QUESTÕES COMENTADAS DE MECÂNICA

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1 QUSTÕS OMNTDS D MÂNI Prof. Inácio envegnú Morsch MOM Depto. ng. ivil URGS

2 1) ortm-se dus fends n plc G de modo que est se encixe em dois pinos fixos e como ilustr figur. Sbendo que, n configurção mostrd, velocidde ngulr d mnivel D é de 8 rd/s no sentido horário, determine s velociddes dos pontos e, bem como velocidde ngulr d e posição do centro instntâneo de velocidde nul dest Solução 1: Utilizndo-se o método de solução convencionl tem-se VD V + VD ( D) D V,5V D 91 (,5;,866) ( 3,866V 3 D D 15 6 o (mm) i,78) + 15 (1) () 15 k i k V D mm/s 8 V VD + ( D ) D i k VD Di D velocidde d no ponto pode ser escrit como V V (cos 6,cos3) V(,5;,866) V V + ( ) velocidde d no ponto pode ser escrit como V V (1,, ). plicndo-se est definição obtém-se V V V 3 + ( ) D (3) (4) V (1;) ( 3 D i,78) ,195 rd/s Substituindo-se n equção () obtém-se 63, k V mm/s, logo escreve-se 63,83(,5;,866) e com este resultdo obtém-se D, 659 rd/s. plicndo-se estes resultdos pode-se escrever V 58,1( 1;) mm/s e V ( 133,78;78) 74,19(,181;,983) mm/s. velocidde do ponto pode-se clculr como V V + ( ) ou se V i k 1,195 ( 133,78;78) ( 65,; 4,4) 693,69(,937;,349) posição centro instntâneo de velocidde nul é fcilmente determind, prtir ds direções ds velociddes nos pontos e, conforme ilustrdo n figur bixo. V mm/s mm/s

3 x 69 mm I y tn3 91,15 mm I I( 69;91,15) 6 o 3 o I Solução lterntiv Pr est form de solução vmos empregr o conceito do cento instntâneo de velocidde nul. ste modo de solução inici com determinção do centro instntâneo de velocidde nul conforme presentdo nteriormente. onhecendo-se o I pode-se escrever D V ( I ) V (,5;,866) i ,85 k,5v,866v 63, (1) () V i ( I ) V ( 1; ) 441,85 V 441, 85 k (3) V ( I ) ( 3,78) D i ,85 k 3 D ,85 1,195 rd/s e, 659 rd/s, 74,19(,181;,983) D V mm/s. velocidde do ponto é clculd como V i k 1,195 ( I ) V 3 543,85 ( 649,9; 4,59) 693,7(,937;,35) mm/s

4 5) Determine velocidde ngulr e celerção ngulr d plc D do mecnismo triturdor de pedrs mostrdo n figur no instnte em que está n horizontl. brr gir com um velocidde ngulr constnte 4 rd/s. D Solução: m primeiro lugr deve-se obter s coordends dos pontos de interesse. N figur o ldo estão representdos os eixos de referênci dotdos. 1, (1,379; ) (,779; ) ( ;,45) D(,6 ; 1,489) seguir clcul-se velocidde V i k V + ( ) V,6 4, (m) 4 rd/s V,4 m/s O próximo psso é clculr V,6 V V + (1) i ( ),4 +,779,45,45 i + (,4, 779 ) k Pr se continur solução, deve-se escrever V em função do ponto D, ou se V VD + i k ( D ) +,6 1,39 1,39 i, 6 D Igulndo-se s expressões (1) e () tem-se que result ns equções esclres D D D () (,4,779 ) 1,39 i,,45 i + D 6 D,45 1,39D,4,779,6 D que resultm em D 1 rd/s e,39 rd/s Pr se obter celerção ngulr d brr D clcul-se inicilmente celerção + ( ) α + ( ) + +,6 ( 4) i 9,6 i m/s prtir deste ponto segue-se um procedimento nálogo o plicdo às velociddes. + α 9,6 i,45α i,779α + (,779;,45),39 ( ) + ( ), 753,45α +,779α ( 13 ) i (, 399) + D αd D D D ( D ) + ( D ) + 1,39α i,6α +,6 i + 1, 39 Igulndo-se s expressões (3) e (4) obtém-se ( 13, 753,45α ) i + (,779α,399) 1,39α i,6α +,6 i + 1, 39 que corresponde dus equções esclres (3) D D (4)

