Indutância. 1 Resumem da aula anterior. 2 Circuito RL. Aula de março de nova unidade

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1 Indutância Aula 2 21 de março de esumem da aula anterior nova unidade µ 0 = 4π 10 7 H/m Na aula anterior foi realizado um resumo dos temas principais abordados em Física III. Finalizado esse resumo, foi introduzido o conceito de indutância ou, melhor to, autoindutância. Como visto, a indutância é uma meda do efeito indutivo que o circuito gera sobre se mesmo. Dada a relação linear existente entre a corrente elétrica i e o campo magnético B, a fem auto induzida E afirmamos que E = N dφ m = L (1) e, para o caso particular de um solenoide obtivemos L = µ 0 n 2 Al (2) Algo que não foi mencionado foi qual é a unidade de inductância. Henry: 1H = 1 T m2 A No SI a unidade é o = 1W b A A definição dessa unidade de meda prova uma redefinição da permeabilidade, similarmente a redefinição da permissividade elétrica que foi redefinida utilizando a unidade de capacitância (ε 0 = 8, F /m) as unidade da permeabilidade são redefinidas utilizando essa 2 Circuito L Como vocês sabem, todo circuito elétrico tem associado a sim um resistência. Igualmente, todo circuito elétrico tem associado uma indutância. Para fines práticos, representaremos toda a indutância do circuito num único elemento denominado de indutor ou bobina e o simbolo utilizado nos circuitos é o de um solenoide Uma pergunta que surge de imeato é como se comporta a corrente e ferenças de potencial no circuito quando temos um elemento indutivo presente. Para saber a resposta aplicamos a lei de Kirchhoff: E i L = 0 (3) Figura 1: Sempre é possível encontrar um resistor que seja equivalente à todas as resistências do circuito e um indutor que substitua todos os elementos indutivos. 1

2 derivando novamente em relação a t L d2 i 2 + = 0 agora fazemos w = (4) L dw dw = w = L w integrando desde t = 0 até t = t. Consideremos que nosso circuito ao tempo t = 0 foi ligado à fonte de fem, isso implica que a corrente inicial é zero. De 3, ou seja w = ( ) = E t=0 L Figura 2: Gráfico da fem nos indutores como função do tempo. V = E L = L ( E = L ) L e L t de 4 w E /L dw = L t 0 w ln w w E /L = L t ln w ln E L = L t ( ) wl ln = E L t i 0 w = E L e L t = E L e L t = E L t o e L t V = E e L t (6) O sinal negativo reflete o fato de que a corrente experimenta uma queda no potencial quando passa pelo indutor. A partir destes resultado observamos que o efeito da indutância no circuito é retrasar o incremento da corrente no circuito por um tempo até que se estabeleça o campo magnético do indutor. Observe que quando na equação 5 t = L/ segundos, a corrente no circuito será 1 1/e do seu valor final. Em outras palavras, fere desse valor final na fração 1/e. A quantidade L/, que tem mensões de tempo e expressa essa propriedade dos circuitos indutivos-resistivos, se conhece como constante de tempo indutiva do circuito: i(t) = E ) (1 e L t (5) A ferença de potencial através da indutância é τ L = L Agora consideremos a situação inversa. Depois de muito tempo, a corrente no circuito atinge se valor assintótico, E /, e repentina- 2

3 mente abrimos o sjuntor (colocando no ponto b). Aplicamos novamente a lei de kirchhoff i L i i i E ln i i E ( ) E ln = 0 (7) = (8) L = L t 0 (9) = L t (10) = L t (11) i(t) = E e L t (12) A ferença de potencial, por sua vez é dade de comprimento ao longo da circunferência. Supões-se que o toro é fininho, isto é, (b a) d. (b) Posteriormente suponha que o fio que que forma a bobina é cobre (ρ = 1, Ωm) e calcule a constante de tempo da bobina. Exemplo 2 Se observa que uma bobina de indutância desconhecida leva uma corrente unirecional (CC) de 3, 5A quando é mantida através dela uma ferencia de potencial de 2, 8V. Quando se coneta num circuito como o da figura, com a ajuda de um osciloscópio se observa que a ferencia de potencial V = E L = L = L ( EL ) L e t V = E e L t O sinal positivo confirma o razonamento anterior que levou a esperar um aumento do potencial através da indutância em nessa conções, parecido ao associado a uma bateria. Observe que para o caso de um circuito - C se obteve expressões semelhantes, contudo fisicamente temos uma pequena ferença, no caso do circuito -C a energia é armazenada no campo elétrico. No caso dos circuitos -L a energia é armazenada no campo magnético criado no indutores. Exemplo 1 (a) Calcular a autoindutância L de uma bobina toroidal, de raio interno a, raio externo b, raio méo d, e que tem n voltas por uni- 3 Energia armazenada em circuitos indutivos e densidade de campo magnético Quando se coloca a chave na posição b da figura 1 sabemos que o campo magnético associado à bobina mantem a corrente conforme decresce o fluxo magnético. Igualmente sabemos que um corrente fluindo através de uma resistência produz uma determinada quantidade de calor, como sinalado por Joule. Por tanto é obvio que a energia térmica gerada por efeito Joule deve ter origem na energia armazenada no campo magnético da indutância. Segundo a lei da conservação da energia, se U B é a energia magnética e Q é a energia térmica entre os tempos t e t +, teremos U B + Q = (U B + du B ) + (Q + dq) du B = dq du B = dq 3

