Modelagem Matemática de Sistemas Eletromecânicos

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1 1 9 Modelgem Mtemátic de Sistems Eletromecânicos 1 INTRODUÇÃO Veremos, seguir, modelgem mtemátic de sistems eletromecânicos, ou sej, sistems que trtm d conversão de energi eletromgnétic em energi mecânic com o ojetivo de cionr um sistem mecânico, como os já estuddos té qui. N modelgem mtemátic de sistems eletromecânicos temos necessidde de: (1) plicr s Leis de Newton e s relções constitutivs dos elementos mecânicos, pr desenvolver s EDOL s que descrevem o movimento do susistem mecânico; () plicr s Leis de Kirchhoff e s relções constitutivs dos elementos elétricos, pr desenvolver s EDOL s que descrevem o comportmento do susistem elétrico; (3) plicr s Leis d Indução Mgnétic, pr modelr interção entre os susistems mecânico e elétrico. Após presentção ds Leis d Indução Mgnétic (s Leis de Newton e de Kirchhoff já form estudds), desenvolveremos, título de ilustrção, o modelo mtemático de um sistem eletromecânico. LEIS DA INDUÇÃO MAGNÉTICA Consideremos, inicilmente, um cmpo mgnético B, tl como o que existe entre os pólos de um imã permnente construído com mteril ferromgnético. Primeir Lei d Indução Mgnétic Se um prtícul com crg elétric q estiver em movimento, com velocidde V, no interior de um cmpo mgnético de intensidde B, sore el o cmpo gerrá um forç F, dd por (1) F qv x B A unidde SI de B é [N/mA]. Define-se 1 guss (G) 10-4 N/mA. Oservemos que forç F não execut trlho mecânico, pois el é norml à velocidde V, de cordo com eq. (1). Portnto, el não lter energi cinétic d prtícul.

2 Consideremos, gor, um elemento de fio condutor de comprimento dl, posiciondo dentro de um cmpo mgnético B, trvés do qul circul um corrente I, conforme fig. 1. Fig. 1 Sore esse elemento girá um forç elementr df, qul pode ser otid prtir d eq. (1): df dq V x B dl I x B () df I dl x B Pr um comprimento finito de fio, forç resultnte será otid integrndo eq. (): (3) F Idl x B A eq. (3) é se pr dispositivos tudores, tis como motores, motivo pelo qul el é conhecid como Lei do Motor (compnhr pel fig. ): A pssgem de um corrente elétric em um condutor situdo em um cmpo mgnético provoc o precimento de um forç eletromgnétic que tu sore o condutor, cuj direção e sentido são ddos pel produto vetoril d eq. (3). Fig. O módulo d forç, em N, vle (4) F B I l sen α onde B cmpo mgnético I corrente elétric que circul no condutor l comprimento do condutor imerso no cmpo mgnético α ângulo entre o condutor e o cmpo mgnético

3 3 O vlor máximo de F é otido qundo sen α 1 α 90 0, motivo pelo qul sempre se coloc o condutor perpendiculr o cmpo mgnético. Segund Lei d Indução Mgnétic É chmd Lei d Indução Eletromgnétic de Frdy: Se um fio condutor estiver em movimento dentro de um cmpo mgnético, então um grdiente de potencil (voltgem) é gerdo o longo do fio. Fig. 3 Pr um condutor elementr de comprimento dl, movendo-se com velocidde V dentro de um cmpo mgnético B, diferenç de potencil elementr é dd por (5) de V x B dl A voltgem induzid ument n direção de V x B. Pr um comprimento finito de fio, voltgem induzid é otid integrndo eq. (5): (6) e V x Bdl A eq. (6) form se pr dispositivos que germ energi elétric prtir de energi mecânic, tis como turins vpor e gerdores em gerl, motivo pelo qul el constitui chmd Lei do Gerdor: Se um condutor de comprimento l move-se com velocidde V em um cmpo mgnético de intensidde B e perpendiculrmente ele, então é gerd um voltgem e no condutor. O vlor d voltgem, em volts, é ddo por (7) e B l V onde B intensidde do cmpo mgnético l comprimento do condutor imerso no cmpo mgnético V velocidde do condutor perpendiculrmente o cmpo

