Física IV Escola Politécnica GABARITO DA P1 2 de setembro de 2014

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Dalila da Cunha
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1 Física IV Escola Politécnica GABARITO DA P1 de setembro de 014 Questão 1 Aplica-se uma ddp v(t) = V sen(ωt) nos terminais de um circuito constituído em série por um indutor de indutância L, um capacitor com capacitância C e uma resistência R. (a) (1,0 ponto) Determine a amplitude da voltagem V C nos terminais do capacitor em termos de V, L, ω, R e C. (b) (1,0 ponto) Determine o valor da capacitância para a qual a amplitude da voltagem V C nos terminais do capacitor é máxima. (c) (0,5 ponto) Determine o valor da capacitância para a qual a amplitude da corrente no circuito é máxima. 1

2 Solução da questão 1 (a) A impedância do circuito é Z = R + A amplitude da corrente no circuito é ( Lω 1 ). Cω I = V Z = V ( R + Lω 1 ). Cω A amplitude da voltagem V C nos terminais do capacitor é V C = I Cω = V ZCω = V C ω R +(CLω 1). (b) V C é máximo quando o argumento da raiz quadrada na expressão para V C no item (a) for mínimo. d[c ω R +(CLω 1) ] dc = Cω R +(CLω 1)Lω = 0 = C = L R +L ω. (c) Usando a expressão para I no item (a) vemos que seu valor máximo ocorre quando Z é mínimo (ressonância). Lω 1 Cω = 0 C = 1 Lω.

3 Questão Um gerador de CA de frequência angular 500 rd/s alimenta um dispositivo A em série com um capacitor de 0 µf. No dispositivo A a voltagem está adiantada de θ radianos em relação à corrente no circuito. A tensão no gerador cujo valor eficaz é de 00 V está em fase com a corrente. A corrente eficaz no circuito é de A. A 500 rd/s 00 V 0 µ F A (a) (1,0 pontos) Determine a potência média fornecida pelo gerador e a tensão eficaz no capacitor. (b) (1,0 ponto) Faça um diagrama indicando claramente os fasores das tensões e da corrente. Determine a tensão eficaz no dispositivo e o sua defasagem θ em relação à corrente. (c) (0,5 ponto) Escreva a expressão da tensão no capacitor em função do tempo (adote fase inicial nula para a corrente). Dado: 1 µf = 10 6 F. 3

4 Solução da questão (a) Potência média no circuito P = VI = 00 = 400W. Tensão eficaz no capacitor (b) Diagrama de fasores eficazes V C = X C I = I ωc = (500)( ) = 00 V. V θ A 00 V 00 V Tensão eficaz no dispositivo V = = 00 V Do diagrama obtemos tanθ = = 1 = θ = π 4 (c) Tensão instantânea no capacitor onde t é em segundos e v em volts. v C (t) = 00 ( cos 500t π ), 4

5 Questão 3 Uma onda eletromagnética plana monocromática com comprimento de onda λ, propagandose no vácuo no sentido negativo do eixo x, incide perpendicularmente sobre uma superfície metálica perfeitamente refletora, conforme a figura. y E i incidente condutor refletida x z (a) (1,0 ponto) Escreva a expressão do vetor campo elétrico incidente E i, em termos de sua amplitude E 0 e do comprimento de onda λ, sabendo que o campo oscila ao longo da direção y e que asssume seu valor máximo em x = 0 no instante t = 0. Determine o campo magnético da onda incidente B i a partir de E i. (b) (0,5 ponto) Determine o vetor campo elétrico da onda refletida E r a partir do fato de que o campo elétrico total se anula na superfície do metal. Determine o vetor campo magnético da onda refletida B r a partir de E r. (c) (1,0 ponto) Calcule a pressão de radiação P rad exercida pela onda sobre a superfície metálica perfeitamente refletora. 5

6 Solução da questão 3 (a) A expressão do campo elétrico é [ ] π E i (x,t) = E 0 cos λ (x+ct) ĵ, onde usamos k = π/λ, ω = πc/λ e E i (0,0) = E 0. O campo magnético da onda refletida é dado por B i (x,t) = ( î) E i (x,t) c = E [ ] 0 π c cos λ (x+ct) k. (b) Na superfície do condutor, temos para todo t E i (0,t)+ E r (0,t) = 0 o que implica [ ] π E r (x,t) = E 0 cos λ (x ct) ĵ, O campo magnético da onda refletida é B r (x,t) = î E r (x,t) c = E [ ] 0 π c cos λ (x ct) k. (c) A pressão de radiação sobre a superfície completamente refletora do metal é P rad = < S > c = < E ib i > µ 0 c = < E i > µ 0 c = E 0 µ 0 c = ǫ 0E 0, onde usamos < cos [ π λ (x ct) ] >= 1/. 6

7 Questão 4 O campo elétrico de uma onda eletromagnética no vácuo é dado por E = E x î+e y ĵ com E x = E 1 cos[ωt β(x+y)], E y = E cos[ωt β(x+y)], onde E 1, E, β e ω são constantes positivas. O valor máximo atingido pelo módulo do campo elétrico E = E x +E y é E 0. (a) (0,5 pontos) Use a forma diferencial da lei de Gauss para determinar E 1 e E em termos de E 0. (b) (1,0 ponto) Sabendo que o campo elétrico satisfaz a equação de onda tridimensional, determine a constante β em termos da velocidade da luz no vácuo c e ω. (c) (1,0 ponto) Use a forma diferencial da lei de Faraday para determinar o campo magnético associado ao campo elétrico dado em termos de E 0, ω e da velocidade da luz no vácuo c. 7

8 Solução da questão 4 (a) Lei de Gauss E = E x x + E y y = ( E 1 +E )βsen[ωt β(x+y)] = 0. Logo, E 1 = E = E 1 +E = E 0 (b) Equação de onda tridimensional E 1 c E t = ) ( β + ω E = 0. c Portanto, β = ω c (c) Lei de Faraday B t = E = î ĵ k x y z = E x E y 0 Integrando, ( ) B = k E0 β cos[ωt β(x+y)] = ω k ( Ey x E ) x k = k E0 βsen[ωt β(x+y)]. y ( E0 c ) [ ( cos ω t x+y )] c 8

9 Formulário Z = R +(X L X C ), X L = ωl, X C = 1 ωc, tanφ = X L X C R I qm = Im, P med = 1 V mi m cosφ, E d A = q int, B d A ǫ = 0, 0 E d A, I = B d d l = µ 0 I+µ 0 ǫ 0 dt, V m = ZI m, V qm = Vm, E d l = d dt B d A, J d A, E = ρ ǫ 0, B = 0, E = B t, B = µ 0 J+µ0 ǫ 0 E t, E = µ0 ǫ 0 E t, B = µ0 ǫ 0 B t, c = 1 µ0 ǫ 0, E = cb, E = E m cos(kx±ωt+φ)ê y, B = Bm cos(kx±ωt+φ)ê z, k = π λ, ω = π. kc = ω, T S = 1 µ 0 E B, S = uc, u = ue +u m = ǫ 0E + B µ 0, I =< S >= E mb m µ 0, < cos (kx ωt+φ) >= 1/, P rad = I c (reflexão total) e P rad = I c (absorsão total). Para um campo vetorial R(x,y,z,t) = Rx (x,y,z,t)î+r y (x,y,z,t)ĵ+r z (x,y,z,t) k temos R = R x x + R y y + R î ĵ k z z ; R = x y z ; R R = x + R y + R z. R x R y R z 9

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