4 sabemos que dq/ = i 2, é a taxa de conversão de energia em calor. Da equação 7 equações 13 e 14 são equivalente as equações de onde i = L i 2 = Li Q = Li dq = d ( 1 Li2) 2 U B = 1 2 Li2 (13) e U E = 1 C ( V )2 2 U E V ol = 1 2 εe2 que expressam a energia e densidade de energia armazenada num capacitor. Ainda que este resultado tenha sido deduzido para um caso específico, ele é completamente geral. Também é importante calcular a densidade de energia. Para o caso de um solenoide ideal, o campo está dado por B = µ 0 ni e autoindutância L = µ 0 n 2 la de forma que Exemplo 3 Um eletroímã grande de pesquisa tem polos com faces circulares paralelas de 30 cm de âmetro, que estão separadas uma stância de 5 cm. O ímã pode produzir um campo máximo de 1, 2T, essencialmente constante no interior da região cilíndrica entre os polos. Determine a quantidade de energia que se armazena no campo magnético dessa região, nessas conções. Quanto tempo poderá permanecer acenda um lampada incandescente de 60W desenvolvendo essa potência e alimentada com a energia do campo. U B = 1 2 Li2 U B = 1 2 U B = la B2 2µ 0 U B = V ol B 2 ( µ0 n 2 la ) ( B 2 2µ 0 µ 2 0n 2 assim, a densidade de energia magnética está dada por ) U B V ol = B2 2µ 0 (14) onde V ol = la é o volumem do solenoide. As Exemplo 4 Um cabo coaxial longo é formado por dois cilindros concêntricos de parede finas e raios a e b. O cilindro interno conduz uma corrente constante i, e o cilindro externo constitui o caminho de retorno dessa corrente. A corrente cria um campo magnético entre os dois fios. (a) Calcule a energia armazenada no campo magnético em um segmento l de cabo. (b) Qual pe a energia armazenada por unidade de comprimento do cabo se a = 1, 2 mm, b = 1, 2 mm, b = 3, 5 mm e i = 2, 7A? 4

5 = dφ dφ Figura 3: Dois circuitos cujos campos magnéticos podem induzir fem em eles mesmo e mutuamente. 4 Indução mutua Como é de se esperar é possível que também se induza fem pelas variações de fluxo devido a outros circuitos. A este fenômeno se chama de indução mutua. Consideremos os circuitos da 3, o fluxo total Φ 1 através do circuito 1 pode ser expressado como a soma do fluxo gerado pela corrente i 1 que flui no próprio circuito 1 e pela corrente i 2 que flui no circuito 2: Φ 1 = B1 d a 1 + B2 d a 1 S 1 S 1 = Φ 11 + Φ 12 da mesma forma, o fluxo total Φ 2 através do circuito 2 pode ser expressado como a soma do fluxo gerado pela corrente i 2 que flui no próprio circuito 2 e pela corrente i 1 que flui no circuito 1 Φ 2 = B1 d a 2 + B2 d a 2 S 2 S 2 = Φ 21 + Φ 22 Da lei de Faraday podemos expressar as fem dos circuitos como E 1 e E 2 como E 2 = dφ 2 = dφ 21 dφ 22 = dφ dφ A fem autoinduzida esta dada por como E = dφ = dφ E = L então, podemos expressar a autoindutância como assim L = dφ E 1 = dφ dφ = L 1 1 M 12 2 E = dφ dφ = M 21 1 L 2 2 E 1 = dφ 1 = dφ 11 dφ 12 onde L 1 e L 2 são as autoindutâncias dos circuitos 1 e 2, e M 12 e M 21 se definem como M 12 = dφ 12 2 M 21 = dφ

6 Os coeficiente M 12 expressam a rapidez com que muda o fluxo magnético através do circuito 1 em relação à corrente do circuito 2, enquanto que M 21 expressam a rapidez com que muda o fluxo magnético através do circuito 2 em relação à corrente do circuito 1. Estes valores se chamam coeficiente de indução mútua ou indutâncias mútuas e relacionam magneticamente os circuitos 1e 2. No caso em que os circuitos estejam muito afastados uns dos outros podemos escreve E 1 = L1 1 E 2 = L2 2 mas, se os circuitos estão próximos a ponto de que a autoindutância é comparável em magnitude à indutância mútua se z que os circuitos estão acoplados. 6

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