Eletromagnetismo II. Prof. Daniel Orquiza. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

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1 Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza de arvalho

2 Lei de Ampère e orrente de Deslocamento (apítulo 9 Páginas 284 a 288) orrente de Deslocamento Lei de Ampère para campos variáveis no tempo Eletromagnetismo I 2 Prof. Daniel Orquiza

3 A L.A. tal como vimos na magnetostática ainda é válida para campos variáveis no tempo. H d l = J d " = I env Na prática isso significa que H, ao longo do caminho vai ter a mesma dependência temporal que I. Exemplo: se a corrente total que atravessa for: I env (t) = I 0 sen ωt ( ) O campo H em um ponto ao longo do caminho será: H(x, y, z,t) = H x, y, z ( )sen ωt ( ) H 1

4 Em outras palavras, instantaneamente, a circulação de H ao longo de é igual à corrente envolvida. e I aumenta de t 0 até t, a circulação de H (e portanto H) aumentará proporcionalmente. A corrente J é uma corrente de condução e está associada ao movimento de cargas livres. H Maxwell introduziu um termo adicional à L.A. Este termo é necessário para que a L.A. esteja de acordo com a Eq. da ontinuidade de carga. (ver pag do Hayt) 2

5 O termo introduzido por Maxwell é a corrente de Deslocamento I D : J D = D I D = J D d = Onde é a densidade de corrente de deslocamento. A Lei de Ampère na sua forma completa ou final fica: H d l = J d " + Para entender porque este termo adicional é necessário, vamos considerar o exemplo de um capacitor ligado a uma fonte de corrente alternada. D D d I D d J D 3

6 Na magnetostática, a L.A. é satisfeita para qualquer superfície envolvida por um caminho amperiano. 1 2 Isto também deve ser válido para correntes variáveis no tempo. e escolhermos a superfície 1, a L.A. (convencional) é válida: " H(t) d l = I(t) No entanto não passa corrente de condução I através de 2. Por outro lado, há E(t), e portanto D(t), entre as placas do capacitor. Portanto em 2 é válido: H(t) d l = " 2 D(t) I d I 4

7 A Lei de Ampère na forma diferencial para o caso da eletrodinâmica fica: Nesta versão da L.A., pode haver circulação de H mesmo na ausência de correntes. " H = J + D H d l = A corrente de deslocamento, associada a um campo elétrico variável no tempo, gera circulação de H. D d Nesta forma, a L.A. é dual com relação à Lei de Faraday. J D Ao contrário da Lei de Faraday, não há sinal negativo (associado à Lei de Lenz) do lado direito da L.A. 5

8 onsideremos um caminho amperiano envolvendo uma superfície. A ausência do sinal negativo significa que.: D e o fluxo de D aumenta no tempo => a circulação de H é no sentido anti-horário. e o fluxo de D diminui no tempo => a circulação de H é no sentido horário. " H d l = D d A variação de um campo no tempo, gera o outro H H 6

9 7

10 A L.A. na sua forma original não é compatível com a continuidade de carga. Para ver isso usamos: H = J E aplicamos o divergente em ambos os lados: ( ) = J H Mas o div do rot de qualquer vetor é zero. Por outro lado, pela Eq. da ontinuidade: J = ρ v Assim, segundo a L.A. sem J D, o divergente de J é zero o que não é verdade se tivermos densidades de carga variando no tempo em um ponto. 7

11 ubsituindo a Lei de Gauss na forma diferencial: ρ v = D, Na Eq. da ontinuidade (e invertendo a ordem do divergente com a derivada no tempo): J = D = J D Portanto a L.A. com a dens. de corrente de deslocamento satisfaz a Eq. Da ontinuidade, para ver isso partimos de: H = J + D 8

12 E tomamos o divergente dos dois lados da L.A. com J D : H Invertendo a ordem do divergente com a derivada no tempo: Usando a Lei de Gauss novamente: ( ) = 0 = J + 0 = J + ( D ) 0 = J + ρ v O que nos leva de volta à Eq. da ontinuidade: D J = ρ v 9

13 Exemplo Uma fonte de tensão A com amplitude igual a 5V e frequência f = 300kHz é conectada a um capacitor de placas paralelas. e o capacitor tem área A = 50 cm 2, distância entre as placas d = 0,1 mm e permissividade relativa ε r = 2,2: (a) Verifique que a corrente de deslocamento no capacitor é igual à corrente de condução no fio. (b) Determine a intensidade do campo magnético a uma distância de 1mm do fio.

14 Exemplo 1 2 i + v _