Capítulo 6. Leis fundamentais da Mecânica. Recursos com copyright incluídos nesta apresentação:

Transcrição

1 Cpítulo 6 Leis fundmentis d Mecânic Recursos com copyright incluídos nest presentção:

2 Isc ewton ( ) Philosophie turlis Principi Mthemtic (1687) conhecido como Principi: mecânic newtonin lei d grvitção de ewton cálculo diferencil e integrl A obr de ewton foi culminânci de um revolução filosófico-científic que se desenvolveu num período de quse um século e envolveu grndes cientists como Tycho Brhe ( ), Glileu Glilei ( ), René Descrtes ( ), Johnnes Kepler ( ), Pierre ermt ( ) e Gottfried Leibnitz ( ) entre muitos outros.

3 1ª lei de ewton: lei d inérci Inérci é resistênci que os corpos oferecem qulquer lterção n su velocidde. Todo corpo persiste em seu estdo de repouso, ou de movimento retilíneo uniforme, menos que sej compelido modificr seu estdo pel ção de forçs impresss ele. Referencil inercil é quele no qul vlem s leis de ewton, incluindo lei d inérci. Um referencil que estej em repouso ou em movimento retilíneo uniforme em relção às estrels é, com bo proximção, inercil.

4 Medids de forç orçs de contto podem ser medids com o uxílio de um dinmômetro () (b) (c) L o L o+ L L o + L Lei de Hooke: = k L

5 Segund lei de ewton Um objeto é puxdo, sobre um superfície horizontl sem trito, por um forç cuj intensidde (módulo) é medid pelo dinmômetro. Observ-se que su celerção é proporcionl e n mesm direção d forç. Se dois objetos iguis forem puxdos com mesm forç nterior, celerção dos objetos será /, metde d nterior. A celerção de um objeto é proporcionl à forç ele plicd e constnte de proporcionlidde é mss do corpo. Mss é um grndez positiv que quntific inérci do objeto. Mtemticmente: = m

6 Qundo há mis de um forç tundo sobre um objeto, forç que se refere segund lei de ewton é som vetoril de tods esss forçs, denomind forç resultnte ( R ). R i = i m ª lei de ewton pr um corpo sujeito mis de um forç ormulção gerl d ª lei de ewton: d = p dt onde p = mv é o momento liner d prtícul. Assim, dm = v + m dt dv dt Em sistems onde não há vrição de mss (dm/dt = 0), teremos: dv = m = m dt

7 orç peso O peso de um corpo é forç que grvidde d Terr exerce sobre ele. P = onde g é celerção d grvidde, cujo módulo é ddo por g = GM T r G é constnte universl d grvitção M T é mss d Terr r é distânci d prtícul o centro d Terr Próximo à superfície d Terr, r ~ R T e g é considerd constnte: g = 9,8 m/s

8 orç norml Bloco de mss m em repouso poido sobre um superfície pln O bloco não se move, então, pel lei de ewton, = 0 O peso do bloco é compensdo por um forç chmd norml () que superfície exerce sobre o bloco. + = 0 = 0 = neste cso específico. A norml é um forç de contto, sempre perpendiculr à superfície de contto.

9 Terceir lei de ewton: lei d ção e reção Se o corpo A exerce sobre o corpo B um forç BA, o corpo B exerce sobre o corpo A um forç AB. Esss dus forçs são iguis e oposts, ou sej, BA = - AB. Além disso, s dus forçs estão sobre mesm linh de ção. B B BA BA BC AB AB CB A () A AC (b) CA C Qulquer que sej o número de corpos mutumente intergentes, s forçs de interção sempre precerão os pres, como n igur (b).

10 Bloco de mss m sobre um mes - - orçs que tum no bloco: peso () e norml (). Pres de ção e reção ds forçs cim: n Terr (-) e n mes (-) Terr A lei de ção e reção está presente em vários fenômenos do nosso cotidino. Qundo ndmos por exemplo plicmos sobre o chão um forç que tem um componente prlel o chão e pr trás e recebemos do chão um forç que tem um componente pr frente. Qundo lguém está em um brco dentro de um lgo e pux extremidde de um cord cuj outr extremidde está pres à mrgem do lgo recebe um forç que levrá o brco pr mrgem.

