Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRJ Departamento de Engenharia Elétrica Formulário de Teoria Eletromagnética I

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1 Universidade Federal do io de Janeiro UFJ Departamento de Engenharia Elétrica Formulário de Teoria Eletromagnética I Prof. ntonio Lopes de oua, Ph.D. - Distância entre dois pontos (,, ) e (,, ): d = ( - ) + ( - ) + ( - ) NLIE VETOIL - Vetor dirigido do ponto (,, ) para o ponto (,, ): ( - )a + ( - )a + ( - )a 3- Vetor unitário e módulo de um vetor: a a a a a 4- Produto escalar entre dois vetores epressos em coordenadas cartesianas: a a a e a a a. cos onde é o ângulo entre os dois vetores 5- Produto vetorial entre dois vetores a N a a a e a a a sin a N onde a N é o vetor unitário normal ao plano formado pelos vetores e cujo sentido é dado pela regra do parafuso da mão direita (o sentido de movimento de um parafuso girado com a mão direita). a a a 6- Elementos diferenciais de ume dv = ddd (cartesianas) dv = ddd (cilíndricas) dv = r sindrdd (esféricas) ELETOTÁTIC 7- Lei de Coulomb QQ F a (N), onde 8,854 F/ m, é a distância entre as cargas e a N é o vetor 4 unitário dirigido da carga provoca a força para a carga sobre a qual age a força. lei de Coulomb descreve forças de interação mútua, ou seja, a força que a primeira carga provoca sobre a segunda é igual e contrária àquela que a segunda provoca sobre a primeira.

2 8- Campo elétrico da carga pontual Q E a (V/m), onde Q é a carga fonte do campo elétrico e os outros elementos da equação se 4 encontram definidos na fórmula Campo elétrico de um sistema de N cargas pontuais N Q E a m (V/m), ou seja, o campo total é a soma dos campos provocados por cada carga m 4 m do sistema, agindo isoladamente. - Campo da linha infinita de cargas L E a (V/m), onde L é a densidade linear de cargas na linha infinita, é a menor distância da linha ao ponto onde se quer E, e ponto onde se quer o campo elétrico. a é o vetor unitário atuando ao longo de e apontando da linha para o - Campo da folha infinita de cargas E an (V/m), onde C/m é a densidade superficial de cargas presente na folha infinita e vetor unitário normal à folha e apontando da folha para o ponto onde se quer o campo elétrico. - Distribuições de carga Q LdL (carga linear) L Q d (carga superficial) Q vdv (carga umétrica) v 3- Equação das linhas de campo dado E E a E a E E d d a N é o 4- Fluo elétrico D d, (C), onde D é o vetor densidade de fluo elétrico medido em C/m. D E, onde é a permissividade do vácuo ou espaço livre e dada por: 9 8,854 ( F/ m) Lei de Gauss: o fluo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total envida pela mesma superfície. total D d Q

3 6- Divergente D D D D (cartesianas) ( D ) D D D (cilíndricas) ( r D D r ) ( D sin ) D r r r sin r sin (esféricas) 7- Primeira equação de Mawell D v onde v é a densidade umétrica de cargas 8- Trabalho realiado para mover uma carga entre dois pontos dentro de um campo elétrico final W Q E dl, onde dlé o vetor deslocamento elementar definido abaio para os três sistemas de inicial coordenadas: dl da da da (cartesianas) dl da da da (cilíndricas) dl drar rda r sinda (esféricas) 9- Diferença de potencial (ddp) entre dois pontos e V V V E dl (V), ou seja, a diferença de potencial entre os pontos e é a medida do trabalho realiado para mover uma carga unitária e positiva de até dentro do campo elétrico em questão. - Diferença de potencial no campo de uma carga pontual Q V V ( ) (V), onde Q é a carga fonte do campo potencial presente na região e e 4 são as menores distâncias entre a carga fonte Q e os pontos e, respectivamente. - Diferença de potencial no campo de uma linha infinita de cargas L V V ln (V), onde L é a densidade linear de cargas presente na linha infinita, e são as menores distâncias entre a linha e os pontos e respectivamente, e onde ln indica logaritmo natural. - Campo potencial absoluto de uma carga pontual Q V C (V), onde é a menor distância entre a carga fonte Q e o ponto onde se quer o 4 potencial absoluto e C é uma constante cujo valor depende da localiação do ero de referência para potencias. Para o caso em que o ero de referência é localiado no infinito o valor de C é ero.

