Mecânica Geral II Notas de AULA 4 - Teoria - Determinação do Centróide Prof. Dr. Cláudio S. Sartori. Superfície. Triângulo.

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1 Mecânc Gerl II ots de U - Teor - Determnção do Centróde rof. Dr. Cláudo S. Srtor BRICETRO E CRREGMETO DISTRIBUÍDO.TREIÇS S E ESCIIS. CETRO CETRÓIDE DE DE GRIDDE UM CORO EM E E DIMESÕES. Introdução ção d Terr sobre um corpo rígdo pode ser representd por um grnde número de pequens forçs tundo em cd ponto do corpo rígdo, que podem ser substtuíds por um únc plcd no brcentro do corpo, o ponto de plcção de. Consderremos corpos b e tr-dmensons. DETERMIÇÃO OR ITEGRÇÃO. Centro de grvdde de um corpo bdmensonl: d d ; = Centródes de superfíces e curvs: d d ; = d d ; = Superfíce Trângulo Qurto de círculo semcírculo Qurto de elpse Me elpse Sem prábol r prábol rco de prábol r r b r r b b b b 8 Curv gerl n + n + n + n + n + Setor crculr rsen r Qurto de rco Sem rco rco r r r r rsen r r Form d Fgur

2 Mecânc Gerl II ots de U - Teor - Determnção do Centróde rof. Dr. Cláudo S. Srtor Momentos de prmer ordem de superfíces e curvs: Em relção o eo O: Q = d Em relção o eo O: Q = d Fgurs composts Form Fgur Hemsféro 8 = Centróde por ntegrção: Semelpsóde de revolução 8 d = d dr = r + d d d = + d = + d d d dθ Corpos trdmensons d d zd z = = rbolóde de revolução z = = z Cone râmde b

3 Mecânc Gerl II ots de U - Teor - Determnção do Centróde rof. Dr. Cláudo S. Srtor Teorems de ppus-guldn ou ppus-guldnus Teorem áre de um superfíce de revolução é gul o comprmento d curv gertrz multplcd pel dstânc percorrd pelo centróde d curv durnte gerção d superfíce: = Teorem O volume de um corpo de revolução é gul à áre gertrz multplcd pel dstânc percorrd pelo centróde d superfíce, durnte gerção do corpo. = rocedmento de encontrr o centróde: Fgur semcírculo Retângulo Furo crculr Som

4 Mecânc Gerl II ots de U - Teor - Determnção do Centróde rof. Dr. Cláudo S. Srtor Eemplos resolvdos Eemplo Determne pr superfíce pln d fgur: () Os momentos estátcos com relção os eos e. (b) posção do centróde. Superfíce obtd por: Fgur Componente (mm ) (mm) (mm) Retângulo Trângulo./ semcírculo crculo Soms.8. Q = Q Q Q = =. mm = 7.8 mm = 7.8. mm. =. = mm

5 Mecânc Gerl II ots de U - Teor - Determnção do Centróde rof. Dr. Cláudo S. Srtor Eemplo O trângulo d fgur é feto por um rme fno omogêneo. Determnr o seu brcentro. Eemplo Um brr semcrculr e unforme de peso e ro r é vnculd por um pno em e está pod contr um superfíce ls em B. Determnr s reções em e B. Trângulo obtdo por: Desenndo o dgrm de corpo lvre:s forçs que tum n brr consstem de seu peso plcdo o brcentro G, cuj posção é obtd d fgur. reção em representd pels componentes e e d reção orzontl em B. Fgur Componente: (c m ) (cm) (cm)..8. B.8. BC.9. C... Soms.7... =.7 cm. = = 7,cm r + M = B( r) = B = F + B= = B = =

6 Mecânc Gerl II ots de U - Teor - Determnção do Centróde rof. Dr. Cláudo S. Srtor F = = = = = + Eemplo Determne, por ntegrção dret, o centróde do rco de crcunferênc ndcdo. = + = + tg = = = rctg : = 7. =.9 B=.8 Eemplo Determne, por ntegrção dret, o centróde d superfíce d prábol: = b b b = b b = d= d= d= = Q = d = d d d Q = b b = = = b b Q = eld = d d d Q = d= ( rcosθ ) rdθ = r cosθd = b b Q = = = b d el Q = = b = b eld Q = = = b = b = d = rdθ = r dθ = r θ [ ] θ= Q = r sen = r sen θ= Q r sen rsen = r

7 Mecânc Gerl II ots de U - Teor - Determnção do Centróde rof. Dr. Cláudo S. Srtor Eemplo Determne áre d superfíce de revolução ndcd, obtd pel rotção de um rco de qurto de crcunferênc em torno de um eo vertcl. 7 O volume do ro pode ser encontrdo pelo teorem II de ppus-guldn: = r r = r De cordo com o Teorem, de ppus- Guldn: = = r = r ( ) Eemplo 7 O dâmetro de um pol mede.8m e seção ret de seu ro está lustrd n fgur. Determnr mss e o peso do ro, sbendose que pol é fet de ço e su mss específc é ρ = 7,8. kg/m. Fgur Componente (mm ) I mm d percor. por C, mm 7 7 mm Soms 7.7. Como: mm 9 = m mm = m = 7.7 m ( )( m= ρ = ) m= kg = m g = 9.8 = 89

8 Mecânc Gerl II ots de U - Teor - Determnção do Centróde rof. Dr. Cláudo S. Srtor Eemplo 8 Determnr, usndo o Teorem de ppus-guldn: () O centróde de um superfíce semcrculr e (b) o centróde de um semcrcunferênc. Eemplo 9 Determnr o brcentro do corpo omogêneo, de revolução, lustrdo: 8 () r r r = = r = r = = (b) ( ) r = Fgur Componente Hemsféro (cm ) r = cm cm -. - Clndro r= =. +. Cone r= +7. Soms = 77 = X = = X =.mm

9 Mecânc Gerl II ots de U - Teor - Determnção do Centróde rof. Dr. Cláudo S. Srtor Eemplo oclze o brcentro d peç d fgur. Os dos furos têm mm de dâmetro. Fgur Componente (mm ) z mm z Cm I rlelepípedo Retngulr bc = II Um qurto de clndro r=. = III Clndro I Clndro Soms = r.. =. = r.. =. = X = = X =.mm Y = = Y =.9mm 8.9 z. Z = = Z =.mm 8.8

10 Mecânc Gerl II ots de U - Teor - Determnção do Centróde rof. Dr. Cláudo S. Srtor Eemplo Determne posção do centróde d fgur: r = r = = d = r d d d el rd = = d= 8 d el 8 r eld = r d= d= d el = = =