NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO

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Micaela Balsemão Rosa
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1 UNIVESIDADE FEDEAL DE CAMPINA GANDE CENTO DE ENGENHAIA ELÉTICA E INFOMÁTICA NOTAS DE AULA DE ELETOMAGNETISMO Prof. Dr. Helder Alves Pereira Outubro, 2017

2 - CONTEÚDO DAS AULAS NAS TANSPAÊNCIAS - 1. Estágio I 1. Campos eletrostáticos (Teste I). 2. Campos elétricos em meio material (Teste II). 2. Estágio II 1. Problemas de valor de fronteira em eletrostática (Teste III). 2. Campos magnetostáticos (Teste IV). 3. Estágio III 1. Forças, materiais e dispositivos magnéticos (Teste V).

3 - CONTEÚDO DAS AULAS NAS TANSPAÊNCIAS - 1. Estágio I 1. Campos eletrostáticos (Teste I). 2. Campos elétricos em meio material (Teste II). 2. Estágio II 1. Problemas de valor de fronteira em eletrostática (Teste III). 2. Campos magnetostáticos (Teste IV). 3. Estágio III 1. Forças, materiais e dispositivos magnéticos (Teste V).

4 CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS - TÓPICOS DAS AULAS - 1. Introdução. 2. Lei de Biot-Savart. 3. Lei circuital de Ampère (3ª equação de Maxwell). 4. Densidade de fluxo magnético (4ª equação de Maxwell). 5. Equações de Maxwell no regime estático. 6. Potenciais magnéticos escalar e vetorial. 7. Solenóides e toróides.

5 Introdução Uma ligação definitiva entre campos elétricos e campos magnéticos foi estabelecida por Oersted em Um campo eletrostático é gerado por cargas estáticas ou estacionárias. Se as cargas estão se movimentando com velocidade constante, um campo magnético estático é gerado. Um campo magnetostático é gerado por um fluxo de corrente constante, ou corrente contínua.

6 Existem duas leis fundamentais que governam os campos magnetostáticos: 1. Lei de Biot-Savart: Lei geral da magnetostática. 2. Lei de Ampère: Um caso especial da lei de Biot-Savart e se aplica em problemas envolvendo distribuição simétrica de corrente.

7 Lei de Biot-Savart A intensidade do campo magnético dh, gerada em um ponto P, devido ao elemento diferencial de corrente Idl, é aproximadamente igual a dl a Idlsen a dh» 2 I dh X P Figura 1

8 Ou ainda Idlsen a dh k 2 onde k representa a constante de proporcionalidade, que no SI é igual a Portanto 1 4p dh Idlsen 4 p 2 a

9 Na forma vetorial, temos que d Id l â Id l 2 3 H 4 p 4 p Da mesma maneira que podemos ter diferentes configurações de carga, podemos ter diferentes distribuições de corrente, tais como: 1. Corrente em uma linha. 2. Corrente em uma superfície. 3. Corrente em um volume.

10 Os elementos-fonte estão relacionados da seguinte forma: Id l º K ds º J dv Figura 2

11 Dessa forma, em termos de fonte de corrente distribuída, a lei de Biot-Savart se torna dv J H K ds H l Id H p p p Corrente em uma linha Corrente em uma superfície Corrente em um volume

12 Exercícios 1. Determine o campo magnético no ponto P devido a uma corrente que percorre um condutor filamentar retilíneo de comprimento finito AB. 2. Determine o campo magnético no ponto P devido a uma corrente que percorre um condutor filamentar retilíneo de comprimento semi-infinito. 3. Determine o campo magnético no ponto P devido a uma corrente que percorre um condutor filamentar retilíneo de comprimento infinito.

13 Lei circuital de Ampère A integral de linha da componente tangencial do campo magnético em torno de um caminho fechado é igual à corrente líquida envolvida pelo caminho, ou seja, H d l L I env É similar à lei de Gauss e é de fácil aplicação para determinar o campo magnético quando a distribuição de corrente for simétrica.

14 Aplicando o teorema de Stokes, temos que L æ ö d l ç Ñ H d S I env è ø S S H J d S Portanto 3ª equação de Maxwell na forma diferencial. Ñ H J O campo magnetostático não é conservativo.

15 Exercícios 4. Determine o campo magnético considerando uma corrente percorrendo uma linha infinita. 5. Determine o campo magnético considerando uma corrente distribuída ao longo de uma superfície infinita. 6. Determine o campo magnético considerando uma corrente distribuída ao longo de uma linha de transmissão infinitamente longa.

