os corpos? Contato direto F/L 2 Gravitacional, centrífuga ou eletromagnética F/L 3

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1 Universidde Federl de Algos Centro de Tecnologi Curso de Engenri Civil Disciplin: Mecânic dos Sólidos 1 Código: ECIV018 Professor: Edurdo Nobre Lges Forçs Distribuíds: Centro de Grvidde, Centro de Mss e Centróide Mceió/AL

2 Generliddes Quis s forms de interção entre os corpos? Contto direto F/L Grvitcionl, centrífug ou eletromgnétic F/L

3 Generliddes Mudnç dos domínios de trnsmissão de forçs Possível: qundo dimensão(ões) crcterístic(s) d região de trnsmissão de forç é pequen comprd com s dimensões crcterístics do elemento estruturl. E: F/L F/L e F/L F Necessári: forçd pel considerção de um modelo do elemento estruturl onde dimensão(ões) é(são) simplificd(s). E: F/L F/L ; F/L F/L e F/L F/L

4 Generliddes Crgs pontuis eistem? Crgs pontuis são bstrções de crgs distribuíds em domínios com dimensões crcterístics pequens comprds com s do elemento estruturl t o qul estão plicds ou de representção de um sistem resultnte equivlente de forçs distribuíds.

5 Objetivo Considerção de ções distribuíds nos problems de equilíbrio. Ação grvitcionl Ação do vento Ação idrostátic

6 Centro de Grvidde ou Bricentro O centro de grvidde ou bricentro de um corpo é posição onde pode ser considerd d plicção d forç de grvidde resultnte equivlente de todo o corpo. De um form gerl, qundo se consider não uniformidde de cmpos grvitcionis, determinção d forç de grvidde totl e do seu ponto de plicção ficm dependentes d posição e orientção do corpo. Portnto, o centro de grvidde ou bricentro não pode ser considerd um crcterístic específic de um corpo rígido.

7 Centro de Grvidde ou Bricentro

8 Centro de Grvidde ou Bricentro Plcs plns Equivlênci Forç resultnte Momento em torno do eio Momento em torno do eio ΔP P ΔP P PP ΔP P

9 Centro de Grvidde ou Bricentro Plcs plns dp Equivlênci P dp dp P dp P

10 Centro de Grvidde ou Bricentro Armes plnos Equivlênci Forç resultnte Momento em torno do eio Momento em torno do eio ΔP P ΔP P PP ΔP P

11 Centro de Grvidde ou Bricentro Armes plnos dp Equivlênci P dp dp P dp P

12 Centro de Mss Plcs plns dp Equivlênci P dp dp P dp P Considere plc imers em um cmpo grvitcionl constnte. Com isso, M dm dm M dm M onde neste cso fic definido o centro de mss. Vle o mesmo resultdo pr os rmes plnos.

13 Centróide ou Centro Geométrico Plcs plns dp Equivlênci P dp dp P dp P Considere plc presentndo peso específico e espessur constntes. Com isso, A da da A da A onde neste cso fic definido o centróide d plc.

14 Centróide ou Centro Geométrico Armes plnos dp Equivlênci P dp dp P dp P Considere o rme presentndo peso específico e seção trnsversl constntes. Com isso, L dl dl L dl L onde neste cso fic definido o centróide do rme.

15 Centro de Grvidde, Centro de Mss e Centróide Cmpo Grvitcionl Cmpo Grvitcionl CGCMC Cmpo Grvitcionl C CGCM Mdeir Grnito C CMCG

16 Momentos de Primeir Ordem de Superfícies e Curvs z z Momento de 1ª ordem d superfície em relção o eio Q da A Momento de 1ª ordem d superfície em relção o eio Q da A Momento de 1ª ordem d curv em relção o eio Q dl L Momento de 1ª ordem d curv em relção o eio Q dl L

17 Momentos de Primeir Ordem de Superfícies e Curvs Q A (ou L) Q A (ou L) As coordends do centróide de um superfície ou curv podem ser obtids dividindo-se os momentos de primeir ordem pel áre d superfície ou comprimento d curv, respectivmente. Se o centróide de um superfície ou curv estiver loclizdo sobre um eio de coordends, o momento de primeir ordem em relção esse eio será nulo e vice-vers. vers

