VETORES. Problemas Resolvidos
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- Heitor Sabala Corte-Real
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1 Prolems Resolvidos VETORES Atenção Lei o ssunto no livro-teto e ns nots de ul e reproduz os prolems resolvidos qui. Outros são deidos pr v. treinr PROBLEMA 1 Dois vetores, ujos módulos são de 6e9uniddes de omprimento, formm um ângulo de () 0, () 60, () 90, (d) 150, e (e) 180. Determine o módulo d som desses vetores e direção do vetor resultnte om relção o menor vetor. SOLUÇÃO Sej 6 e 9 e vmos esolher direção O n direção e no sentido do vetor. NFigur1,, represent som dos vetores e, é o ângulo entre esses vetores e é direção d resultnte om relção vetor (menor vetor). De ordo om o que vimos em lsse, som de dois vetores, em termos ds omponentes, pode ser esrit omo, i j de onde podemos lulr direção de emrelçãooeioo, usndo epressão tg rtg Como direção de O oinide om direção do vetor, o ngulo é tmém o ângulo entre o vetor resultnte eo vetor, que o prolem pede. Com se n figur, vmos lulr o vetor resultnte e su direção em relção pr d um dos sos mostrdos. θ = 60º α = 0º α α () () () θ = 90º j i θ = 150º α α = 180º (d) (e) Figur 1 Representção geométri de () Componentes: 6, 9 0, i 10, 5 i 3 3 j 15 0º () Componentes: Prof. Dr. Arhm Mosés Cohen Deprtmento de Físi 1
2 Universidde Federl do Amzons os0º 6, os60º 9 0, 5 4, 5 sen 0º 0, sen60º 9 3 7, 8 6 4, 5 10, 5 0 7, 8 7, 8 10, 5 i 7, 8 j 10, 5 i 7, 8 j 10, 5 7, 8 13, 1 rtg 7, 8 10, 5 37º () Componentes: 6, os90º 0 0, sen90º i 9 j 6 i 9 j , 8 rtg 9 56º 6 (d) Componentes: 6, os150º 9 3 7, 8 0, sen150º 9 0, 5 4, 5 6 7, 8 1, 8 0 4, 5 4, 5 1, 8 i 4, 5 j 1, 8 i 4, 5 j 1, 8 4, 5 4, 8 rtg 4, 5 1, (e) Componentes: 6, os180º , sen180º i 3 i 3 180º PROBLEMA Clule o ângulo entre dois vetores, de módulos iguis 10 e 15 uniddes de omprimento, nos sos em que som desses vetores é () 0 uniddes de omprimento e () 1 uniddes de omprimento. Desenhe um figur proprid. SOLUÇÃO Sej 10 e 15, e o ângulo entre os dois vetores que queremos lulr. Vmos esolher o Nots de Aul de Físi I Vetores - Prolems Resolvidos
3 Universidde Federl do Amzons eio O n direção e sentido do vetor, de modo que 10 e 0. Assim 10i 10 i j 15 i j () 0 () 1 () Neste so, 0 e, portnto, , Assim, sustituindo os vlores n últim equção, enontr-se D equção 5, podemos enontrr. Ou sej, , , 1 14, 5 Assim, temos dois vetores que stisfzem s ondições do prolem: 1 3, 75 i 14, 5 j 3, 75 i 14, 5 j Pr lulr o ângulo entre os dois vetores, st lulr o ângulo entre o vetor eoeioo. Assim, 1 rtg 14, 5 3, 75 75, 5º rtg 14, 5 3, 75 75, 5º θ 1 θ () = 0 Figur Soluções pr 0. () Fç este ítem, seguindo o mesmo proedimento de (). Prof. Dr. Arhm Mosés Cohen Deprtmento de Físi 3