16 Densidade de fluxo magnético H B µ 0 µ 0 representa a permeabilidade magnética do espaço livre, sendo igual a 4π x 10-7 H/m. O fluxo magnético, através da superfície S é dado por Y B d S S onde Ψ é dado em Weber (Wb) e B em Wb/m² ou Tesla (T).

A linha de fluxo magnético é o caminho, na região do campo magnético, em relação ao qual o vetor densidade de fluxo magnético é tangente em cada ponto.

17 A linha de fluxo magnético é o caminho, na região do campo magnético, em relação ao qual o vetor densidade de fluxo magnético é tangente em cada ponto. É sempre válida a afirmação de que as linhas de fluxo magnético são fechadas e não se cruzam, independente da distribuição de corrente. Isto se deve ao fato de que não é possível ter um pólo magnético isolado, ou seja, cargas magnéticas. Figura 3

18 Dessa forma, o fluxo total, através de uma superfície fechada em um campo magnético, deve ser zero, isto é, S B d S 0 Aplicando o teorema da divergente, temos que S Ñ B d S B 0 v æ ç è Ñ B ö dv ø 0 4ª equação de Maxwell Lei da conservação do fluxo magnético ou Lei de Gauss para campos magnetostáticos

19 Equações de Maxwell no regime estático Ñ Ñ Ñ Ñ D B E H Û Û Û r Û D d S r dv v v 0 0 J S S B d L E d L S l H d l 0 0 v S J d S Lei de Gauss Não existe monopólo magnético Campo eletrostático conservativo Lei Ampére de

20 Potenciais magnéticos escalar e vetorial Identidades importantes: ö Ñ æ ç Ñ Vm 0 è ø æ ö Ñ çñ A 0 è ø V m representa o potencial magnético escalar A representa o potencial magnético vetorial

21 O potencial magnético escalar é definido como H -ÑV se Ñ H J m Da mesma forma, V m também satisfaz a equação de Laplace 0 " B 0 " V ( ) V ( 0, J 0 O potencial magnético vetorial é tal que B Ñ A

22 Sabendo-se que µ Id l' B 0 3 4p L onde é a distância do elemento de corrente, no ponto fonte, até o ponto onde se quer determinar o campo, conforme ilustrado na figura 4 (x, y, z ) Idl r o r (x, y, z) Figura 4

23 Considerando que temos que B - æ -Ñ 1 3 ç è µ 4 L Aplicando a identidade vetorial 0 p Id l ö ø æ ' Ñç è 1 ø ö æ Ñ ç è f F ö ø f Ñ F æ + ç Ñ f è ö ø F

24 Obtemos Dessa forma, ø ö ç ç ç è æ Ñ Ñ L Id l A B ' 4 0 p µ v S L dv J A K ds A Id l A ' 4 ' 4 ' p µ p µ p µ Corrente em uma linha Corrente em uma superfície Corrente em um volume

25 Para o fluxo magnético, temos que ø ö ç è æ Ñ Y L S S l d A d S A d S B

26 Exemplos típicos de solenóides Solenóides e toróides Figura 5

27 Exemplos típicos de solenóides Figura 7 Figura 6 Figura 8

28 Exemplos típicos de toróides Figura 9 Figura 10 Figura 11

29 Exercícios 7. Um solenóide de comprimento l e raio a consiste de N espiras de fio percorridas por uma corrente I. Demonstre que, em um ponto P ao longo do seu eixo, H NI 2l ( cosq 2 - cosq 1 ) â z 8. Um toróide tem N espiras e é percorrido por uma corrente I. Determine a intensidade do campo magnético dentro e fora do toróide. 9. Uma distribuição de corrente dá origem a um potencial magnético vetorial igual a (x²y, xy², -4xyz) Wb/m. Calcule a) O vetor densidade de fluxo magnético no ponto (-1, 2, 5). b) O fluxo através da superfície definida por z 1, 0 x 1, -1 y 4

30 eferências SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetismo. 5ª edição Editora Bookman.

31 - CONTEÚDO DAS AULAS NAS TANSPAÊNCIAS - 1. Estágio I 1. Campos eletrostáticos (Teste I). 2. Campos elétricos em meio material (Teste II). 2. Estágio II 1. Problemas de valor de fronteira em eletrostática (Teste III). 2. Campos magnetostáticos (Teste IV). 3. Estágio III 1. Forças, materiais e dispositivos magnéticos (Teste V).

32 UNIVESIDADE FEDEAL DE CAMPINA GANDE CENTO DE ENGENHAIA ELÉTICA E INFOMÁTICA NOTAS DE AULA DE ELETOMAGNETISMO Prof. Dr. Helder Alves Pereira Outubro, 2017

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