Eletromagnetismo II. Prof. Daniel Orquiza. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

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1 Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

2 Dipolo Magnético (Capítulo 8) Importância do dipolo magnético Cálculo do Potencial Vetorial Magnético de um dipolo magnético Cálculo da densidade de fluxo magnético de um dipolo magnético Eletromagnetismo I Prof. Daniel Orquiza

3 Dipolos magnéticos são espiras de corrente (ou cargas realizando um movimento em loop). O nome dipolo vem da analogia com dipolo elétrico. O campo distante H gerado por um dipolo magnético é similar ao campo E gerado por um dipolo elétrico. ou I Dipolos magnéticos Q d ou E Dipolos elétricos Dipolos magnéticos são importantes para o entendimento da interação de H com materiais magnéticos. Fora da magnetostática, o dipolo tem aplicações em antenas (loop antenna).

4 Vamos considerar um dipolo com raio b conduzindo IA no sentido A.H. e calcular B em um ponto P localizado a uma distância R >>b. (SLIDE ANTERIOR) É mais simples inicialmente calcular A e depois usar: O potencial vetorial pode ser calculado integrando: B = A µ Idl ' A= " 4π C ' R ao longo da espira, onde R é a magnitude do vetor distância de Idl a P. Devido à simetria azimutal, podemos escolher φ = π/ (pois A não depende de φ, só de r e θ ). Ø r = R (distância de P até o centro do dipolo) Em P em coord. esféricas: Ø a φ = a x (Usaremos isto no final...) Ø

5 Espira de raio b conduzindo I Ampères P( r, θ, π/ ) Dipolo Magnético R θ R ψ φ' b

6 Na posição do elemento diferencial de corrente, o versor aφ é: a φ = a x senφ '+ a y cos φ ' O elemento de linha (vetor) fica: dl ' = b dφ ' a φ = ( a x senφ '+ a y cos φ ') b dφ ' Note que para cada Idl situado entre π/ φ π/, existe um outro elemento Idl simétrico que cancela o componente Ay. Idl ' ② I z A A y x Idl ' P ① 3

7 Portanto podemos ignorar o componente y de dl. Com isso, A pode ser calculado por: µ Ib A = a x 4π π senφ ' dφ ' R Resta expressar R em termos de R e b. Para fazer isso, podemos usar a Lei dos cossenos no triângulo com vértices OP P. R = R + b br cos ψ O termo Rcosψ é a projeção de R no segmento de reta OP (vide prox. SLIDE). Esta projeção é equivalente a primeiro projetar R no eixo y, o que equivale a: Ry = R senθ E projetar este resultado no segmento OP : Ry senφ ' = R senθ senφ ' R cos ψ = R senθ senφ ' 4

8 Espira de raio b conduzindo I Ampères P( r, θ, π/ ) Dipolo Magnético R θ O R ψ φ' b P

9 Usando este último resultado, a distância R fica R = R + b br senθ senφ ' Na expressão para A, R está no denominador. Portanto: = R R + b br senθ senφ ' Tirando a raiz e isolando R do lado direito: = R R b b + senθ senφ ' R R Como b<<r, esta expressão é aproximadamente: b senθ senφ ' R R R 5

10 Esta expressão pode ser simplificada ainda mais, se a expandirmos em série de Taylor e ignorando os termos de ordem maior do que x: Se fizermos uma mudança de variável onde: b x= senθ senφ ' R A expressão anterior fica: = ( x ) = F(x) R R R Expandindo F(x) ao redor de zero (por que zero?): F '() F ''() F(x ) = F() + (x ) + (x ) +... A derivada primeira fica: 3 F '(x) = ( x ) F '() = 6

11 Considerando somente os dois primeiros termos na expansão: F(x) + x Desta forma, o inverso de R pode ser aproximado por: b + senθ senφ R R R Substituindo na expressão para o potencial A: µ Ib π b A a φ + senθ senφ senφ ' dφ ' 4π R R Notando que: π senφ ' dφ ' = E, além disso: π π cosφ ' (sen φ ' )dφ ' = dφ ' = π 7

12 Portanto o potencial A é dado por µ Iπb senθ A a φ 4πR Utilizando a definição de momento de dipolo: m = I Sa n = I πb a n O potencial A fica: Para calcular B, usamos a definição: B = A = µm a r A= 4π R ( Aφ senθ ) Aθ Ar ( raφ ) ( raθ ) Ar a r + a θ + a φ rsenθ θ φ r senθ φ r r r θ 8

13 O potencial vetorial só possui a componente Aφ, portanto: ( Aφ senθ ) ( raφ ) B = µ Iπb sen θ a r µ Iπb senθ a a r a θ r θ B= Rsen θ θ 4πR r r 4πR rsenθ θ r r A densidade de fluxo magnético de um dipolo magnético é: Que possui grande semelhança com o Campo Elétrico de um dipolo elétrico Note que uma expressão pode ser obtida da outra fazendo as substituições: µ m B= cosθ a r + senθ a θ ] 3 [ 4πR E= Note que R=r p cosθ a r + senθ a θ ) 3 ( ε 4π R ε µ e p m 8

14 O potencial do dipolo magnético: Também é semelhante ao potencial (escalar) de um dipolo elétrico: µm a r A= 4π R V = p a r ε 4π R Neste caso as substituições são: p m e V A Assim, E de um dipolo elétrico é (quase) idêntico a H de um dipolo magnético quando consideramos o campo distante (R>>b) (VER PROXIMO SLIDE). Note que o campo próximo é bastante diferente devido à natureza diferente de suas fontes. 9

15 Distribuição de campos dos dois tipos de dipolo I 8 Dipolo Elétrico Dipolo Magnético