UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA POLITÉCNICA

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1 UNVERSDDE DE SÃO PULO ESOL POLTÉN Deprtmento de Engenhri de Estruturs e Geotécnic URSO ÁSO DE RESSTÊN DOS TERS FSÍULO Nº 5 Flexão oblíqu H. ritto.010 1

2 FLEXÃO OLÍU 1) udro gerl d flexão F LEXÃO FLEXÃO SPLES (, V) (V 0 (V 0 excêntrics) Flexão pur) FLEXÃO OPOST (, V, N) trção ou compressão RET OLÍU (FS.. R.) RET OLÍU (F. S. O.) (F.. R.) (F.. O.) ) Flexão Simples Oblíqu flexão é dit oblíqu qundo há momento fletor tundo nos dois plnos principis d vig. De cordo com figur 5-1, e pelo Princípio d Superposição dos Efeitos, tem-se: σ onde o sinl ( ) é um sinl corretivo, pr levr em cont o fto de que, pr um momento 0 < 0. >, hverá trção nos pontos de bsciss negtiv ( )

3 Figur 5 1 Pr chr equção d linh neutr () bst fer σ 0, obtendo: ( tg β) Ou sej, linh neutr é um ret que pss pelo centróide d seção e tem inclinção dd pelo ângulo β, cuj tngente trigonométric vle (figur 5-1): tg β ( tg α) Verific-se que α β, isto é, o vetor momento resultnte não é prlelo à linh neutr, como n flexão ret. Entretnto, qundo, tem-se α β, o que signific que flexão é ret, e não oblíqu (pois neste cso qulquer eixo centrl é principl de inérci). Observção: demonstr-se que num mesm fibr, prlel à linh neutr, tensão σ é constnte e dd por (figur 5-): σ t

4 Figur 5 expressão cim é um generlição d que lhe corresponde n flexão ret. Nel (figur 5-1): cos( α β) é projeção do momento resultnte n direção d linh neutr, e seção trnsversl em relção à linh neutr: o momento de inérci d cos β sen β e t cosβ senβ é distânci d fibr té linh neutr, conforme figur 5- ( distânci t pode ser clculd por meio ds ordends e de um ponto qulquer d fibr). ssim, os pontos mis solicitdos d seção são queles mis fstdos d linh neutr, ou sej, o ponto (máxim trção) e o ponto (máxim compressão). demonstrção d fórmul em questão se encontr no nexo. Exemplos de plicção 1º exemplo) Pr vig d figur 5-, chr o vlor d dimensão. tensão dmissível do mteril vle: σ σ σ 15 kgf / cm. Desprer o peso d vig (Prof. Diogo) T

5 Figur 5 Resolução: α 5 o q L 8 0 ( 500) 8 cosα sen α kgf cm ( ) ( ( ) 1 1 ( ) σ ( 1) ( ) σ Equção d ( 0) 1 σ : tg β 0,... β 18, 5 o Pel posição d linh neutr, os pontos mis solicitdos são o ponto (máxim compressão) e o ponto (máxim trção). Pr o ponto podemos escrever: 5

6 cm Observção: Um cálculo lterntivo pode ser feito, como vimos, com o uso d fórmul σ t n qul: cos ( α β) kgf cm. cos β sen β ( pt ) t cosβ sen β 0, Logo: σ t cm º exemplo) Pr vig d figur 5-, chr o vlor d dimensão. tensão dmissível do mteril vle: σ σ σ 900 kgf / cm. Desprer o peso d vig. T Figur 5 6

7 Resolução: seção em questão não tem nenhum eixo de simetri. Portnto, o primeiro psso é chr os eixos centris principis de inérci. om relção o sistem uxilir de eixos ( ω, k), temos: ( ) ω 0, ( ) 1 k 0, ( ) 1 ω k 0, om bse nesss grndes uxilires, os momentos centris principis são: 5 1 6, ( ) , ( ) Os eixos centris principis de inérci são ddos por: ω 1 tgθ1 0, 0776 θ1 16, 850º ωk ω tgθ, 0776 θ 7, 1550º ωk N figur 5- estão indicdos os eixos centris principis. O momento fletor máximo vle: ( 00) kgf cm O ângulo que define direção do vetor momento, em relção o sistem principl, é: α 180 θ1 16,155º s componentes do vetor momento, no sistem principl, são: cos α kgfcm senα kgfcm 7