11 orç de trito Presente no cotidino sob diverss forms como resistênci do r ou forç que prece entre dus superfícies que deslizm um sobre outr. Bloco de mss m poido sobre um superfície pln As forçs peso () e norml () tum sobre o bloco. Enqunto não tentmos mover o bloco, forç de trito será nul. Se tentrmos mover o bloco plicndo-lhe um forç, superfície exercerá sobre ele um forç de trito, prlel o plno ds superfícies em contto. Se forç não for excessiv, forç de trito compensrá extmente.

12 Enqunto o bloco permnecer prdo, = A forç de trito não pode crescer indefinidmente. Seu vlor máximo é proporcionl à forç norml entre s dus superfícies: µ e onde µ e é o coeficiente de trito estático, um grndez dimensionl crcterístic do pr de superfícies. A forç de trito estático vri de zero o vlor máximo µ e.

13 Cráter microscópico d forç de trito O trito é um forç de nturez eletromgnétic que surge d interção entre os átomos de dus superfícies que entrm em contto. Objetos comuns que precem lisos são rugosos se vistos em escl microscópic. Qundo dus superfícies ficm em contto, crim-se pontos de derênci ou solds, como resultdo d forç trtiv de átomos próximos uns dos outros. A forç norml exercid por um superfície tu trvés dos pontos de contto, onde forç por unidde de áre é muito lt. O umento d forç norml result em um áre microscópic de contto mior. Qundo isto contece, forç de trito ument. Por isto el é proporcionl à forç norml.

14 Exemplo Um cix com mss de 10 kg pói-se em um piso horizontl, e o coeficiente de trito estático entre cix e o piso vle 0,65. Qul é forç horizontl máxim que se pode plicr sobre cix sem que el se mov? orçs que tum n cix: peso (), norml (), forç horizontl e forç de trito ( ). Corpo imóvel = 0 verticl, = 0 = (1) horizontl, = 0 = () µ Sbemos que e (3) (1) e () em (3) : Assim µ µ e e m s m 0, 65 10kg 9,81 = 0, ,81 = 64 s m s

15 Exemplo 6. o exemplo nterior, suponh que forç plicd sobre cix não sej horizontl, ms fç um ângulo de 7 o com est direção. Determine o vlor máximo d forç plicd pr que o corpo não se mov. verticl, Corpo imóvel = 0 horizontl, Como (1) em (3) θ orçs que tum n cix: peso (), norml (), forç e forç de trito ( ). + senθ = 0 = senθ (1) cosθ = 0 = cosθ () µ e de () temos que cos e (cosθ + µ sen θ ) µ 0,65 10kg 9,81 m = 53, 8 (cos7 + 0,65 sen7 ) s e e θ µ (3) µ e cosθ + µ senθ e senθ j cosθ i

16 Um bloco de mss m desliz sobre um superfície pln. A superfície reliz no bloco um forç de trito cinético que pode ser considerd como independente d velocidde: c = µ c onde µ c é o coeficiente de trito cinético entre s dus superfícies. Em gerl, µ c < µ e, ssim forç de trito cinético é menor do que forç de trito estático máxim. Como consequênci, se escorregmos em um rmp, o processo é brusco e já rrncmos com grnde celerção. Devido à diminuição d forç de trito qundo o corpo começ deslizr, os sistems de freio mis vnçdos pr utomóveis têm um dispositivo que liber o freio qundo o crro começ derrpr.

