Eletromagnetismo II. Prof. Daniel Orquiza. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Eletromagnetismo II. Prof. Daniel Orquiza. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho"

Estela Back Vilarinho
5 Há anos
Visualizações:

1 Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

2 Profundidade Pelicular e Teorema de Poyinting (Capítulo 11 Páginas 384 a 394) Profundidade Pelicular Teorema de Poyinting Eletromagnetismo I 6 Prof. Daniel Orquiza

3 Profundidade pelicular Profundidade pelicular (skin depth) é a profundidade da penetração de uma onda EM num meio condutor. Para levar em conta a absorção num condutor, temos que incluir a corrente de condução nas Eqs. de Maxwell. No caso de um dielétrico a parte imaginária de ε contribui para a corrente de condução. E = jωµ H (L. Faraday) H = ( σ + jωε) E (L. Ampère) Aplicando o rotacional na L. de Faraday, e usando uma identidade vetorial: E = jωµ H ( E ) 2 E = jωµ ( σ + jωε) E

4 Profundidade pelicular Para meios sem cargas, podemos ignorar o primeiro termo da eq. anterior. A Eq. resultante é a Eq. vetorial de Helmholtz. A constante de propagação complexa γ é então definida como: Onde γ possui parte real e imaginária. Onde α é a constante de atenuação e β é a constante de propagação (real) ou constante de fase. 2 E jωµ ( σ + jωε) E = 0 γ 2 = jωµ ( σ + jωε) γ = α + jβ

5 Profundidade pelicular Da definição de γ, podemos escrever que a parte real de γ 2 é: Por outro lado, o valor absoluto de γ 2 é: Re{ γ 2 } = α 2 β 2 = ω 2 µε γ 2 = α 2 + β 2 = ωµ σ 2 + ( ωε) 2 (1) (2) Somando as duas expressões anteriores, temos: α = ω 2 2 µε σ ωε Subtraindo (1) de (2), temos: β = ω 2 2 µε σ ωε

Profundidade pelicular Além disso, é possível mostrar que para um meio com condutividade não nula a impedância intrínseca é: Que para σ = 0 se torna (µ/ε) 1/2 η =

6 Profundidade pelicular Além disso, é possível mostrar que para um meio com condutividade não nula a impedância intrínseca é: Que para σ = 0 se torna (µ/ε) 1/2 η = jωµ σ + jωε Para uma onda Plana Uniforme se propagando em z e polarizada ao longo de x: E(z,t) = E 0 e αz cos ωt βz ( )â x e H(z,t) = Re E 0 η e αz cos( ωt βz)â y

7 Profundidade pelicular No caso de condutores perfeitos (σ = ), ou de um bom condutor (σ 10 7 ), temos: σ ωε >>1 De forma que as constantes α e β podem ser simplificadas. α = β = ωµσ 2 = π f µσ A impedância intrínseca, para bons condutores, fica: η = jωµ σ O que implica que o campo elétrico está adiantado com relação ao magnético em 45º, num bom condutor.

8 Vetor de Poyinting e profundidade pelicular Profundidade pelicular A profundidade pelicular δ de um meio material é a profundidade em que a onda EM cai de um fator de e -1 do seu valor na interface do material. Pela definição acima, temos: E 0 e αz = E 0 e αδ = E 0 e 1 0,37E 0 De onde δ pode ser calculado: δ = 1 α = 2 ωµσ = 1 π f µσ O gráfico ao lado ilustra a posição, ao longo de z, em que a amplitude cai de e -1.

Profundidade pelicular Percebe-se que quanto maior a frequência, menor a profundidade

Utilizando δ é possível definir a resistência superficial de um condutor em altas

Sabemos que a resistência em corrente contínua pode ser calculada por Em frequências

9 Profundidade pelicular Percebe-se que quanto maior a frequência, menor a profundidade pelicular (menor a penetração da onda no condutor. Utilizando δ é possível definir a resistência superficial de um condutor em altas frequências. Sabemos que a resistência em corrente contínua pode ser calculada por Em frequências alternadas, a Resistência superficial é a resistência para 1m de comprimento e 1m de largura do condutor. R S = 1 σδ = π f µ σ R cc = l σ S. Considerando que a profundidade de penetração da corrente é a profundidade do pelicular. δ w l

10 Profundidade pelicular Devido ao efeito pelicular, a resistência aumenta com o aumento da frequência. A tabela abaixo mostra a profundidade pelicular do cobre para diferentes frequências.

11 Teorema de Poyinting O teorema de Poyinting e o teorema de conservação de energia Eletromagnética, que inclui a irradiação de ondas EM. Para derivar este teorema, partimos das Eqs. de Maxwell. Tomando o produto escalar da L.F. com H, temos: E = µ H t ( ) = H µ H H E Tomando o produto escalar da L.A. com E, temos: Subtraindo (2) de (1): H = σ E +ε E t E H t ( ) = σ E 2 + E ε E H ( E ) E ( H ) = 1 2 µ H 2 t t 1 2 ε E 2 t (1) (2) σ E 2 (3)

12 Teorema de Poyinting Podemos usar a seguinte igualdade vetorial para simplificar a expressão anterior: A B Aplicando esta igualdade no lado esquerdo de (3), temos o teorema de Poyinting na forma diferencial. ( ) = B ( A ) A ( B ) ( E H ) = 1 2 µ H 2 t 1 2 ε E 2 t σ E 2 O teorema de Poyinting pode ser melhor compreendido na forma integral, onde consideramos um volume finito e integramos a Eq. anterior. V E H ( ) dv = t 1 2 εe µh 2 dv σ E 2 dv V V

13 Teorema de Poyinting Utilizando o teorema do divergente (Gauss), chegamos em: " ( E H ) d S = t S Onde o integrando do lado esquerdo da Eq. é o vetor de Poyinting na forma instantânea: S = E H S aponta na direção perpendicular a E e a H. 1 2 εe µh 2 dv σ E 2 dv V V S aponta na direção de propagação da onda EM (direção do vetor de onda).

14 Teorema de Poyinting O Teorema de Poyinting é o teorema da conservação da Energia EM. " ( E H ) d S = t S O Teorema de Poyinting estabelece que: 1 2 εe µh 2 dv σ E 2 dv V V A potência que deixa o volume V através de sua superfície fechada S é igual à: Taxa de variação temporal (diminuição sinal) da energia elétrica e magnética armazenada menos a potência ohmica dissipada.

15 Vetor de Poyinting médio Considerando uma onda EM, polarizada em x, que se propaga em z, onde: E(z,t) = E 0 e αz cos( ωt βz)â x e H(z,t) = E 0 e αz cos( ωt βz θ)â x Para campos senoidais, o vetor de Poyinting médio <S > pode ser calculado integrando através do vetor de Poyinting instantâneo. Pode se mostrar que <S > é: S = 1 T T S(z, t)dt 0 S = 1 2 Re E H * { } fasores

16 Vetor de Poyinting médio A potência média transportada por uma onda EM que atravessa uma superfície S é: P média = S S d S Radiação Eletromagnética S

Documentos relacionados

Eletromagnetismo II. Prof. Daniel Orquiza. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

Eletromagnetismo II. Prof. Daniel Orquiza. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Onda Plana Uniforme no espaço livre (Capítulo 11 Páginas 375 a 384) Onda Plana Uniforme em dielétricos com