4 Universidde Federl do Amzons PROBLEMA 3 Dois vetores formm um ângulo de 110. Um dos vetores é de 0 uniddes de omprimento e fz um ângulo de 40 om o vetor resultnte d som dos dois. Determine o módulo do segundo vetor e do vetor som. SOLUÇÃO Vmos supor que e que 0, fzendo um ângulo 40º om o vetor resultnte. Esolhendo o eio O n direção e sentido do vetor então o ângulo entre o vetor eesteeiovle110º (o mesmo que entre e. α = 40º θ = 110º Cálulo do módulo do vetor ds omponentes: Figur 3 D mesm form, é o ângulo entre o vetor eoeioo (Figur 3). Em termos os0º 0 os110º 0, , 34 sen 0º 0 sen110º 0, 94 0, , 34i 0, 94 j Pr 40º, e omo semos que tg tg40 0, , 34 0, , 34 tg40º ou (tg40º 0, 84) 0, , 34 0, 84 0, 94 0, 9 16, 8 13, 7 queéomódulo do vetor. Cálulo do módulo do vetor som Pr lulr o módulo do vetor, st usr su representção 0 0, 34i 0, 94 j pr 13, 7. Assim, 0 0, 34 13, 7 i 0, 94 13, 7 j 15, 3 i 1, 9 j 15, 3 1, 9 0 PROBLEMA 4 O vetor resultnte de dois outros é de 10 uniddes de omprimento e form um ângulo de 35 om um dos vetores omponentes, que é de 1 uniddes de omprimento. Determine o módulo do outro vetor e o ângulo entre os dois. SOLUÇÃO Sej e 10. Vmos esolher 1 eoeioo n direção e sentido deste vetor. Assim, o vetor resultnte fz um ângulo 35 om o vetor e, por onstrução, om o eio O. D mesm form, éo ângulo entre e e tmém o ângulo entre eoeioo (direção de (Figur 4). As omponentes desses vetores são : os0º 1 os os 1 os sen 0 0 sen sen sen 1 osi sen j Nots de Aul de Físi I Vetores - Prolems Resolvidos 4
5 Universidde Federl do Amzons α = 35º θ =? Figur 4 Cálulo do ângulo entre os vetores e lulr sus omponentes, ou sej, Ms, omo onheemos o módulo edireçãode, podemos os35º 10 0, 8 8, sen , 57 5, 7 8, i 5, 7 j Comprndo om outr epressão de, otemos 1 os 8, sen 5, 7 8, 1 os sen 5, 7 3, 8 tg sen os 5, 7 3, 8 5, 7 3, 8 1, 5 ou rtg 1, 5 13, 7º Cálulo do módulo do vetor Com o ângulo gor podemos lulr usndo epressão pr 1 osi sen j 1 0, 55i 0, 83 j Como semos que 10, então 1 0, 55 0, e dí podemos lulr o módulo de. Ou sej, 1 0, 55 0, , 55 0, , 99 13, 44 0 Est equção do segundo gru tem dus iguis, 6, 7 queéomódulo do vetor, que prourmos. PROBLEMA 5 Determine o ângulo entre dois vetores, de 8 e 10 uniddes de omprimento, qundo o vetor resultnte fz um ângulo de 50 om o vetor mior. Clule, tmém, o módulo do vetor resultnte. SOLUÇÃO Fç este prolem; é similr o nterior. PROBLEMA 6 A resultnte de dois vetores é de 30 uniddes de omprimento e form, om eles, ângulos de 5 e 50. Determine os módulos dos dois vetores SOLUÇÃO Resolv este prolem; é similr os nteriores. Prof. Dr. Arhm Mosés Cohen Deprtmento de Físi 5