17 Exemplo Considere um bloco poido em um plno inclindo, como mostr igur bixo. Ignorndo o trito entre s dus superfícies, clcule ) celerção do bloco; b) forç que o plno fz sobre o bloco. y x φ orçs que tum no bloco: peso () e norml (). Decompor s forçs o longo dos eixos crtesinos x e y escolhidos. senφ i O bloco se desloc pens o longo de x, ou sej, y =0. Pel lei de ewton (Σ=m): cosφ = 0 = cosφ cosφ j φ senφ = m = gsenφ

18 Exemplo Considere gor que entre s dus superfícies do Exemplo nterior hj um coeficiente de trito estático µ e. Qul é ângulo máximo de inclinção do plno pr que o bloco fique em repouso? y x φ orçs que tum no bloco: peso (), norml () e forç de trito ( ). Decompor s forçs o longo dos eixos crtesinos x e y escolhidos. senφ i O bloco está em repouso, ou sej, x =0 e y =0. Pel lei de ewton (Σ=m=0): cosφ = 0 = cosφ (1) cosφ j φ senφ = 0 Ms e = senφ () µ, de (1) µ cosφ e (3) () em (3) senφ µ e cosφ tgφ µ e Logo tgφ = µ mx e

19 Exemplo Um estrd foi projetd pr os veículos se moverem 100 km/h. Em um curv com rio de curvtur R = 500 m, qul é o ângulo de declive que pist de rolmento deve ter pr dentro pr que o crro poss percorrê-l sem que hj trito lterl entre os pneus e pists de rolmento? orçs que tum no crro: peso () e norml (). y x c O sistem de coordends utilizdo foi escolhido pr que celerção do crro, que é centrípet, fique o longo de um dos eixos, evitndo ter que decompo-l. φ O crro está celerdo pens o longo de x, ou sej, y =0. Pel lei de ewton: cosφ = 0 cosφ = (1) senφ = m () c φ cosφ j c v () /(1): tgφ = tgφ = g Rg senφ i (7,8) m s tgφ = = 0,157 9,81ms 500m φ = 8, 9

20 Exemplo Considere dois corpos de msss m 1 e m sob ção d grvidde e suspensos por um fio sem mss, como mostr figur bixo. Um forç verticl pux os dois corpos pr cim. ) Qul é celerção dos dois corpos? b) Qul é forç de tensão T no fio que une os dois blocos? m 1 g -T T orçs que tum nos corpo de mss m 1 : forç, peso (m 1 g), e tensão do fio (-T) orçs que tum nos corpo de mss m : peso (m g), e tensão do fio (T) Os dois corpos têm mesm celerção (). Aplicndo lei de ewton pr cd corpo seprdmente: m g m1g T = m 1 T = m () (1) (1)+(): ( m1+ m) g = ( m1+ m) (3) em (): m T = m g+ m g ( m1+ m) = g ( m + m ) T = 1 m ( m + m ) 1 (3)

21 Exemplo 6.9 Um cix está sobre um esteir horizontl. O coeficiente de trito estático entre cix e esteir vle µ. Mostre que celerção horizontl máxim que esteir pode sofrer sem que o bloco deslize é µg. orçs que tum n cix: peso (), norml (), forç de trito ( ) A condição pr que cix não deslize é que su celerção sej igul à celerção d esteir. A cix se desloc pens n horizontl, ou sej, x = e y = 0. Aplicndo lei de ewton à cix: = 0 = (1) = m () Ms µ (3) (1) e () em (3): m µ µ g =µ g mx

22 Se el deslizr, celerção d cix será diferente d celerção d tábu e teremos forç de trito cinético entre cix e tábu. Exemplo 6.10 Um cix pói-se sobre um tábu, que por su vez pói-se sobre um mes horizontl. Os coeficientes de trito estático e cinético entre cix e tábu vlem 0,50 e 0,30, respectivmente, e o trito entre tábu e mes é desprezível. A cix tem mss m = 10 kg e tábu tem mss M = 0 kg. Um forç horizontl de módulo igul 00 é plicd sobre tábu, como mostr figur bixo. Clcule s celerções t d tábu e c d cix. 1 orçs que tum n cix: peso (), norml d tábu (), forç de trito ( ) - - Mg orçs que tum n tábu: forç, peso (Mg), norml d cix (-), norml d mes ( 1 ) e forç de trito (- ) lei de ewton pr cix e tábu n horizontl: = m c = M t (1) () Devemos inicilmente descobrir se cix desliz ou não sobre tábu.