4 3- Gradiente V V V V = a a a (cartesianas) V V V V = a a a (cilíndricas) V V V V = ar a a r r r sin (esféricas) 4- elação entre V e E E V 5- Energia armaenada no campo elétrico de um sistema de N cargas pontuais N W Q V m m (J) m 6- Energia armaenada no campo elétrico de uma distribuição contínua de cargas WE vvdv ( D.E)dv (J), onde é a densidade umétrica de cargas presente no ume v. 7- Corrente I J. d (), onde J é o vetor densidade de corrente, medido em mpères por metro quadrado (/m ) e a superfície através da qual se quer medir o fluo de corrente. 8- Densidade de corrente de convecção J U, onde é uma densidade umétrica de cargas movendo-se com vetor velocidade U. 9- Equação da continuidade. J t 3- Condutores metálicos J E onde J é a densidade de corrente de condução, é a condutividade e E é o campo elétrico aplicado ao meio., onde e e e é a densidade umétrica eletrônica e e é a mobilidade do elétron. 3- esistência de objetos condutores E. dl V ( ) I E. d 3- Condições de fronteira condutor espaço-livre Dt Et Dn En s (caso a fronteira seja condutor-dielétrico basta substituir por E D no interior do condutor. )

5 33- Materiais dielétricos P E e (C/m ) e, onde P é o vetor polariação, e é a susceptibilidade elétrica do material e E é o campo elétrico aplicado.. P, onde b é a densidade de cargas de polariação. b D E P ou D E, onde 34- Condições de fronteira dielétrico-dielétrico Et Et En n E Dt Dt Dn Dn 35- Capacitância Q C, onde Q é o módulo da carga em um dos condutores do sistema e V é a diferença de potencial V entre os condutores. 35- Equação de Laplace: V descreve as distribuições de potenciais eletrostáticos em regiões livres de cargas (eceto as cargas fontes do campo V). 36- Equação de Poisson: V V descreve as distribuições de potenciais eletrostáticos em regiões com cargas ( V ) e permissividade ( ). 37- Laplaciano V V V V (Cartesianas) V V V V ( ) (Cilíndricas) V V V V ( r ) (sin ) (Esféricas) r r r r sin r sin 38- Lei de iot-avart: 36 MGNETOTÁTIC 9-8,854 IdL a dh 4 corrente ao ponto onde se quer o campo magnético e corrente para o ponto onde se quer H. F/m -7 4 H/m), onde IdLé um elemento diferencial de corrente, é distância do elemento diferencial de a é o vetor unitário apontando do elemento diferencial de

6 39- Lei de iot-avart: IdL a a) campo magnético de distribuições filamentares de corrente: H (/m) 4 ( K a )d b) campo magnético de distribuições superficiais de corrente: H (/m) 4 ( J a )dv c) campo magnético de distribuições umétricas de correntes: H (/m) 4 onde I dl = K d = J dv onde I é a intensidade de corrente, K é o vetor densidade superficial de corrente (corrente em superfícies), medido em /m, e J é o vetor densidade de corrente (corrente em umes), medido em /m. 4- Campo magnético do filamento infinito de corrente: I H a H (/m), onde I é a corrente convencional fluindo no filamento e é a menor distância do ponto onde se quer o campo magnético até filamento. O unitário do campo, a H, é normal ao plano formado por I e e tem o sentido determinado pela regra da mão direita (o dedo polegar da mão direita aponta no sentido do fluo da corrente convencional e os quatro dedos restantes enlaçam o condutor indicando o sentido do campo magnético, como na figura abaio). (regra da mão direita para o sentido do campo magnético) 4- Campo magnético do filamento finito I H (sin sin ) ah, onde é a menor distância entre a reta que contém o filamento finito (a 4 reta suporte) e o ponto onde se quer o campo magnético. O ângulo é formado entre e a reta que une o ponto onde se quer o campo magnético ao ponto por onde a corrente entra no filamento. O ângulo é formado entre e a reta que une o ponto onde se quer o campo magnético ao ponto por onde a corrente sai do filamento. Filamento finito eta suporte do filamento I Ponto P O sinal do ângulo é positivo quando o sentido de crescimento dele (ele cresce sempre a partir de ) coincidir com o da corrente. Na figura acima é negativo e é positivo. direção de H é normal ao plano formado entre e I. O sentido é obtido pela regra da mão direita (o dedo polegar apontando o sentido da corrente e as

