... Soma das áreas parciais sob a curva que fornece a área total sob a curva.

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1 CAPÍTULO 7 - INTEGRAL DEFINIDA OU DE RIEMANN 7.- Notção Sigm pr Soms A defiição forml d itegrl defiid evolve som de muitos termos, pr isso itroduzimos o coceito de somtório ( ). Eemplos: ( + ) L + ~ som de iteiros sucessivos + ( + )( ) L + ~ som de qudrdos sucessivos 6 A itegrl de Riem de um fução f ( ) um itervlo [,] so curv f ( ), ou sej:, é equivlete à som de todos os elemetos de áre Y [ c, f ( )] c [ c, f ( )] c c c A Som ds áres prciis so curv que forece áre totl so curv. X ode: c coorded etre e f ( c ) orded de c (ltur do retâgulo) (se do retâgulo) A áre do ésimo retâgulo é dd por A f ( c ) somdo-se tods s áres dos retâgulos so curv f ( ), tem-se um proimção (devido às quis dos retâgulos) d áre so curv. Quto meor for, melhor é proimção. Assim: lim f ( c ) áre so curv f ( ) A. Discipli de Cálculo Diferecil e Itegrl I Prof. Slete Souz de Oliveir Buffoi

2 7.- Itegrl Defiid de Riem Defiição: Sej f ( ) um fução cotíu um itervlo [,] lim f ( c ) eiste, fução f ( ) é itegrável em [,] lim f ( c ) f ( )d, etão se o limite o setido de Riem, e é defiid por, ode itegrl defiid de f ( ), o itervlo [,], drá um ov fução g ( ) clculd o itervlo [,] escrito form ( ) g, ou sej, g( ) g( ) g( ), ssim:, o que é f ( )d g( ) g( ) 7.- Teorem Fudmetl do Cálculo Se f for itegrável em [,] e se F for um primitiv de f em [,], etão f ( )d [ g( )] g( ) g( ) g( ) 7..Eistêci d Itegrl de Riem de um fução Cotíu Teorems ) Se f ( ) é um fução cotíu o itervlo fechdo [, ], etão f ( ) é Riem - itegrável em [, ]. ) Se f ( ) é um fução limitd e secciolmete cotíu o itervlo fechdo [, ], etão ( ) itegrável em [, ]. Eemplos: f é Riem f() + ; > se f() / ; > f() se f() Fução limitd secciolmete e,, é R - itegrável Cotíu em [ ] Fução ilimitd secciolmete,, ão é R - itegrável em [ ] Discipli de Cálculo Diferecil e Itegrl I Prof. Slete Souz de Oliveir Buffoi

3 Eercícios ) Determir áre limitd pel curv 5 ( 5 ) 5 5 e pelo eio A 5 d 5. ) Determir áre limitd pels curvs 5 e u Potos de iterseção - Áre 5 5 ( ) A A A (5 ( 7 A 9 9 A u.. )d )d ) Determir áre limitd pelo eio e pel curv A ± - Discipli de Cálculo Diferecil e Itegrl I Prof. Slete Souz de Oliveir Buffoi

4 A. A. A A. A d ( ).[ 8] u.. A..( )d ou A ( A. 8 A. 8 A u.. )d ) Determir áre limitd pels curvs ; + ; ; primeiro qudrte e positivo. - - Potos de iterseção - Áre + ( ). + + ± 6 ± 8 ' A ( )d A A 6.8 A. A u.. Discipli de Cálculo Diferecil e Itegrl I Prof. Slete Souz de Oliveir Buffoi

