Física III Escola Politécnica Prova de Recuperação 21 de julho de 2016

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1 Físic III Escol Politécnic Prov de Recuperção 21 de julho de 2016 Questão 1 A cmd esféric n figur bixo tem um distribuição volumétric de crg dd por b O P ρ(r) = 0 pr r < α/r 2 pr r b 0 pr r > b, onde constnte α > 0 e r é distânci té o centro O d distribuição () (0,5 ponto) Clcule crg elétric totl d distribuição (b) (1,0 ponto) Clcule o vetor cmpo elétrico em todo o espço (c) (1,0 ponto) Considere o potencil nulo no centro O d distribuição Usndo o cmpo elétrico, clcule o potencil num ponto P um distânci r do centro O (região < r < b) 1

2 Solução d questão 1 () A crg totl é Q = ρdv = b α r 2 4πr2 dr = 4πα(b ) (b) Por simetri, o cmpo elétrico é rdil: E = E(r) r A lei de Guss, usndo um superfície esféric S concêntric com distribuição, fornece S E da = Pr r <, q in = 0 = E = 0 S E(r)dA = 4πr 2 E(r) = q in ǫ 0 = E(r) = q in 4πǫ 0 r 2 Pr r > b, q in = Q = 4πα(b ) = E = α(b ) ǫ 0 r 2 Pr r b, q in = q in (r) = r α r 2 4πr2 dr = 4πα(r ) = E = E = 0 pr r < α ǫ 0 ( 1 r ) r pr r b r 2 α(b ) ǫ 0 r 2 r pr r > b α(r ) = α ( 1 ǫ 0 r 2 ǫ 0 r ) r 2 (c) N região r < o cmpo é nulo Portnto, o potencil é constnte e igul V O = 0 Como o potencil é contínuo, V(r = ) = V O = 0 O potencil n região r b pode ser clculdo prtir do cmpo: r V(r) = r E(r)dr = α ǫ 0 ( 1 r [ ( )dr = αǫ0 r ln r )+ ] 2 r 1 2

3 Questão 2 Em um cilindro condutor infinito de rio, visto em corte trnsversl n figur, densidde de corrente é dd por J(r) = αr k, onde r é distânci té o eixo do cilindro (eixo z) y R Q J z O P x () (0,5 ponto) Clcule corrente totl que trvess seção trnsversl do condutor (b) (1,0 ponto) Clcule o vetor cmpo mgnético totl em todo o espço (c) (1,0 ponto) Determine integrl de linh do cmpo mgnético o longo do trecho PQR, no sentido indicdo n figur

4 Solução d questão 2 () A corrente que pss trvés de um nel de rio r e lrgur dr d seção é O r dr di = J d A = (αr)(2πrdr) A corrente trvés de tod seção é I totl = 0 αr2πrdr = 2παr 0 = 2πα (b) O cmpo mgnético é clculdo trvés d lei de Ampère, C B d l = µ 0 I int O cmpo tem simetri cilíndric: B = B(r) θ Usndo um círculo C de rio r, coxil com o fio, obtemos B d l = C C B(r)dl = 2πrB(r) = µ 0 I int = B(r) = µ 0I int 2πr, onde I int é corrente trvés do disco de rio r com bord C Pr r <, I int = I(r) = r 0 αr2πrdr = 2παr = B(r) = µ 0 2παr 2πr = µ 0αr 2 Pr r >, I int = I totl Assim, B(r) = µ 0I totl 2πr = µ 0 2πα 2πr = µ 0α r Portnto, B = µ 0 αr 2 µ 0 α r θ pr r < θ pr r > (c) Como o cmpo B é perpendiculr os segmentos OP e RO, PQR B d l = OPQRO B d l = µ 0I totl 4 = µ 0πα 6, onde usmos lei de Ampère pr clculr integrl sobre o percurso OPQRO 4

5 Questão Um espir qudrd de ldo, percorrid por um corrente I, pode girr livremente em torno do eixo z conforme figur Cd trecho d espir está numerdo de 1 4 Sej θ o ângulo que o trecho 1 fz com o eixo x N região onde se encontr espir existe um cmpo mgnético uniforme B = Bĵ y z 4 B 1 I 2 θ θ x () (1,5 ponto) Clcule s forçs F 1, F 2, F, F 4 em cd trecho d espir (b) (1,0 ponto) Clcule o torque sobre espir 5

