Electromagnetismo Aula Teórica nº 21

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1 Electromagnetismo Aula Teórica nº 21 Departamento de Engenharia Física Faculdade de Engenharia Universidade do Porto PJVG, LMM 1 Breve revisão da última aula Rotacional Rotacional Teorema de Stokes Forma local da lei de Ampère O rotacional de E énulo Forças e binários magnéticos A força de Lorentz O efeito Hall Força entre fios atravessados por corrente Binário numa espira (TP) 2

2 Objectivos da aula de hoje Matéria Nussenzveig (Cheng ) O motor de corrente contínua Inductâncias A divergência do campo de indução magnética O fluxo do campo de indução magnética Coeficientes de indução mútua e autoindução L Solenóide Cabo coaxial Dois fios paralelos Duas bobinas circulares Energia magnética Cálculo do coeficiente de auto-indução 3 Exemplo: motor eléctrico 4

3 A divergência do campo de indução magnética Exercício (TP12) a) Mostre que b) Mostre que ib = S 0 Bds= i 0 5 A divergência do campo de indução magnética Significado físico Não existem fontes pontuais de campo de indução magnética como para o caso do campo eléctrico. As linhas de campo magnético não partem de, nem chegam a, nenhum ponto. Dipolo eléctrico Dipolo magnético 6

4 O fluxo do campo magnético O fluxo do campo magnético para uma superfície aberta é não nulo. Unidades SI: weber (b) 1 Wb = 1 T m 2 = 1 V s Φ= Bds i = S C Adl i Fluxo de campo de indução magnética ligado ao caminho/contorno/circuito C S > C 7 O conceito de indutância Consideremos dois condutores transportando corrente (ou o efeito de um conductor sobre ele próprio). O fluxo do campo de indução magnética, criado por I1, através da superfície definida pelo circuito do condutor 2 C2 é Φ B ids = S C 2 2 A idl N 1 N 2 Quando existem N 1 voltas no condutor/bobina 1 o fluxo de ligação (Λ) é definido como Λ N Φ

5 O conceito de indutância O coeficiente de indução mútua L 12 entre a bobina 1 e a bobina 2 é dado por L 12 Λ I 12 1 Podemos também definir o coeficiente de auto-indução da bobina 1 com ela própria N 1 N 2 L 11 = Λ I 11 1 Unidades SI: henry (H) 1 H = 1 Wb/A = 1 V s / A 9 O conceito de indutância Significado físico A indutância está ligada ao fluxo por unidade de corrente que atravessa um dado condutor. Capacidade é a carga armazenada por unidade de diferença de potencial num condutor Uma indutância armazena energia tal como um condensador Veremos mais tarde que os coeficientes de autoindução e de indução mútua estão relacionados com forças electromotrizes induzidas nos condutores devido a variações temporais da intensidade de corrente. 10

6 A fórmula de Neumann Exercício (TP12) Mostre que μ0 dl1idl2 L12 = N1N2 π R 4 C1C2 N 2 L 12 =L 21 O coeficiente de indução mútua apenas depende da geometria dos condutores e da permeabilidade magnética do meio (μ 0 -> μ) Análogo à capacidade N 1 11 Método de cálculo de coeficientes de auto-indução/indução mútua 1. Assumir uma corrente I 1 num dos condutores/circuitos/bobinas 2. Calcular B 1 usando a lei de Ampère, de Biot-Savart ou o vector potencial magnético A 3. Calcular o fluxo (Φ 12 ) do campo B 1 no interior do circuito C 2. Normalmente S2/C2 é perpendicular ao campo B1 4. Calcular o fluxo de ligação (Λ 12 =N 2 Φ 12 ) (N 2 =1 para uma espira) 5. Calcular o coeficiente de indução mútua/auto-indução (não depende da corrente!) L 12 = Λ 12 / I 1 12

7 Coeficientes de indução mútua e auto-indução Exercício (TP12) Considere um solenóide de comprimento l muito maior que o seu raio a, o solenóide têm N voltas. a) Calcule o coeficiente de auto-indução b) Supondo que N=100, l=10 cm e a=5 mm calcule o valor numérico do coeficiente de auto-indução. c) Supondo que o solenóide tem um material ferromagnético no seu interior (μ=10 3 μ 0 ) calcule o coeficiente de auto-indução 13 Coeficientes de indução mútua e auto-indução Exercício (TP12) Considere um cabo coaxial consistindo em duas folhas cilíndricas condutoras de raio a e b. a) Calcule o coeficiente de auto-indução por unidade de comprimento. b) Supondo que se trata de um cabo RG-214, com a=2.256 mm e b=7.24 mm calcule o valor numérico 14

8 Coeficientes de indução mútua e auto-indução Exercício (TP12) Considere uma linha de transmissão consistindo em dois fios condutores paralelos de raio a e separação d>>a a) Calcule o coeficiente de auto-indução por unidade de comprimento. b) Calcule o valor numérico supondo que se trata de uma linha de 300Ω (normalmente usada para ligar uma antena à TV) com d/a=6 15 Coeficientes de indução mútua e auto-indução Exercício (TP12) Considere duas espiras circulares de raio a e b e número de voltas N 1 e N 2, respectivamente. Suponha as bobinas coaxiais e separadas de d>>a,b. Calcule o coeficiente de indutância mútua das bobinas. 16

9 Energia armazenada no campo de indução magnética Devido à sua utilidade para o calculo de coeficientes de auto-indução e indutância mútua vamos aqui antecipar o conceito de densidade volúmica e de energia armazenada no campo de indução magnética magnética 1 1 um = B U B dv 2μ = m 0 μ V 0 Por outro lado sabemos da teoria de circuitos que 1 = = 2 2 Um LI L 2U I m 2 17 Método de cálculo de coeficientes de auto-indução/indução mútua 1. Assumir uma corrente I 1 num dos condutores/circuitos/bobinas 2. Calcular B 1 usando a lei de Ampère, de Biot- Savart ou o vector potencial magnético A 3. Calcular a densidade de energia armazenada no campo de indução magnética fluxo (u m ). 4. Calcular a energia magnética total (U m ) integrando em todo o espaço. 5. Obter o coeficiente de auto-indução ou indutância mútua L=2U m /I 2 18

10 Coeficientes de indução mútua e auto-indução Exercício (TP12) Considere um cabo coaxial com um condutor central cilíndrico sólido de raio a transportando uma densidadede de corrente constante. O condutor cilíndrico exterior tem raio interno b e externo c. Calcule o coeficiente de auto-indução por unidade de comprimento. 19 Matéria próxima aula Lei de Faraday Lei de Lenz Exemplos de aplicação Força electromotriz induzida pelo movimento de um condutor na presença de um campo de indução magnética Forma geral da força electromotriz induzida A forma diferencial da lei de Faraday 20