23 Se cix não deslizr sobre tábu, su celerção será mesm d tábu (): = m = M (3)+(4): (3) (4) = ( m+ M) 00 m = 6,7 ( m+ M) = 30kg = s m este cso = m = 10kg 6, 7 = 67 s Ms est forç super forç de trito estático máxim entre cix e tábu: m máx, = µ = µ = 0, 50 10kg 9,8 = 49 s Concluimos então que cix desliz sobre tábu. este cso forç de trito, que é cinético, vle: m = µ c = 0, ,8 = 9 (5) s (5) em (1) e () nos fornece s dus celerções t (00 9) m = = = 8, 5 e M 0 kg s c 9 m = = =, 9 m 10 kg s

24 Exemplo 6.11 Qul é intensidde mínim d forç plicd o bloco de mss m d igur bixo cpz de evitr que ele deslize pr bixo, se o coeficiente de trito estático entre o bloco e prede é µ? y x orçs que tum no bloco: forc, peso (), norml () e forç de trito ( ) Decompor s forçs o longo dos eixos crtesinos. -cos 45 o i 45 o sen 45 o j O bloco está em repouso, ou sej, x =0 e y =0. Pel lei de ewton (Σ=m=0): = 0 = (1) + = 0 = Sbemos que µ (3) (1) e () em (3): µ () ( µ + 1) µ + 1 = min µ + 1

25 Exemplo 6.1 Qundo um vião vij com velocidde vetoril constnte n horizontl, sus turbins ou hélices sentem um forç horizontl pr frente. A tução do r no corpo e ss do vião exerce um forç com um componente horizontl pr trz, que é um forç de trito, e outr componente (E) verticl pr cim, que sustent o vião. () Por que o vião não consegue fzer um curv n horizontl sem inclinr s ss? (b) De que ângulo devem s ss ser inclinds pr que o vião relize um curv n horizontl de rio R? y x E c () Porque nesse cso não hveri nenhum forç lterl o vião. (b) Decompor s forçs o longo dos eixos crtesinos escolhidos θ E θ E cosθ j O vião está celerdo pens o longo de x, ou sej, y =0. Pel lei de ewton: Ecosθ = 0 Ecosθ = v Esenθ = mc Esenθ = m R (1) () -E senθ i ()/1): tgθ = v Rg

26 Exemplo 6.13 Um operário us seu próprio esforço brçl pr elevr-se juntmente com su pltform de trblho, como mostr igur bixo. Os cbos e roldn têm pesos desprezíveis, e roldn rod livre de trito. Clcule intensidde ds forçs tundo sobre o operário, roldn e pltform, indicds n figur, qundo o operário, juntmente com pltform, têm celerção cuj componente verticl vle. T 1 T 1 T T 1 Aplicr lei de ewton pr o operário, pltform e roldn seprdmente: T1 + Mg = M T1 = m T T = 0 1 (1) () (3) (1)+(): 1 T ( m+ M) g = ( m+ M) M Mg igur 6.16 T 1 m ( m+ M) T1 = ( + g ) (4) ( M m) (4) em (1): = ( + g ) (4) em (3): T = ( m+ M)( + g)

27 Elevdor subindo com celerção Elevdor descendo com celerção = m = m = m+ = m = m( g+ ) = m( g )

28 Problem 6.7 Um groto nd em um rod gignte de rio R que gir um velocidde ngulr ω. A forç que cdeir fz pr sustentr o groto é vriável durnte o ciclo, e seu vlor máximo é máx. () qul é mss do groto? (b) Qul é o vlor mínimo d forç d cdeir sobre o groto? orç centrípet é forç resultnte. R o topo: Em bixo: P = c = P c = mω R P= c = P+ c = + mω R = ω ( R) = +ω mx = mx e ocorre no ponto mis bixo: = +ω R mx ( ) min ocorre no topo: = m g ω R min ( ) = + mx m g ω R ( R)