8 om os elementos já obtidos, temos tensão norml n seção: σ σ inclinção d linh neutr, em relção o sistem principl, é dd por (figur 5-): tg β ( tg α) , β 61, 850º Pel inclinção d L.N. vemos que os pontos mis solicitdos são o ponto (máxim trção) e o ponto (máxim compressão). É fácil verificr, tmbém, que o ponto pertence à linh neutr. Lembrndo que: Vêm: ωcos θ k cosθ 1 1 ω k k senθ ωsenθ ( ) 1 1 0, ω 0, 8978 k 0, k 0, 8978 ω 0, , ω k 0, , 5167 ω k ( ) 0, 87 0, 815 donde se obtêm s tensões nos vértices d seção: σ 0, σ e σ gulndo tensão em à tensão dmissível, vem, finlmente: cm 8

9 Observção: É surpreendente que, no sistem uxilir ( ω, k) neste cso. O sistem (, k), expressão d tensão fique bem mis simples ω é um sistem centrl, embor não sej o principl. Então, de cordo com o nexo, considerndo o primeiro nível de simplificção, e pós lgums pssgens lgébrics, chegmos à fórmul: σ ( ω k) com qul fic bem mis fácil chr linh neutr e s tensões nos vértices, e. ) Flexão compost oblíqu crescentndo forç norml o estudo nterior, tem-se flexão compost oblíqu. Princípio d Superposição dos Efeitos, podemos escrever: Pelo σ N Observção: expressão que fornece tensão norml é muito simples, qundo se us o sistem centrl principl. Em gerl, pr um sistem de referênci qulquer, fórmul é bstnte mis complicd (v. nexo ). Equção d linh neutr ( σ 0) : N η ( tg β) sendo: N η ordend do ponto em que cort o eixo verticl G (note-se que presenç d forç norml não lter inclinção d linh neutr, só f com que el se desloque, prlelmente si mesm). so prticulr: undo s forçs cortntes vlem ero, os momentos são constntes, e flexão compost oblíqu recebe o nome de trção ou compressão excêntric oblíqu. Há excentricidde ns dus direções principis. 9

10 Exemplo de trção excêntric oblíqu Pr seção trnsversl d figur 5-5, submetid um forç de trção excêntric, cujo vlor é P N, chr linh neutr e s tensões normis extrems. Resolução: Figur 5 5 álculos preliminres indicm posição do sistem centrl principl (, ) n figur 5-5. s crcterístics geométrics d seção trnsversl são s seguintes: 10

11 . 160 cm, cm, cm Os momentos fletores são: 6P N cm 0P N cm direção do momento resultnte se clcul como: tgα 5 α 58,690º (terceiro qudrnte) tensão n seção é dd por: N σ Equção d linh neutr ( σ 0 ): η 5 ( tgβ) β,170 º N figur 5-5 se mostr linh neutr. Pel posição d L.N., os pontos mis solicitdos são o ponto (máxim trção) e o ponto (máxim compressão). Esss tensões vlem: σ σ ( 18) ( 5). 50 N cm / ( 0) ( 5) N cm / 11

12 NEXO Demonstrção d fórmul σ t om bse ns figurs 5-1 e 5-, podemos escrever: tgβ ( tgα) tgβ tgα cos α cosβ senα senβ cosα cosβ cosα cosβ senα cosαcosβ senαsenβ senβ cos β sen β senα cosαcosβ senαsenβ cos senβ cos β sen β ( α β) cosα cos cosβ ( α β) ( i ) Por outro ldo, como foi visto: σ cosα ( tgβ) cosα cosα σ ( i i ) cosβ cosβ ( cosβ senβ) ( t ) ntroduindo ( i ) em ( i i ) vem, finlmente: ( α β) ( ) t t cos σ c.q.d. 1

13 NEXO Estudo d flexão num referencil qulquer mginemos um sistem de referênci centrdo num ponto O qulquer, com eixos e, não necessrimente eixos principis (o eixo pr esquerd e o eixo pr bixo). Sej o cmpo de tensões ddo pel função liner (combinção d hipótese de Nvier com lei de Hooke): σ D onde s constntes, e D devem ser determinds, por meio ds condições de equivlênci estátic entre s tensões e os esforços solicitntes: ( ) ( ) D( ) N σd ( σd) ( ) ( ) D( ) ( σd) ( ) ( ) D( ) Ns expressões cim o elemento de áre d está situdo no primeiro qudrnte, conforme figur 5-6. olocndo em form de mtries: Figur 5 6 1

14 1 N D Resolvendo, vêm: ( ) ( ) ( ) N ( ) ( ) ( ) N ( ) ( ) ( ) N D undo os eixos são centris, os momentos estáticos se nulm, e os coeficientes ficm: ( ) N ( ) ( ) ( ) ( ) D Finlmente, qundo os eixos são os centris principis, o momento centrífugo tmbém se nul, lém dos momentos estáticos, e os coeficientes ssumem form mis simples possível: ( ) N N ( ) ( ) D