18 Momentos de Primeir Ordem de Superfícies e Curvs P B Região simétric e eio de simetri P Se um superfície ou curv present um eio de simetri, o centróide dess região está contido sobre esse eio de simetri. B - da C da

19 Momentos de Primeir Ordem de Superfícies e Curvs Um região que present dois eios de simetri, o centróide d mesm encontr-se n interseção desses eios. C C

20 Momentos de Primeir Ordem de Superfícies e Curvs Região com centro de simetri da - da C Se um superfície ou curv present um cento de simetri, esse corresponde o centróide d região. -

21 Centróides de Superfícies Plns de Formtos Usuis

22 Centróides de Superfícies Plns de Formtos Usuis

23 Centróides de Superfícies Plns de Formtos Usuis

24 Centróides de Curvs Plns de Formtos Usuis

25 Plcs e Fios Compostos Qundo se estiver interessdo n determinção de proprieddes integris (áre, comprimento e momentos de primeir ordem) de regiões que não estão tbelds, ms identific-se que região em questão é formd pel composição de regiões elementres cujs proprieddes integris são conecids, plic-se ess composição n vlição ds integris referentes às proprieddes de interesse.

26 Plcs e Fios Compostos A A R1+ R + R da Q da R1+ R + R Q da R1+ R + R da + da + R 1 R R R da... Q + Q + Q R A + A + R 1 R... Q + Q + Q R R 1 R A 1 R R Y X Q A Q Q A

27 Plcs e Fios Compostos Eemplo: Determine o centróide d superfície compost mostrd.

28 Plcs e Fios Compostos Eemplo (continução): 1ª composição 1

29 Plcs e Fios Compostos Eemplo (continução): 1ª composição 1 Q Região Ai i i Q i i (cm ) (cm) (cm) (cm ) (cm ) , Totl A Q cm A Q ,5 cm

30 Plcs e Fios Compostos Eemplo (continução): ª composição 1

31 Plcs e Fios Compostos Eemplo (continução): ª composição 1 Q Região Ai i i Q i i (cm ) (cm) (cm) (cm ) (cm ) , Totl A Q cm A Q ,5 cm

32 Determinção de Centróide por Integrção Q A da Q A da Em princípio, p pr quntificção dos momentos de 1ª ordem de superfície (ou momentos estáticos de áre), esses são clculdos prtir de integris is dupls no domínio representtivo d região estudd, onde se deve escrever o elemento infinitesiml de áre da de cordo com conveniênci ds coordends de descrição d região trtd.

33 Determinção de Centróide por Integrção Dupl D {(, ) b e c d} d c dadd Q da dd d d d c d [ ] b ( b ) d ( b b ) c b d c d c d ( b )( d c )

34 Determinção de Centróide por Integrção Dupl D {(, ) b e c d} dadd Q da dd d d d c b d c b d c b d b d c b ( b )( d c ) d c d

35 Determinção de Centróide por Integrção Dupl D b (, ) 0 e 0 b dadd d d Q Q da 0 b b 0 0 dd b 0 d 0 b b 6 0 d

36 Determinção de Centróide por Integrção Dupl D b (, ) 0 e 0 b dadd Q da b 0 0 dd d d b b [ ] 0 d 0 0 b b 0 d

37 Determinção de Centróide por Integrção Dupl D π π ( rcosθ, rsinθ) r b e θ 6 dardθdr b Q da π b π 6 [ ] r cosθ b r π π 6 dr sin θdθ dr 0º b b r ( b ) 6 6 r dr

38 Determinção de Centróide por Integrção Dupl D π π ( rcosθ, rsinθ) r b e θ 6 dardθdr b Q da b π b [ ] r sinθ π π 6 π 6 r dr 0º cos θdθ dr b r dr b r b 6 6

39 Determinção de Centróide por Integrção de Ftis Q A da dq Q A da el el dq A idéi dest sistemátic é considerr que região de interesse é formd pel composição de infinits ftis infinitesimis cujs forms correspondem regiões cujs proprieddes geométrics já são conecids. Sendo ssim, est sistemátic pode ser entendid como um plicção do método já presentdo pr regiões composts.