5 13, 753,45α 1,39αD +,6,779α,399,6α D + 1,39 que resolvids resultm em α D 1,93 rd/s e α D 4 rd/s ) O disco mostrdo n figur tem um mss de kg e está originlmente girndo n extremidde d hste com um velocidde ngulr 6 rd/s, qundo ele é colocdo contr prede, cuo coeficiente de trito dinâmico vle,3. Determine o tempo necessário pr o movimento cessr. Qul forç n hste durnte este tempo? Solução: O primeiro psso é fzer um digrm de corpo livre ds forçs que tum no disco. ste digrm deve ser iguldo um digrm cinético equivlente o primeiro. 15 R x P N o I α R y O próximo psso é escrever s equções de equilíbrio pr o problem em questão. x mm x Rx N x o y mm y y R + P omo há deslizmento entre prede e disco tem-se µ N, 3N, logo Ry P, 3No M M IMα, 15 IMα sendo que IM d o 1,15 o,5 m 4 y α,no omo brr é birotuld e tem peso desprezível, sbe-se que forç tunte n brr tem direção dest ou se Ry tn 6 Ry 1,73Rx 1,73N R o x , 3 1,73N 196,1,3N N 96,51 N α 19,3rd / s t o o o R x 96,51 N R y 167,16 N t 3,1s 6 o

6 1) Sbendo que velocidde do cursor D é de 1,8 m/s pr cim, determine pr configurção ilustrd n figur bixo: velocidde ngulr d hste D, velocidde do ponto e velocidde do ponto. Solução: O primeiro psso é escrever velocidde do ponto em função d velocidde do ponto D. V VD + ( D ) D 16 3 i k V 1,8 +,6,15 D V (,15D ; 1,8, 6D ) (1) (mm) 3 o D O próximo psso é escrever velocidde do ponto em função do ponto. V V + ( ) i k V +,16 V (,16 ; ) () Igulndo-se s expressões (1) e () result em,15 6,9 1,8,6 D D 6,9 rd/s e,16,15 D 6,49 rd/s,16 V ( 1,4 ; ) m/s O próximo psso é clculr velocidde do ponto. V VD ( D ) + D omo os pontos, e D pertencem o mesmo corpo rígido tem-se que D D, logo i k V 1,8 +,433,5 6,9 ( 1,73 ; 1, ) m/s,1( -,8 ; -,57) m/s

7 1) brr do mecnismo ilustrdo n ig.() gir com k rd/s constnte. Determine velocidde e celerção do ponto loclizdo sobre o colr duplo pr configurção ilustrd. O colr duplo é formdo por dois cursores que são forçdos se moverem o longo do eixo circulr e d brr. Solução: O primeiro psso n solução do y problem é representr o sistem de referênci fixo XY e o sistem de referênci móvel xy Y conforme ilustrdo n figur o ldo. Seprndo-se velocidde do ponto num componente de velocidde de condução e noutr de velocidde reltiv tem-se V V + ( ) x cond,6 m rd/s omo origem dos sistem fixo e móvel é o ponto tem-se V i. s coordends do 45 J ponto no sistem móvel são dds por D, 6 +, 6 849, m, logo ( ;,849). lculndo-se velocidde V i k cond obtém-se V cond 849, 1698, i m/s. velocidde reltiv do colr dy ocorre n direção y devido à limitção d hste. Logo, pode-se escrever V rel Vry. Portnto, velocidde do dt ponto pode ser escrit como V V + V 1, 698i + V (1). cond rel Do ponto vist do sistem fixo, velocidde do ponto pode ser interpretd como sendo velocidde do colr que desliz do rco circulr. Logo, n posição ilustrd velocidde do ponto pode ser escrit como V V x I á que velocidde deve ser tngente à tretóri no ponto considerdo. Pr relcionrmos V escrito em relção o referencil fixo com V escrit em relção o referencil móvel, devemos plicr um rotção no eixos (I, J) i cosθ senθ I ou se. No cso do problem tem-se θ 45, logo pode-se escrever senθ cosθ J i, 77, 77 Vx, 77V x (), 77, 77, 77V x omprndo-se s expressões (1) e () tem-se, 77V x 1698, V x, 4 m/s V, 4 I m/s e Vry, 77Vx Vry, 77, , m/s dotndo-se um procedimento semelhnte pr o cálculo d celerção tem-se cond + ry ( ) α + ( ) omo origem dos sistem fixo e móvel é o ponto tem-se. omo é constnte tem-se que α. Logo, celerção de condução result em cond, , m/s celerção reltiv do colr ocorre n direção y devido à limitção d hste. Logo, pode-se escrever i k d y rel ry. celerção de oriolis é dd por coriolis V 6, 79i m/s rel dt 1698, Logo, celerção do ponto pode ser escrit como I X