29 Problem 6.1 O trito entre os dois blocos mostrdos n igur bixo é nulo ms o bloco grnde tem um celerção tl que mntém o bloco pequeno sem deslizr sobre o outro. () qul é o vlor d celerção sistem? (b) Sendo m mss do bloco pequeno, qul é o módulo d forç de contto entre os dois blocos? y x orçs que tum no bloco de mss m: peso () e norml (). Decompor s forçs o longo dos eixos crtesinos escolhidos φ O bloco está celerdo pens o longo de x, ou sej, y =0. Pel lei de ewton: cosφ j φ cosφ = 0 cosφ = (1) senφ = m () senφ i ()/(1): tgφ = g = gtgφ (3) (3) em (): senφ = tgφ = cosφ

30 Problem Ignorndo qulquer form de trito no sistem mostrdo n igur bixo, ) encontre relção entre s msss m e M pr que o sistem fique em equilíbrio; b) Clcule celerção dos blocos se M = m. Bloco m: T = 0 (1) T T Bloco M: Mg senφ T = 0 () (1) + (): Mg senφ = 0 Mg φ M senφ = m b) Supor que o bloco M desce o plno. orçs que tum no bloco de mss m: peso () e tensão (T). orçs que tum no bloco de mss M: peso (Mg), norml () e tensão (T). ) Sistem em equilíbrio (Σ=0). Aplicr lei de ewton em cd bloco. Bloco m: Bloco M: T = m (1) Mg senφ T = M () (1) + (): Mg sen φ = ( m+ M) = M=m ( M sen φ m) g m+ M = (senφ 1) g 3

31 Problem As esfers vists n igur bixo têm cd um mss m e estão em equilíbrio mecânico. Supondo que não hj trito entre s esfers e nem entre els e cix, identifique tods s forçs que tum sobre s esfers e clcule o seu vlor. Identificr s forçs que tum ns esfers. 3 As esfers estão em repouso, ou sej, =0. Pel lei de ewton (Σ=m=0): - esfer de bixo: = 0 (1) e = 0 () esfer de cim: De (3): = (5) = 0 (3) e 3 = 0 (4) (5) em (4): (5) em (): (5) em (1): 3 = = 1 =

32 Atrito hidrodinâmico e velocidde limite Um corpo que se move no interior de um fluido fic sujeito um forç de trito. Se o corpo e su velocidde não forem muito pequenos, est forç de trito será com bo proximção descrit por 1 = CAρv C é o coeficiente de rrste, ou coeficiente de penetrção erodinâmic. A é áre de corte frontl do objeto, ou sej, su seção ret. ρ é densidde do fluido. o cso do r, ρ =1,3 kg m -3

33 Corpos em qued n tmosfer ficm sujeitos dus forçs, seu peso e forç de trito do r, est últim contrári seu deslocmento. A equção de movimento do corpo se escreve n form m = m = CAρv 1 A equção cim mostr que um corpo em qued n tmosfer qundo prte do repouso (v = 0) tem inicilmente celerção igul g. À medid em que su velocidde cresce, forç de trito ument de intensidde e com isso celerção do corpo diminui. Cheg um ponto em que o corpo tinge denomind velocidde limite, n qul forç de trito hidrodinâmico neutrliz extmente o peso do corpo: 1 0 = CAρv lim v = lim CAρ

34 Exemplo 6.15 Um pár-quedist cuj mss é de 60 kg slt de um párqueds cuj áre frontl é de 0 m. O coeficiente de rrste do pár-queds vle 1,4 densidde do r é 1,3 kg m -3. Qul é velocidde limite d pár-quedist? v lim = CAρ 60kg 9,8m s vlim = = 3 1,4 0m 1,3kg m 5,7 m/s