5 5) Clcule áre compreedid etre o eio X e curv f ( ) ( + 8) O gráfico d curv é: Y etre [, ] f 8 ( ). - - X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Avlie diretmete itegrl de Riem dd pelo cálculo de um limite ds soms de Riem. Use prtições costituíds de suitervlos de comprimetos iguis e use retâgulos iscritos ou circuscritos, coforme estej idicdo.. d (retâgulos iscritos). d (retâgulos circuscritos) + c. ( ) d. ( ) d (retâgulos iscritos) d (retâgulos iscritos) 7.- Proprieddes Básics d Itegrl Defiid ) Itegrl de um fução costte f, costte, etão f ( )d d ( ), como mostr Figur Se ( ) ) Homogeeidde f ( )d f ( )d, ode é um costte Y A X Áre so um fução costte. f () Discipli de Cálculo Diferecil e Itegrl I Prof. Slete Souz de Oliveir Buffoi

6 ) Aditividde [ f ( ) + g( )]d f ( )d + ) Lieridde [ Af ( ) + Bg( )]d A f ( )d + 5) Positividde g( )d B g ( )d Se f é um fução Riem - itegrável em [ ] f ( )d 6) Comprtividde, com A e B costtes., e se f()> pr todo o itervlo [,] Se f e g são Riem - itegráveis em [,] e se f() g() pr todo o itervlo [,] f ( )d g( )d m de g() M g() f(), etão, etão mi de g() m 7) Vlor Asoluto f ( )d f ( ) d Prov: Assumido que f e f são Riem - itegráveis o itervlo [,]. Temos que - f() f() f() ( - ) Etão Logo f ( ) d f ( )d f ( ) d ; isto é: f ( ) d f ( )d f ( )d f ( ) d f ( ) d 8) Aditividde com relção o itervlo de itegrção Se f é Riem - itegrável o itervlo [,], em como o itervlo [,c] itegráveis o itervlo [,c], ou sej: c f ( )d f ( )d c + f ( )d Defiições: (i) Se f é um fução qulquer e é um úmero o domíio de f, defiimos: f ( )d, etão f é tmém Riem - Discipli de Cálculo Diferecil e Itegrl I Prof. Slete Souz de Oliveir Buffoi 5

7 (ii) Se > e f é Riem - itegráveis em [, ], etão defiimos: f ( )d f ( )d 7.5- Teorem do Vlor Médio pr Itegris Se f é cotíu em [,], etão eiste um úmero c em [,] tl que f( c ).( - ) f( c ) mi f c m f f ( )d ou f ( )d f(c ) f c os: A áre so curv f() etre e é igul áre do retâgulo cuj se é (-) e ltur f(c). E: Sej f(), chr c o itervlo [,] f( c ) 6 d ( ) 7 Logo f( c ) c 7 c 7,65 (,65 ) 7.6- Teorem Fudmetl do Cálculo (TFC) A primeir prte deste teorem firm que s operções de diferecição (derivção) e itegrção são iverss um d outr, isto é, diferecição desfz itegrção e vice-vers. O eucido do TFC é composto de dus prtes. Assim, se f é cotíu um itervlo I tl que I e I, e sej I, etão: prte: d f ( t )dt f ( ) d d " derivd d itegrl é o itegrdo" d ode f ( t )dt prte: Se g é um primitiv (ti-derivd) de f, de tl form que g'() f(), etão f ( )d Eemplos: ( prte) Clculr d ) Se ( t t + )dt, clculr. d d d ( t t + )dt + d d g( ) g( ) Poto c do teorem do vlor médio, pr todo em [,] Discipli de Cálculo Diferecil e Itegrl I Prof. Slete Souz de Oliveir Buffoi 6

8 ) Se dt t + d d dt d d t + + d, clculr. d c) Se + 7 ) 5 d ( 5t dt, clculr. d Fzedo u du du d d d Por equto, podemos clculr du u d d ( 5t + 7 ) dt ( 5u + 7 ) du du ( ) (voltdo o vlor u ) logo: d du ( ) 5 Aplicdo Regr d Cdei, temos: d d du. ( ) 5 () d ( ) 5 () d du d d Eemplos de Itegris Defiids ( prte do TFC) ) ( + )d ( ) ) d d d Oservções: / / / ( ) / + / / / ( (/) ) / ( (/) ) 8 Discipli de Cálculo Diferecil e Itegrl I Prof. Slete Souz de Oliveir Buffoi 7