7 etremidades dos outros dedos quatro tocando o ponto onde se quer H, o ponto P). Na figura acima H seria normal do plano do papel e apontaria para baio, entrando no plano do papel no ponto P. 4- Lei Circuital de mpère H.dL I, ou seja, a circulação do campo magnético é igual à corrente contínua envida no percurso da mesma circulação. O vetor dl é tomado sobre o percurso de integração. O sentido da circulação é orientado positivamente com o sentido da corrente através da regra da mão direita (o dedo polegar indica o sentido positivo da corrente convencional e os quatro dedos restantes indicam o sentido positivo da circulação). 43- Campo magnético do cabo coaial Corrente I saindo do plano do papel a b c Corrente I entrando no plano do papel I 43.) para <a H 43.) para a<<b a 43.3) para b<<c (I c ) 43.4) para >c H ( c b ) H H I 44- Campo magnético da folha infinita percorrida por uma densidade de corrente K ( / m) H K a N, onde K é o vetor densidade superficial de corrente e a N é o vetor unitário normal à folha e dirigido dela para o ponto onde se quer calcular o campo magnético. 44 Campo de um solenoide infinitamente longo, com seção reta circular de raio a, com eio de simetria coincidindo com o eio e percorrido por uma densidade superficial de corrente uniforme na direção aimutal K K aa 44. olenoide ideal: H K aa parar a e H para r a NI 44. solenoide de N espiras com comprimento d : H a Z para pontos próimos ao eio de d simetria e distantes das etremidades. 45 otacional Definição geral da componente do rotacional na direção N H. dl ( H) N lim N N

8 45.- otacional em cartesianas H H H ( )a ( H H )a ( H H )a otacional em cilíndricas H H ( H ) H H H H ( )a r ( )a ( )a Onde é a coordenada radial em cilíndricas, ou seja, a menor distância do eio a um ponto do espaço otacional em esféricas ( H sin) H H ( rh ) ( rh ) H )a r r H ( )a r ( ( ) a rsin r sin r r r onde r é a coordenada radial em esféricas, ou seja, a menor distância da origem a um ponto no espaço. 46 Teorema de tokes H. dl ( H). percurso da circulação. d, onde a integral de superfície é tomada sobre a superfície limitada pelo 47- Densidade de Fluo Magnético H (Wb/m ), onde 7 4. (Henr/ m) é a permeabilidade do espaço livre e é a permeabilidade relativa do meio. e o meio for o espaço livre 48- Fluo Magnético. d (Wb) 49- Lei de Gauss do magnetismo. d (o fluo magnético total através de uma superfície fechado é nulo) 5- Equações de Mawell para campos estacionários na forma pontual E (a circulação do campo eletrostático é nula) H J (lei de mpère na forma pontual). D (lei de Gauss na forma pontual note que representa densidade de carga). (forma pontual da Lei de Gauss para o magnetismo) 5- Equações de Mawell para campos estacionários na forma integral E. dl H. dl I D. d Q vdv, onde v representa densidade umétrica de cargas.

9 . d 5- Potencial Escalar Magnético V m H - V m, J, ou seja, essa relação somente é válida em regiões onde não eista fluo de corrente. O potencial magnético é medido em mpère. Vm H. dl (onde o percurso não pode fechar em torno de correntes) É possível definir uma diferença de potencial magnético Vm entre dois pontos e desde que o percurso de integração não seja fechado em torno de correntes. e o percurso fechar em torno de correntes a função potencial magnético escalar passa a ser multi-avaliada. 53- Potencial Vetor Magnético, onde é o potencial vetor magnético medido em (Wb/m). O Potencial Vetor Magnético aponta sempre no sentido da corrente que cria o campo. partir da Lei de iot-avart e da definição de potencial vetor é possível mostrar que: IdL para correntes filamentares 4 Kd para correntes superficiais 4 Jdv para correntes umétricas 4 O potencial vetor magnético pode ser visualiado como uma fotografia fora de foco das distribuições de corrente. 54- Força sobre uma carga Q em movimento dentro de um campo elétrico E. F Q E 55- Força sobre uma carga Q em movimento com velocidade U dentro de um campo magnético. F (Q U ) 56- Equação de Lorent: força sobre uma carga Q em movimento com velocidade U dentro de um campo elétrico E e magnético F (Q E U ) 57- Força provocada por um campo magnético estacionário sobre um fluo filamentar de corrente de intensidade I () F IdL 58- Força provocada por um campo magnético estacionário sobre um fluo superficial de corrente K (/m) F ( K )d 59- Força provocada por um campo magnético estacionário sobre um fluo umétrico de corrente J (/m ) F ( J )dv 6- Força e torque sobre percursos fechados de corrente

