v é o módulo do vetor v, sendo

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1 Geometri nlític e álculo Vetoril Nots de ul Prof. Dr. láudio S. Srtori Operções com Vetores no Espço R 3 : Representção: Determinção dos ângulos,, : rc rc rc Representção dos ângulos no espço R 3 : Representção: ˆ j ou (,, ) ou O O : omponente do etor n direção O. : omponente do etor n direção O. : omponente do etor n direção O. Lembre-se que pr encontrr o ângulo em grus o modo que se dee trblhr n clculdor é deg (de degree ) e se quiser operr em rdinos, rd. relção entre um ângulo medido em gru e um ângulo medido em rdino é dd por: Importnte: é um etor, por tnto possui módulo direção e sentido. é o módulo do etor, sendo portnto um número. Produto Esclr entre dois etores: Representção: Lê-se: Produto esclr entre os etores e Definição: O Produto esclr entre dois etores é um número que represent projeção de um etor n direção de outro etor: Versores: î,, ĵ ˆk,,,, Mostrmos em ul que: Podemos encontrr o ângulo entre os etores por meio d equção: rc Módulo do etor: Modo ngulr n clculdor:

2 Geometri nlític e álculo Vetoril Nots de ul Prof. Dr. láudio S. Srtori plicções: Trblho de um forç: O trblho de um forç, o deslocr um corpo de um posição r outr r no espço o longo de um trjetóri é ddo por: F dr Qundo forç é constnte o longo dess trjetóri, sendo d o deslocmento sofrido pelo corpo:. Proprieddes: F d Potênci de um forç: P F i ˆ i ˆ i ˆ k ˆ k ˆ nˆ ; onde nˆ (Normlição de um etor). Mostre que: Produto Vetoril entre dois etores: Representção: Lê-se: Produto etoril entre os etores e Definição: O Produto etoril entre dois etores é um etor que possui direção perpendiculr o plno formdo pelos etores e, cujo ângulo le e cujo módulo é igul áre formd pelo prlelogrmo de ldos e : θ h sen Mostrmos em ul que: Podemos encontrr o módulo do etor que é origindo pelo produto etoril dos etores etores e : plicções: sen Torque ou Momento de um forç plicd num ponto em relção um ponto O: M O O F F O. Forç mgnétic sobre um prtícul de crg q que penetr num região de mpo Mgnético Uniforme. Forç de Lorent: F qe q q E Proprieddes: ˆ ˆ ˆ ˆ j ˆ i ˆ k k k i m m

3 Geometri nlític e álculo Vetoril Nots de ul Prof. Dr. láudio S. Srtori Produto misto de três etores: O Produto misto entre os etores, e é um número cujo lor é o olume do prlelepípedo formdo pelo comprimento dos respectios etores. Interpretção Geométric: Notção: Funções com lores Vetoriis: Se D é um conjunto de números reis, então, r ( t)ˆ i ( t) ( t) é um função com lores etoriis pr um ddo t rel. Se t é o tempo, denominmos o etor deslocmento: r ( t)ˆ i ( t) ( t) trjetóri de um prtícul pr esse etor deslocmento é união de todos os etremos desses etores pr todo instnte de tempo t. sen O etor elocidde instntâne é um etor tngente à trjetóri e é ddo por: ( t) dr ( t) d Obsere que: d d d d d O etor celerção instntâne é ddo por: d r d d d ( t) ( t) Obsere que: d d d

4 Geometri nlític e álculo Vetoril Nots de ul Prof. Dr. láudio S. Srtori Eercícios de plicção: Desenolidos em ul Em cd ilustrção, encontre o que se pede:. (d) D 98.7 e D :59.8. O e O : 9 () D (b) D. O ponto está m do chão. (c) D (d) D e D. 3 O eo. O (,, );(-4,, 5); (,, 3.6);D(-4,, -4.8) D D 4,, 4.8,, 4,, 4.8 4,,5,, 4,,5,,3.6,,,,3.6 () D () (b) (c) 3. e. O eo. D i ˆ ˆ j ˆ 4 4 k D 396i ˆ 79. k ˆ (b) D 368i ˆ 63. 3k ˆ (c) D 34 () (b) (c)