6 Universidde Federl do Amzons PROBLEMA 7 Determine s omponentes ortogonis de um vetor de 15 uniddes de omprimento que form um ângulo, om o eio O, positivo, de () 50, () 130, ) 30 e (d) 310. SOLUÇÃO Deido pr v. treinr. PROBLEMA 8 Três vetores de um mesmo plno, têm, respetivmente 6, 5 e 4 uniddes de omprimento. O primeiroeosegundo formm um ângulo de 50, enqunto que o segundo eotereiroformmumângulo de 75. Determine o módulo edireçãodresultntereltivmenteomiorvetor. SOLUÇÃO Vmos onsiderr que d, onde 6, 5 e 4, eomesolhdoeioo n direção e sentido do vetor, s direções desses vetores são: 0, 50º e 75 50º 15º (Figur 5). d = º 50º α =? θ = 50º Figur 5 As omponenentes desses vetores podem então ser lulds: os0º 6 os 5os50 3, os 4os15º. 3 sen 0 0 sen 5sen50º 3, 8 sen 4sen15º 3, 3 d 6 3,, 3 6, 9 d 0 3, 8 3, 3 7, 1 d 6, 9i 7, 1j Módulo do vetor resultnte A prtir de d 6, 9i 7, 1j, o módulo de d pode ser filmente luldo, d d d 6, 9 7, 1 9, 9 Direção do vetor resultnte A direção do vetor d é dd por tg d 7, 1 d 6, 9 1, 0 rtg1, 0 45º PROBLEMA 9 São ddos qutro vetores oplnres, de 8, 1, 10 e 6 uniddes de omprimento, respetivmente; os três últimos fzem, om o primeiro, os ângulos de 70, 150 e 00, respetivmente. Determine o módulo e direção do vetor resultnte SOLUÇÃO Este prolem é semelhnte o nterior. Resolv. PROBLEMA 10 Prove que, se som ediferençdedoisvetoressãoperpendiulres, os dois vetores têm Nots de Aul de Físi I Vetores - Prolems Resolvidos 6
7 Universidde Federl do Amzons módulos iguis. SOLUÇÃO Vmos denotr por s e d osvetoressomediferençdedoisvetorese quisquer, respetivmente, e esolher o eio O n direção e sentido de. Assim, o ângulo entre os vetores e dá tmém direção do vetor. Sej o ângulo entre os vetores som, s, e diferenç, d, ujs direções são dds por s e d, respetivmente (Figur 6). d φ s α s θ α s α d Figur 6 Vmos lulr s omponentes desses vetores no sistem O: os 0 sen s s s d d d D Figur 6, semos que d s d s Tomndo o seno de mos os memros n epressão pr, enontr-se sen sen d s sen d os s sen s os d Ms, sen s s s os s s s, sen d d d os d d d Então sen Agor vmos onsiderr ondição de perpendiulridde entre os vetores s e d, epress por 90º (ou rd). Então, lemrndo que sen90º 1, enontr-se Prof. Dr. Arhm Mosés Cohen Deprtmento de Físi 7
8 Universidde Federl do Amzons 1 Fzendo o produto e simplifindo o resultdo, enontr-se 1 ou, (ompnhe uiddosmente s pssgens seguintes): onde usmos. Logo 0 qd. Oservção Est solução torn-se muito mis simples om o uso de outrs proprieddes dos vetores que veremos mis trde (produto eslr). PROBLEMA 11 Ddos os vetores 3i 5j, i 4j lulr: () o módulo edireçãodovetorsom;() o módulo edireçãoddiferenç-. SOLUÇÃO Como onheemos s projeções dos vetores, ou sej, 3, 5 1, 4 podemos representá-los no sistem O (Figur 7). Nots de Aul de Físi I Vetores - Prolems Resolvidos 8
9 Universidde Federl do Amzons d 3-1 s θ s -1 θ d -5-5 s = + d = - Figur 7 () Módulo e direção do vetor som Denotndo o vetor som por s, então s 3 1 s s 1 5, 4 tg s s s 1 s 6, 6º () Módulo e direção do vetor diferenç As omponentes do vetor diferenç d são d d d , 8 tg d d d 9 4 s 66, 0º Prof. Dr. Arhm Mosés Cohen Deprtmento de Físi 9
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