10 força total eercida por um campo magnético uniforme sobre um circuito fechado de corrente é nula. O torque não é nulo e é dado por: T m, onde m I é o vetor momento de dipolo magnético. Ele representa uma pequena espira na qual flui corrente convencional de intensidade I (). O vetor tem módulo igual à área da espira e aponta orientado com o fluo da corrente convencional de acordo com a regra da mão direita como mostra a figura a seguir. m Vetor momento de dipolo magnético Corrente convencional I Área Mão Direita O torque tem como finalidade o alinhamento entre os campos magnético do dipolo e o aplicado eternamente. 6-Magnetiação n v M lim mi (/m) v v i M. dl I b, onde I b representa correntes de magnetiação. M m H, onde m é a susceptibilidade magnética do material. m M J b, onde J b é a densidade de correntes de magnetiação. Ib Jb. d 6- elações gerais entre e H H, onde ( H M) e M H m 63- Condições de Fronteiras Magnéticas m Componentes Normais : N N, H N HN, MN m HN MN m Componentes Tangenciais: H t H t K onde K é o módulo do vetor densidade de corrente que poderia eistir na fronteira entre os dois meios. Caso não eista corrente na fronteira as componentes tangenciais de H são contínuas. Uma relação vetorial mais geral para o caso da eistência de correntes nas fronteiras seria: H H ) a K, onde a N é o vetor unitário normal à fronteira e dirigido do meio para o meio. ( N t t K m D v e Mt Mt mk m

11 64- Circuitos Magnéticos L (e/wb), elutância de um material linear, homogêneo e isotrópico de comprimento L, área de seção reta e permeabilidade. V m, onde é o fluo magnético fluindo no circuito magnético. Essa fórmula somente pode ser aplicada para calcular quedas de potencial magnético em meios lineares, homogêneos e isotrópicos, nos quais é constante. Em materiais não lineares V m é calculada a partir da equação: Vm H. dl, que, para casos em que supomos o campo magnético uniforme na seção reta do circuito magnético, pode ser calculada como V m HL, onde L é o comprimento da seção e H deve ser obtido a partir da curva de magnetiação (curva -H) do material. fonte que alimenta um circuito magnético (o conjunto de N espiras percorrido por corrente I) pode ser representada como: NI V m fonte 65- Energia potencial armaenada em um campo magnético estacionário em que está linearmente relacionado com H WH.H dv 66 Indutância e Indutância Mútua N uto Indutância: L (Henr/m), onde o produto N é o enlace de fluo e I a corrente que gera o enlace de I fluo. N Indutância mútua entre os circuitos e : M, onde é o fluo produido por I que enve o I caminho da corrente filamentar I e N é o número de espiras do circuito M M M 67- Lei de Farada d fem N (ts) dt 36 CMPO VINTE NO TEMPO 9-8,854 F/m -7 4 H/m) 68- Força eletromotri fem E. dl, onde E é um campo não conservativo, ou seja, não é um campo elétrico originário de separação de cargas eletrostáticas. 69- Força eletromotri Transformadora

12 fem E. dl ( ). d (V), onde é um campo magnético variando no tempo enlaçando um t percurso condutor estacionário. 7- Força eletromotri Geradora fem E. dl ( U ). dl (V), onde U é a velocidade com que um percurso condutor se move dentro do campo magnético uniforme. 7 Densidade de Corrente de Deslocamento D J d (/m ), onde D é uma densidade de fluo elétrico variando com o tempo. t I J. d () d d 7 Equações de Mawell na forma Integral E - (forma pontual da Lei de Farada) t D H J (lei de mpère par campos dinâmicos) t. D v (lei de Gauss na forma pontual onde v representa densidade umétrica de carga variando no tempo).. (forma pontual da Lei de Gauss para o magnetismo) 73 Equações de Mawell para campos dinâmicos na forma Integral E. dl ( ). d t D H. dl I t D. d Q dv, onde representa densidade umétrica de cargas variando no tempo. d