4 4 N discussão nterior form presentdos os dois efeitos eletromgnéticos de mior interesse pr modelgem de um sistem eletromecânico. Se considerrmos simultnemente ocorrênci desses dois efeitos, podemos ver clrmente que s prtes elétric e mecânic irão intergir. Assim, supondo que um fio condutor sej fixdo um corpo que se move dentro de um cmpo mgnético, forç eletromgnétic gerd frá com que o corpo sej celerdo. Por outro ldo, à medid que o corpo se moviment, su velocidde frá com que sej gerd um voltgem (denomind forç contr-eletromotriz), qul fetrá corrente elétric no condutor, e ess últim, por su vez, fetrá forç exercid sore o ojeto e ssim por dinte. Portnto, durnte o funcionmento de um sistem eletromecânico, plicmse ms s leis, do motor e do gerdor. 3 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM SERVOMOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA O controle dos servomotores CC pode ser feito trvés d: corrente de cmpo, i f (no cso de o cmpo mgnético ser gerdo por um eletroimã); corrente d rmdur, i (mis comum). Consideremos um servomotor CC controldo pel rmdur, conforme fig. 4, onde corrente de cmpo do eletroimã, i f, é constnte: N fig. 4 identificmos: Fig. 4 Fig. 4 R resistênci d rmdur [Ω] L indutânci d rmdur [H] i corrente n rmdur [A] i f corrente de cmpo [A] e voltgem n rmdur [V] e forç contr-eletromotriz [V] θ deslocmento ngulr do eixo do motor [rd] T torque desenvolvido pelo motor [Nm] J momento de inérci do motor e d crg, referidos o eixo do motor [g m ] C coeficiente de mortecimento viscoso do motor e crg, referidos o eixo do motor [Nms/rd] Os.: o eixo será suposto rígido, ou sej, não será levd em cont su elsticidde. Pr modelgem mtemátic, é necessário plicr s leis físics dos vários componentes.

5 5 Prte elétric: Fluxo mgnético, ψ: é proporcionl à corrente de cmpo (8) ψ f i f onde f é um constnte de proporcionlidde. Torque desenvolvido pelo motor, T: é proporcionl o produto d corrente d rmdur pelo fluxo mgnético T 1 i ψ ou T 1 i f i f Como 1, f e i f são constntes: 1 f i f (constnte do motor, fornecid pelo fricnte). Logo: (9) T i Forç contr-eletromotriz e : qundo rmdur está girndo, está presente tmém lei do gerdor, fzendo com que surj um voltgem proporcionl à velocidde ngulr (10) onde é constnte do gerdor. e dθ Lei de Kirchhoff ds mlhs pr o circuito elétrico d rmdur: (11) di L + R i + e e Prte mecânic: Lei de Newton: d θ dθ d θ Text J T C J (1) Levndo em cont eq. (9): d θ dθ (13) J + C i Função de trnsferênci do servomotor CC: d θ dθ J + C T Considerndo tods s condições iniciis nuls, podemos oter s trnsformds de Lplce ds eqs. (10), (11) e (13):

6 6 (14) (15) E (s) s L s I (s) + R I (s) + E (s) E (s) (16) J s + Cs I (s) Sustituindo eq. (14) n eq. (15): (s) s I L + (s) I (s) I R (s) E + s s L s + R (s) E Levndo I (s) n eq. (16), pós mnipulções lgérics, ficmos com: (J s + Cs + s ) (s) E L s Θ + R L s + R (s) Considerndo e (t) como entrd e θ(t) como síd, podemos chr função de trnsferênci: (17) E (s) s[l J s + (L + R J)s + R C + ] Vemos (eq. (17)) que se trt de um sistem de 3 ordem. Entretnto, podemos ixr su ordem pr um sistem de ordem, levndo em considerção que é muito comum que indutânci d rmdur L sej muito pequen n presenç dos demis prâmetros, podendo ser desprezd. Nesse cso, função de trnsferênci simplific pr: (18) Por outro ldo, chmndo podemos, finlmente, rescrever eq. (18) como E (s) s(r Js + R C + ) R J E (s) R C + s(s + ) R J m gnho do motor R C + R J Tm constnte de tempo do motor R C + (19) m E (s) s(t m s + 1)

7 7 EXERCÍCIOS 1 Achr função de trnsferênci Θ (s)/e (s) do servomotor CC d figur, cuj indutânci d rmdur é desprezível (não mostrd). Desprezr elsticidde dos eixos e os mortecimentos. Resp.: G(s) Θ E (s) (s) R J1 n n 1 K n1 + J n s + KK s É ddo o servomotor CC d figur, cuj indutânci d rmdur é desprezível. Achr função de trnsferênci Θ (s)/e (s). Desprezr elsticidde dos eixos. Ddos numéricos: R 0, Ω K 5,5 x 10 - V.s/rd K 8,1365 x 10-5 N.m/A J motor 1,356 x 10-5 g.m J L 5,9664 x 10-3 g.m C L 5,44 x 10 - N.m.s/rd N 1 /N 0,1