8 ( 3, ) 6, 79i cond + rel + coriolis ry Do ponto vist do sistem fixo, celerção do ponto pode ser interpretd como sendo celerção do colr que desliz no rco circulr. Neste cso, considerndo que o centro do rco circulr é fixo, e que velocidde ngulr d hste é constnte, pode-se firmr que celerção do ponto é do tipo y J, ou se é um celerção do tipo centrípet. O próximo psso é trnsformr est celerção pr o sistem móvel i, 77, 77, 77y (4), 77, 77 y, 77y omprndo-se s expressões (3) e (4) obtém-se 6, 79, 77y y 9, 61m/s 9, 61J m/s ( 9, 61) 3, ry, 77y 3396, + ry, 77 ry 3, 4 m/s 4) Um plc retngulr de kg está suspens por dois suportes e e se mntém n posição ilustrd pel ção do fio D. Sbendo que o coeficiente de trito cinético entre cd suporte e hste inclind vle,15 determine s reções em e imeditmente pós o corte do fio. Solução: O primeiro psso é fzer o digrm de corpo livre e cinético do problem pós o corte do fio. pós o corte do fio e pós vencer s forçs de trito estático, plc retngulr inici o movimento n direção d brr, provocdo pel ção d forç peso. s forçs que se opõem este movimento são s forçs de trito cinético x e x, que podem ser relcionds com s forçs normis à hste y e y como x, 15 y e D x, 15 y. G y x x y 5 Peso d plc: P mg 9, , N screvendo-se s equções de movimento tem-se m x Gx 196, 1 cos65 x x Gx 196,1 N G 65 G m Gx x + x + Gx 8, 88 (1) y m Gy como Gy tem-se 196, 1 sen65 + y + y y + y 177, 74 ()

9 M G I G α como α tem-se 4 x + 4x 1y + 1y (3) Substituindo-se em (3) s relções entre s forçs x, y e x, y, fic 4 15, y , y 1y + 1y 4y + 16y y 4 y (4) Substituindo-se (4) em () obtém-se 5 y 177, 74 y 3555, N, x 5,33 N, y 14, N e x 1,3 N 14) Num ddo instnte o bloco desliznte se move pr direit conforme ilustrdo n ig. (1). Determine celerção ngulr d brr e celerção do ponto neste instnte. Solução: omo o vetor velocidde tem como crcterístic ser tngente à tretóri no ponto, not-se que v ( V x ;) á que tretóri relizd pelo centro de mss d rod é um circunferênci de rio 1 m (está sendo desprezdo dimensão do rio d rod). Logo pode-se escrever V V + ( ) O próximo psso é clculr cot x entre os pontos e : x 1,7 1 ( V ; ) ( 1,8; ) + 1,37 1 ( V ;) ( 1,8 + ; 1,37 ) x i k x 1,37 m st equção vetoril result em dus equções esclres: 1,37 e Vx 1, 8 +, logo V x 1,8 m/s onsiderndo que o centro de mss d rod reliz um movimento com tretóri circulr, pode-se clculr um velocidde ngulr relciond este, pr tl vmos denominr o centro d tretóri circulr como ponto e escrever: i k V V + ( ) + 1 ( 1,8; ) i 1,8 rd/s Pr determinr celerção ngulr d brr, deve-se repetir o procedimento nterior, ms trblhndo-se com s celerções. + x y 1 m,6 + α 1,37α ( ) α + ( ) (,6 ; ) + 1, (,6 + α ; 1, 37α ) 1,7 m v 1,8 m/s,6 m/s i omo á foi comentdo, o centro de mss d rod se desloc segundo um tretóri circulr, logo podemos ssocir dus componentes de celerção à este movimento: celerção tngencil, representd por x e celerção norml representd por y. celerção norml pode ser determind pel relção: α k y r 1,8 n 1 3,4 m/s Logo, pode-se escrever: 3,4 1,37α α,36 rd/s, o que result em 1,76 m/s. x