5 Geometri nlític e álculo Vetoril Nots de ul Prof. Dr. láudio S. Srtori e. O eo () (b) (c) (g) E e. O eoe. () (b) (c) (g) 7. e. O eod. 5. () (b) (c) (g) D 6. e. O eo. () (b) (c)

6 Geometri nlític e álculo Vetoril Nots de ul Prof. Dr. láudio S. Srtori (g) D E e. OE eof () (b) (c). () (b) (c) 9. O rio do disco é 5cm. () (b) (c) () (b) (c)

7 Geometri nlític e álculo Vetoril Nots de ul Prof. Dr. láudio S. Srtori () O O (b) O O () (b) (c)o O (d) O O (c) 3. (d) O O 5. () (b) () (b) D (c) (d) O O (c) (g) D E e. OE eof.

8 Geometri nlític e álculo Vetoril Nots de ul Prof. Dr. láudio S. Srtori 6. () (b) (c) 8. 7 () (b) (c) (g) D E e. OE eo. () (b) (c) () (b) (c) (d) O O.

9 Geometri nlític e álculo Vetoril Nots de ul Prof. Dr. láudio S. Srtori PROLEMS Prte Eercícios de treinmento 8 Problem São ddos os etores: u 3ˆ i ˆ i 5 r ˆ i 3 s 4ˆ i 8 Determine: () u 3 (b) u (c) u ( u ) (d) (e) (f) (g) (h) u 3r u r s r u s r u s r u () (b) (c) (d) O O. Problem São ddos os etores: e 4 3k ˆ i 3 5ˆ i 3 Verifique s proprieddes: i. ii. iii. m m i.. i. Problem 3 Encontre os ângulos entre os etores: () e. (b) e. (c) e. r ( t) Problem 4 Sej: (9 4t)ˆ i ( 4 6t) (3 3t) : () (b) (c) (d) O O () Encontre os etores: r () ; r () e r (). (b) Esboce os etores: r () ; r () e r (). (c) Encontre os etores

10 Geometri nlític e álculo Vetoril Nots de ul Prof. Dr. láudio S. Srtori 9 () ; () e (). Problem 5 Sej: r ( t) t sentj ˆ bt, com e b constntes. () Fç o trçdo de r (t) completndo tbel bio: t r (t) /4 / 3 /4 5 /4 (b) Esquemtindo cur que represent trjetóri, união de ários pontos etremos do etor r (t), dd pr = e b = /3, teremos: t r (t) Indique os etores d tbel n figur que represent trjetóri. ( t) c) lcule o etor elocidde instntâne seus módulos. instntâne pr os instntes d tbel e d) Determine o etor celerção ( t) d tbel e seus módulos. pr os instntes Indique os etores d tbel n figur que represent trjetóri. 5 Problem 6 Um prtícul de crg q penetr num região onde há um cmpo elétrico N E 3ˆ i 4 6, e um cmpo mgnético.ˆ i.4 T. F Encontre relção se elocidde dest q prtícul é de ˆ i. m s Problem 7 Sej r t t ( ) (8 t ). () Fç o trçdo de r (t) completndo tbel seguir:

11 Geometri nlític e álculo Vetoril Nots de ul Prof. Dr. láudio S. Srtori Prte Trblho. Problem - Ddos os etores P = 3i - j + k, Q = 4i + 5j - 3k e S = -i + 3j - k, clcule os produtos esclres P Q, P S e Q S. Problem - lcule o produto esclr P P e utilie o resultdo obtido pr pror identidde: ( ) sen sen (b) projeção sobre d forç plicd pelo cbo Problem 8 - Sbendo que forç de trção no cbo D é de 8 N, determine: () o ângulo entre D e o mstro e (b) projeção sobre d forç eercid pelo cbo D no ponto. P P Problem 3 - Três cbos são utilidos pr sustentr um recipiente, como ilustrdo. Determine o ângulo formdo pelos cbos e D. Problem 4 - Três cbos são utilidos pr sustentr um recipiente, como ilustrdo. Determine o ângulo formdo pelos cbos e D. Problem 5 - O tubo pode deslir o longo do eio horiontl. Os etremos e do tubo estão ligdos o ponto fio por meios de elásti. N posição correspondente = 8 mm, determine o ângulo formdo pêlos dois elásti () usndo o produto esclr entre etores propridos. (b) plicndo lei dos co-senos o triângulo. Problem 9 - Ddos os etores P = 3i - j + k, Q = 4i + 5j - 3k e S = -i + 3j - k, clcule: () (Q S) (b) (P Q) S (c) (S Q) P. Problem - Ddos os etores P = 4i - j + 3k, Q = i + 4j - 5k e S = si - j + k, determinr o lor de s pr o qul os três etores são coplnres. Problem - Sbendo que forç de trção no cbo é de 57 N, determine o momento, em relção cd um dos eios coordendos, d forç plicd no ponto 6 d plc. Problem - Sbendo que forç de trção no cbo é de 65 N, determine o momento d forç plicd no ponto d plc, em relção cd eio coordendo. Problem 6 - Resol o Problem 3.3 qundo = mm. Problem 7 - Sbendo que forç de trção no cbo é de 6 N, determine: () o ângulo entre o cbo e o mstro e

12 Geometri nlític e álculo Vetoril Nots de ul Prof. Dr. láudio S. Srtori Problem 3 - Um pequeno brco pende de dois suportes, um dos quis é mostrdo n figur. Sbese que o momento, em relção o eio, d forç resultnte R plicd no ponto do suporte não dee eceder o lor de 7 N m, em lor bsoluto. Determine o mior lor possíel d forç de trção no cbo D qundo =,46m. t r (t) /4 / 3 /4 5 /4 (b) Esquemtindo cur que represent trjetóri, união de ários pontos etremos do etor r (t), dd pr = e b = /3, teremos: Problem 4 - om referênci o Prob. 3.38, determine o mior lor de comptíel com um forç de trção de 4 N no cbo D. Problem 5 - Um forç únic P tu no ponto em um direção perpendiculr o cbo d mniel d figur. Sbendo que M = N m, M = 8,75 N m e M =3 N m, determine o módulo de P e os lores de e. Problem 6 - Um únic forç P tu no ponto em um direção perpendiculr o cbo d mniel d figur. Determine o momento M de P em relção o eio, qundo = 7, sbendo que M = - N m e M = -37,5 N m. Problem 7 Sej: r ( t) sent bt, com e b constntes. () Fç o trçdo de r (t) completndo tbel bio: Indique os etores d tbel n figur. Problem 8 Determine elocidde etoril (t), se r ( t) sent bt represent etor posição de um prtícul em moimento. Problem 9 Um prtícul de crg q penetr num região onde há um cmpo N elétrico E 3ˆ i 4 6, e um cmpo mgnético.ˆ i.4 T. F Encontre relção se q elocidde dest prtícul é de ˆ i 5. m s Problem Sej o etor posição de um prtícul ddo por: r ( t) t sentj ˆ trjetóri dess prtícul está indicd n figur. () lcule o etor elocidde instntâne ( t) e t 3 = 4 s, e tmbém seus módulos. pr os instntes t = s, t = s o

13 Geometri nlític e álculo Vetoril Nots de ul Prof. Dr. láudio S. Srtori ( t) módulos. (b) Determine o etor celerção instntâne pr os instntes ddos e seus Referêncis: Mecânic Vetoril pr Engenheiros Estátic, Ferdinnd P. eer, E. Russell Johnston Jr., Mkron ooks. Swokowski, V II.