40 Determinção de Centróide por Integrção de Ftis (,()) A da el da b ()d el d el b Q da el da el el dq b () () d da el ()d el () el Q da el l l da el el dq b ()d

41 Determinção de Centróide por Integrção de Ftis el θi θf (r(θ)cos(θ),r(θ)sin(θ)) el ( ) el r θ da dθ el r cos el r sin ( θ) θ ( θ) θ A da Q da el da el Q da el da el dq θ f θ i el dq θ θ f r( θ ) i θ f r( θ) el da el θ i r( θ) dθ sin θdθ cos θdθ

42 Determinção de Centróide por Integrção Eemplo: Determine por integrção o centróide d superfície mostrd em termos de e. k () k

43 Determinção de Centróide por Integrção Eemplo (continução): Por integrção dupl d d () D (, ) 0 e A 0 [ ] 0 0 dd dd d d

44 Determinção de Centróide por Integrção Eemplo (continução): Por integrção dupl (cont.) Q 0 dd D d d () (, ) 0 e d d 7 0

45 Determinção de Centróide por Integrção Eemplo (continução): Por integrção dupl (cont.) d d () Q 0 [ ] 0 0 dd dd d d D (, ) 0 e 10

46 Determinção de Centróide por Integrção Eemplo (continução): Por integrção de ftis A () 0 d D (, ) 0 e

47 Determinção de Centróide por Integrção Eemplo (continução): Por integrção de ftis (cont.) () Q d D (, ) 0 e

48 Determinção de Centróide por Integrção Eemplo (continução): Por integrção de ftis (cont.) Q 0 d () 0 D (, ) 0 e

49 Determinção de Centróide por Integrção Eemplo (continução): C () Q A 5 Q 4 A 7

50 Determinção de Centróide por Integrção Eemplo (continução): Por integrção de ftis D (, ) () () 0 e Como trtr o problem com ftis orizontis? Q A Q d d 1 d

51 Teorems de Pppus-Guldin Cálculo de áre de superfície de revolução e volume de sólido de revolução. Formuldos inicilmente pelo geômetr grego Pppus (século III d.c.) Restbelecidos posteriormente p pelo mtemático suíço Guldinus, ou Guldin ( ).

52 Teorems de Pppus-Guldin Superfície de revolução Curv gertriz Curv gertriz Eio de revolução z Superfície de revolução Eio de revolução

53 Teorems de Pppus-Guldin 1º Teorem de Pppus-Guldin A áre de um superfície de revolução é dd pelo produto do comprimento d curv gertriz pel distânci percorrid pelo centróide d mesm durnte gerção d superfície em put. L C d A A da dl π da πdl A A πl A dl

54 Teorems de Pppus-Guldin Sólido de revolução Superfície gertriz Superfície gertriz z Eio de revolução Sólido de revolução Eio de revolução

55 Teorems de Pppus-Guldin º Teorem de Pppus-Guldin O volume de um sólido de revolução é ddo pelo produto d áre d superfície gertriz pel distânci percorrid pelo centróide d mesm durnte gerção do sólido em put. C A d V dv V da π dv πda V V πa V da

56 Teorems de Pppus-Guldin Eemplo: Determine o volume e áre superficil do sólido mostrdo.

57 Teorems de Pppus-Guldin Eemplo (continução): Cálculo do volume pelo º Teorem de Pppus-Guldin 0mm 0mm B D 50mm E Eio de revolução c C 60mm A 0mm Superfície gertriz SR SG SG V πca πq ER

58 Teorems de Pppus-Guldin Eemplo (continução): Cálculo do volume pelo º Teorem de Pppus-Guldin (cont.) 0mm 0mm B D c C 50mm E 60mm m A D E B E B D _ A A SG 1 0mm Q A SG 1 ER ER ER Q SG ER SG ER Q Q Q mm V SR 75000π mm

59 Teorems de Pppus-Guldin Eemplo (continução): Cálculo d áre pelo 1º Teorem de Pppus-Guldin 0mm 0mm B D 50mm E Eio de revolução c C 60mm Curv gertriz A 0mm S SR Δ A A + A πcl CG + A πq CG + A ER ADE Δ Δ ADE ADE

60 Teorems de Pppus-Guldin Eemplo (continução): Cálculo d áre pelo 1º Teorem de Pppus-Guldin (cont.) 0mm 0mm 50mm 1 E D E D D B D 0mm c C 60mm m A A CG 1 ER ER ER ER CG Q Q + Q + Q CG Q ER Q 1018,1 mm CG ER A S 1018,1π A A E E 5101, mm

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