6 Solução d questão () Como B é uniforme, s forçs sobre os trechos 1, 2, e 4 d espir são dds por F 1 = I( d l) B = I l 1 B = I(cosθî+ senθĵ) Bĵ = IBcosθ k, 1 F 2 = I( d l) B = I l 2 B = I( k) Bĵ = IBî, l 1 = l = F = F 1 = IBcosθ k, l 2 = l 4 = F 4 = F 2 = IBî 2 (b) O momento de dipolo mgnético d espir é µ = IA, onde A é o vetor áre com direção d norml determind pelo sentido d corrente No nosso cso A = 2 n = 2 (senθî cosθĵ) Assim, τ = µ B = I 2 (senθî cosθĵ) Bĵ = I 2 Bsenθ k Solução lterntiv: Note que s forçs F 1 e F formm um binário, ssim como s forçs F 2 e F 4 Portnto, o torque independe do ponto em relção o qul ele é clculdo Clculndo o torque em relção o eixo z, F1 e F não contribuem porque são prlels o eixo z F4 não contribui porque está plicd sobre o eixo z Assim, τ = r 2 F 2 = (cosθî+ senθĵ) ( IBî) = I 2 Bsenθ k 6

7 Questão 4 Um ond pln monocromátic tem comprimento de ond λ e período T N origem O de um sistem de coordends crtesins o módulo do cmpo elétrico dest ond se nul no instnte t = 0 e tinge seu vlor máximo E m no instnte T/4 O cmpo elétrico dest ond oscil o longo do eixo y e o cmpo mgnético oscil o longo do eixo x () (1,5 ponto) Escrev s expressões pr os vetores cmpo elétrico e mgnético dest ond Expresse su respost em função de λ, E m e d velocidde d luz c (b) (1,0 ponto) Clcule energi por unidde de tempo que trvess s áres A 1 e A 2 mostrds n figur Ests áres são qudrdos de ldo L z L x L A 2 O A 1 L y 7

8 Solução d questão 4 () Adireçãodepropgçãodondémesmdoproduto E B = Eĵ Bî = EB k, ou sej ond se propg n direção negtiv do eixo z [ ] 2π E = E m cos(kz +ωt+φ)ĵ = E m cos (z +ct)+φ ĵ, λ onde usmos k = 2π/λ, ω = kc = 2πc/λ Cálculo d fse φ: E(0,0) = 0 = E m cos(φ) = 0 = φ = ±π/2 ( ) πct E(0,T/4) = E m = E m cos 2λ +φ = E m E m cos( π 2 +φ) = E = φ = π/2 m Portnto, [ 2π E = E m cos λ (z +ct) π 2 B = E [ m 2π c cos λ (z +ct) π 2 ] [ 2π ĵ = E m sen λ ] î = E m c sen [ 2π λ ] (z +ct) ĵ, ] (z +ct) î (b) A energi por unidde de tempo por unidde de áre é dd pelo vetor de Poynting: S = 1 [ ] E B E 2 = m 2π sen 2 (z +ct) k µ 0 cµ 0 λ A energi por unidde de tempo trvés d áre A 1, dotndo norml n direção k e colocndo z = 0 é du dt A1 = S da = S A1 = E2 ml 2 sen 2 cµ 0 [ ] 2πct λ A energi por unidde de tempo trvés d áre A 2 é zero porque S d A em A 2 8

9 E da = q B int, V B V A = ǫ 0 I = Formulário J d A, V = RI, P = VI = I 2 R = V 2 dv = 4πr 2 dr, Φ B = τ = µ B, d B = µ 0I 4π B d A, A d l ˆr r 2, E d l, V = 1 dq 4πǫ 0 r, E = V, R, F = q E +q v B, B d A = 0, d F = Id l B, µ = I A, F l = µ 0I 1 I 2 2πr, B d l = µ 0 I int, E = E m cos(kx±ωt+φ)ê y, B = Bm cos(kx±ωt+φ)ê z, k = 2π λ, ω = 2π, kc = ω, T f = 1/T, S 1 = E B, S = uc, u = ue +u m = ǫ 0E 2 + B2, I =< S >= E mb m, µ 0 2 2µ 0 2µ 0 9