10 ( 1,76 ; 3,4) m/s 3,7 (,477 ;,879) m/s 15) Três hstes homogênes D, D e D, cd com 1,8 kg de mss, estão soldds entre si e estão ligds por rticulções D e. Desprezndo s msss de D e, determine forç em cd um ds hstes D e imeditmente depois de o sistem ser solto do repouso n posição ilustrd n figur bixo. Solução: Pelo desenho not-se que o ponto D, que pertence à hste D, reliz um rotção em torno do ponto e o ponto, que pertence à hste, reliz um rotção em torno do ponto. Not-se que os 3 3 pontos D e deslocm-se em tretóris circulres prlels, logo como estes pontos pertencem tmbém o corpo formdo pels três hstes, conclui-se que o movimento relizdo pelo corpo formdo pels hstes D, D e D é um trnslção circulr. D omo s msss ds hstes D e são desprezíveis, not-se que ests hstes são brrs bi-rotulds com forçs gindo pens ns rótuls, logo forç resultnte, em cd um ds brrs, tem direção do eixo geométrico d brr. omo o movimento relizdo pelo corpo (três hstes) é um trnslção, sbe-se que todos os pontos do corpo,4 m,4 m têm necessrimente mesm celerção. Logo, podese definir celerção do centro de mss G trvés d celerção do ponto D ou. Tomndo-se o ponto D, pode-se ssocir o movimento de rotção deste ponto em torno de dus componentes de celerção: celerção tngencil, que vle Dt ( D) α D e celerção norml, que vle Dn D ( D). omo o corpo prte do repouso, velocidde inicil é nul, logo e. D Dn Pr se representr o digrm de corpo livre e o digrm cinético correspondente o problem deve-se loclizr o centro de mss do corpo. omo o corpo é homogêneo e ret verticl pssndo pelo ponto D é um eixo de simetri, deve-se pens loclizr coordend y G. Pr tl dot-se como eixo de referênci o eixo geométrico ds hstes D e D. mi yi, 1,8 y G,67 m, P corpo 3 1,8 9,86 5,95 N mi 3 1,8 Representdo-se os digrms de corpo livre e cinético tem-se,4 m 3 3 D D,67 D G y G 5,95 N 3 6 m t x screvendo-se s equções de movimento correspondentes tem-se y mgy D + 5,95 cos3 D + 45,86 (1)

11 x mgx M G IG α 5,95 sen3 3 1,8 t t 4,9 m/s D sen 3,67 + cos3,4 sen3,67 33,33D + 313,7 D 9, 39 () Substituindo-se () em (1) fic 4,4 N e D 41,4 N

