1. (6,0 val.) Determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções. (considere a mudança de variável u = tan 2

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1 Istituto Superior Técico Deprtmeto de Mtemátic Secção de Álgebr e Aálise o TESTE DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LMAC, MEBiom e MEFT o Sem. 00/ 5/J/0 - v. Durção: h30m RESOLUÇÃO. 6,0 vl. Determie um primitiv de cd um ds seguites fuções. x cosx b 3x + x + x 3 + x + x c 3 cosx x cosidere mudç de vriável u = t e use relção trigoométric cosx = t x/ + t x/ Resolução. Usdo primitivção por prtes: x cosx = x sex x sex = x sex x cosx + cosx b Decompomos fução rciol: = x sex + x cosx sex 3x + x + x 3 + x + x = 3x + x + = A xx + x + B x + + C x + Os coeficietes A, B e C são determidos por form que pelo que Ax + + Bxx + + Cx = 3x + x +, x = 0 A = x = C = 3 + = C = x = A + B + C = = 6 B = B =

2 Logo 3x + x + x 3 + x + x = x + x + x + = log x + log x + + x + c Usdo mudç de vriável idicd, temos que x u = t x = rctu dx = + u du Logo, usdo tmbém relção trigoométric idicd, 3 cosx dx = 3 u + u du = +u = + u du = = rct u = rct 3 + u u du + u du = x t + u du.,5 vl. Determie áre d região pl A R defiid por: A = { x, y R : x < y < x + } Resolução. A áre solicitd é dd por com, b R soluções de áre A = b [ x + x ] dx x = x + x + x = 0 x + x = 0 Assim, áre A = = [ x + x ] dx = + 3 [ x x3 + x 3 = 9 ]

3 3.,5 vl. Determie um fução cotíu f : [0, + [ R tl que x x = x 0 t t ef dt, x [0, + [. Resolução. A iguldde idicd é verificd pr x = 0, idepedetemete de f. Pr x > 0 e como f é cotíu, podemos usr o Teorem Fudmetl do Cálculo pr derivr iguldde obtedo x + x 3 = x efx x e fx = + x fx = log + x Como expressão obtid pr f é cotíu em x = 0, podemos cocluir que fx = log + x, x [0, + [.,0 vl. Sej f : [, b] R um fução cotíu. Sedo g : [, b] R um fução itegrável ão egtiv, mostre que existe c ], b[ tl que b fxgx dx = fc b gx dx Resolução. Como f é cotíu o itervlo limitdo e fechdo [, b], tem míimo e máximo esse itervlo: m := mi f e M := mx f [,b] [,b] Tedo em cot que g 0 e usdo mootoi do itegrl, temos que m f M mg fg Mg m b g b fg M Se b g = 0, podemos cocluir dests desigulddes que b fg = 0, pelo que iguldde do eucido é verificd pr qulquer c [, b]. Se b g > 0, podemos cocluir dests desigulddes que b m fg b g M e o Teorem do Vlor Itermédio Aplicdo à fução cotíu f grte que existe c ], b[ tl que b fc = fg b g b g 3

4 5.,0 vl. Mostre que seguite série uméric é covergete e clcule su som: + Resolução. Como = + = = = = temos que se trt de um série geométric de rzão R = <, = logo covergete. Usdo fórmul pr som de um série geométric, obtemos = + = 8 = 0 = ,0 vl. Determie se cd um ds seguites séries umérics é bsolutmete covergete, simplesmete covergete ou divergete: i + 3 ; ii cosπ/3. Resolução. i Trt-se de um série de termos ão-egtivos que podemos comprr com série hrmóic / que é divergete. De fcto, lim = 3 e, como 0 < 3 < +, podemos cocluir que série idicd tem mesm turez d série hrmóic, logo tmbém é divergete. ii Como cosπ/3, N, e / é um série covergete, cocluimos por comprção que série cosπ/3 é covergete, pelo que série cosπ/3 é bsolutmete covergete.

5 7.,0 vl. Determie o cojuto dos potos x R ode seguite série é i bsolutmete covergete, ii simplesmete covergete e iii divergete: x Resolução. O rio de covergêci dest série de potêcis é ddo por R = 3 Assim, série é bsolutmete covergete qudo x 3 < 3 3 < x 3 < 3 0 < x < 6 0 < x < 3 x ]0, 3[ e divergete qudo x 3 > 3 x ], 0[ ]3, + [ Qudo x = 3 série de potêcis tom form que é um série uméric em que o termo gerl ão tede pr zero lim divergete. Qudo x = 0 série de potêcis tom form =, logo +3 que é ovmete um série uméric em que o termo gerl ão tede pr zero lim 3 +3 ão existe, logo tmbém divergete. 8.,0 vl. Desevolv fução f : ], [ R dd por fx = x 0 t 3 dt, x ], [, t em séries de potêcis de x. Qul é o mior itervlo berto em que série represet fução? 5

6 Resolução. Temos pelo Teorem Fudmetl do Cálculo que f x = x3, x ], [. x Usdo série de Tylor correspodete à som de um série geométric, i.e. temos que f x = x3 x = x3 x x = x, x ], [, = x3 x x +3 =, x + Primitivdo termo termo, obtemos x + fx = c +, x ], [, + + ode c R é um costte. Como cocluimos que c = 0 pelo que fx = fx = x 0 x + + = + t 3 dt f0 = 0, t = x, x ], [, 3 ], [ x ], [. 9.,0 vl. Se série uméric de termos positivos é covergete, o que pode cocluir quto à turez d série log +? Resolução. Tedo em cot que covergete 0, podemos comprr s séries de termos positivos e log + clculdo lim log + x 0 log + x x = 0 0 RC x 0 +x =. Como 0 < < + cocluimos que s séries são d mesm turez, pelo que log + é tmbém covergete. 6