels curvs. Esboce região e csc típic. V = ) b 2πxf(x)dx. y =, y = 0, x =, x = 2 R: 2π x ( 2. y = e x2, y = 0, x = 0, x = R: π ) e 3. y 2 = x, x = 2y R: 64π 5 Use o método ds cscs cilíndrics pr chr o volume gerdo ( pel rotção o redor do eixo y d região limitd pels curvs. Esboce região e csc típic. V = ) b 2πyf(y)dy. x = +y 2, x = 0, y =, y = 2 R: 2π 2 2. y = x 2, y = 9 R: 944π 5 3. y = x, y = 0, x+y = 2 R: 5π 6 Integris Imprópris. Determine se cd integrl é convergente ou divergente. Avlie quels que são convergente. () (b) (c) (d) (e) (x 2) x dx e 5p dp dx x 2 +x 2 dx xe x2 dx Comprimento de rco (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) 0 0 e 0 sin 2 (α)dα x 2 +x dx ze 2z dz lnx x dx x 2 9+x 6 dx x(ln(x)) 3 dx 3 x 5 dx. Clcule o comprimento d curv () y = 3 (x2 +2) 3 2, 0 x (b) y = x x 2, x 3 (c) y = ln(sec(x)), 0 x π 4 (d) y = ln( x 2 ), 0 x 2 (e) y = e x, 0 x 6

17 7 EXERCÍCIOS Áre de Superfície de Revolução. Clcule áre d superfície obtid pel rotção d curv o redor do eixo x. () y = x 3, 0 x 2 (b) y = x, 4 x 9 (c) y = sin(x), 0 x π (d) x = 3 (y2 +2) 3 2, y 2 2. Clcule áre d superfície obtid pel rotção d curv o redor do eixo y. () y = 3 x, x 2 (b) x = e 2y, 0 y 2 (c) x = 2 2 (y2 ln(y)), y 2 Aplicção à Físic e à Engenhri. Um quário de 5 pés de comprimento, 2 pés de lrgur e 3 pés de profundidde está cheio de águ. Clcule: () pressão hidrostátic no fundo do quário; (b) forç hidrostátic no fundo; (c) forç hidrostáti em um extremo do quário. 2. Um cnl é preenchido com um líquido de densidde 840kg/m 3. Os extremos do cnl são triângulos equiláteros com ldos de 8m de comprimento e o vértice no fundo. Clcule forç hidrostátic em um extremo do cnl. 3. Um cubo com ldos de 20cm de comprimento está no fundo de um quário no qulágutemmdeprofundidde. Clcule forç hidrostátic: () no topo do cubo; (b) em um dos ldos do cubo. 4. Um piscin tem 20 pés de lrgur, 40 pés de comprimento e seu fundo é um plno inclindo. Os extremos mis rsos tem um profundidde de 3 pés e o extremo mis fundo 9 pés. Se piscin estiver chei de águ, clcule forç hidrostátic () no extremo mis rso; (b) no extremo mis fundo; (c) em um dos ldos; (d) no fund d piscin. 5. Clcule s coordends do centroide. () y = x 2, y = 0, x = 2 (b) y = e x, y = 0, x = 0, x = 6. Clcule s coordends do centroide d região limitd pels curvs. () y = sin(2x), y = 0, x = 0 e x = π 2 (b) y = sin(x), y = cos(x), x = 0, x = π 4 (c) x = 5 y 2, x = 0 7

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