12 16) s extremiddes d brr do mecnismo mostrdo n ig. (1) são confinds se moverem o longo ds tretóris mostrds. Num ddo instnte, tem um velocidde de,4 m/s e um celerção de,9 m/s. Determine velocidde ngulr e celerção ngulr d brr nesse instnte. Solução: O primeiro psso é escrever velocidde do ponto em função d velocidde do ponto. i k V V + ( ) ( ;,4) +,65 1,1 3 o V ( 1,1 ;,4, 65 ) (1) Pelo esquem do problem not-se que o centro de mss d rod reliz um movimento de rotção em torno do ponto, logo pode-se 3 o escrever velocidde do ponto em função do ponto, pr tl deve-se notr que o ponto não mud o longo d tretóri circulr. V i k,4 m/s 1,3 m 1,3 m V V + V ( ) ( 1,1 ;, 65 ) Igulndo-se s expressões (1) e () tem-se 1,1 1, 1 +,65 (),4,65,65,4 1,3 1,846 rd/s 1,846 rd/s O próximo psso é escrever celerção do ponto em função d celerção do ponto. i k + ( ) α + ( ) ( ;,9) +,65 1,1 + ( 1,846) (,65 ; 1,1) α ( ;,9) + ( 1,1α ;,65α ) + (,1 ; 3,8) (,1 1,1α ; 4,7, 65α ) (3) Seguindo o mesmo procedimento dotdo pr velocidde, o próximo psso é escrever celerção do ponto em função d celerção do ponto. i k + ( ) α + ( ) +,65 1,1 + ( 1,846) (,65 ; 1,1) α ( 1,1α ;,65α ) + (,1 ; 3,8) (,1 + 1,1α ; 3,8, 65α ) (4) Igulndo-se s expressões (3) e (4) tem-se α,1 1,1,1 + 1, 1,9 m/s α α α 4,7,65α 3,8,65α 1,3α 8,54 α 6,57 rd/s e α 6,57 rd/s 1,1

13 17) onsiderndo que o bloco desliznte se fixo o disco que tem um velocidde ngulr constnte 4k rd/s, determine velocidde ngulr e celerção ngulr do brço rnhurdo no instnte ilustrdo n ig (). Solução: O primeiro psso é posicionr o sistem de eixos Y fixos e o sistem de eixos móveis. stes sistems estão x indicdos no esquem o ldo. seguir deve-se definir velocidde e celerção do ponto em função do sistem fixo UXY. omo o ponto U é fixo tem-se V U. J I J K V VU + ( U ) disco 3 51, U I X V 7,8I 1J mm/s (1) i y 6 omo o disco tem velocidde ngulr constnte result em α disco. Logo pode-se escrever ( U ) α + ( U ) U + disco disco 4 ( 3 ; 51,96) 48I 831,36J mm/s () O próximo psso é definir velocidde e celerção do ponto em função do sistem móvel xy. i k Vcond V + ( ) dx dy V relt i +, ms no instnte de tempo considerdo o bloco tem velocidde reltiv pens n direção x do dt dt dy dx sistem móvel, logo, o que result em Vrelt i Vrxi. Portnto, velocidde do ponto em relção o dt dt sistem móvel xy pode ser escrit como V Vcond + Vrelt Vrxi Pr que este resultdo poss ser comprdo com expressão (1), deve-se rotcionr quel expressão plicndo-se mtriz de rotção definid seguir. i cosθ senθ i,5, senθ I cosθ J (mm),866 7,8,5 1 com θ 6. i 7,8 119,95 omprndo-se os resultdos d expressão rotciond tem-se V rx 7,8 mm/s e , 95, o que result em,67 rd/s. Definindo-se gor celerção em relção o sistem de referênci móvel xy tem-se i k cond + ( ) α + ( ) ,67 ( 18 ; ) 18α 8,8i α d x d y relt i +, ms no instnte de tempo considerdo o bloco tem celerção reltiv pens n direção x do dt dt d y d x sistem móvel, logo, o que result em i i relt rx. dt dt

14 i k coriolis Vrelt,67 78,45 mm/s 7,8 Logo celerção do ponto em relção o sistem de referênci móvel xy result em cond + relt + coriolis ( rx 8,8) i + ( 18α 78,45) (3) Pr que expressão (3) poss ser comprd com (), deve-se rotcionr últim plicndo mesm mtriz de rotção nterior, ou se i,5,866,866 48,5 831,36 i 479,96 831,36 omprndo-se o resultdo rotciondo com expressão (3) result 479,96 rx 8,8 rx 399,1 mm/s 831,36 18α 78,45 α 3,7 rd/s