Cap. 30. Indução e Indutância. Copyright 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Transcrição

1 Cap. 30 Indução e Indutância Copyright

2 30-1 Lei de Faraday e Lei de Lenz Primeiro Experimento. A Figura mostra uma espira de material condutor ligada a um amperímetro. Como não existe bateria ou outra fonte de tensão no circuito, não há corrente. Entretanto, quando aproximamos da espira um ímã em forma de barra, o amperímetro indica a passagem de uma corrente. A corrente desaparece quando o ímã para. Quando afastamos o ímã da espira, a corrente torna a aparecer, no sentido contrário. Repetindo o experimento algumas vezes, chegamos às seguintes conclusões: 1. A corrente é observada apenas se existe um movimento relativo entre a espira e o ímã; a corrente desaparece no momento em que o movimento relativo deixa de existir. 2. Quanto mais rápido o movimento, maior a corrente. 3. Se, quando aproximamos da espira o polo norte do ímã, a corrente tem o sentido horário, quando afastamos o polo norte do ímã, a corrente tem o sentido anti-horário. Nesse caso, quando aproximamos da espira o polo sul do ímã, a corrente tem o sentido anti-horário, e quando afastamos da espira o polo sul do ímã, a corrente tem o sentido horário.

3 30-1 Lei de Faraday e Lei de Lenz Segundo Experimento. Para esse experimento, usamos o arranjo da Figura, com duas espiras condutoras próximas uma da outra, mas sem se tocarem. Quando a chave S é fechada, fazendo passar uma corrente na espira da direita, o amperímetro registra, por um breve instante, uma corrente na espira da esquerda. Quando a chave é aberta, o instrumento também registra uma corrente, no sentido oposto. Observamos uma corrente induzida (e, portanto, uma força eletromotriz induzida) quando a corrente na espira da direita está variando (aumentando ou diminuindo), mas não quando é constante (com a chave permanentemente aberta ou permanentemente fechada). A força eletromotriz induzida e a corrente induzida nesses experimentos são aparentemente causadas pela variação de alguma coisa, mas qual é essa coisa? Faraday encontrou a resposta.

4 30-1 Lei de Faraday e Lei de Lenz Lei de Indução de Faraday Faraday descobriu que uma força eletromotriz e uma corrente podem ser induzidas em uma espira, como em nossos dois experimentos, fazendo variar a quantidade de campo magnético que atravessa a espira. O fluxo magnético Φ B através de uma área A em um campo magnético B é definido como Onde a integral é tomada sobre a área. A unidade SI para fluxo magnético é o weber, onde 1 Wb = 1 T m 2. Se B é perpendicular à área e uniforme, o fluxo é

5 30-1 Lei de Faraday e Lei de Lenz Lei de Indução de Faraday O módulo da força eletromotriz induzida em uma espira condutora é igual à taxa de variação, com o tempo, do fluxo magnético Φ B que atravessa a espira. Lei de Faraday. Usando a definição de fluxo magnético, podemos enunciar a lei de Faraday de um modo mais rigoroso: A FEM induzida tende a se opor à mudança de fluxo e o sinal negativo indica esta oposição. Este sinal de menos é conhecido como Lei de Lenz.

6 30-1 Lei de Faraday e Lei de Lenz Lei de Lenz A corrente induzida tem um sentido tal que o fluxo magnético devido a esta corrente induzida se opõe à alteração no fluxo magnético que induz a corrente. A força eletromotriz induzida tem um sentido compatível com o sentido da corrente induzida. Lei de Lenz na prática. Como o magneto se move em direção à espira, uma corrente é induzida na espira. A corrente produz seu próprio campo magnético, com momento de dipolo magnético μ orientado de modos a se opor ao movimento do magneto. Então a corrente induzida deve ser no sentido anti-horário como mostrado na figura.

7 30-1 Lei de Faraday e Lei de Lenz Lei de Lenz O sentido da corrente i induzida em uma espira é tal que o campo magnético B ind produzido pela corrente se opõe à variação do campo magnético B que induziu a corrente. O campo B ind sempre tem o sentido oposto ao sentido de B, se está aumentando (a, c), e o mesmo sentido que B, se está diminuindo (b, d). A regra da mão direita fornece o sentido da corrente induzida a partir do sentido do campo induzido.

8 30-1 Lei de Faraday e Lei de Lenz Lei de Lenz

9 30-2 Indução e Transferências de Energia Na Figura uma espira retangular de largura L está parcialmente imersa em um campo magnético externo uniforme perpendicular ao plano da espira. O campo pode ser produzido, por exemplo, por um grande eletroímã. As retas tracejadas da Figura mostram os limites do campo magnético; o efeito da bordas é considerado desprezível. Suponha que a espira seja puxada para a direita com velocidade constante v. Variação do Fluxo. Então existe um movimento relativo entre um campo magnético e uma espira condutora; o fluxo do campo através da espira varia com o tempo. (aqui o fluxo varia porque a parte da espira que está imersa no campo magnético varia). Potência. Para puxar a espira com velocidade constante v, é preciso aplicar à espira uma força constante F pois a espira está sujeita a uma força magnética de mesmo módulo e sentido oposto. A taxa com a qual a força aplicada realiza trabalho ou seja, a potência desenvolvida pela força é dada por em que F é o módulo da força aplicada.

10 30-2 Indução e Transferências de Energia Força Eletromotriz Induzida. Para determinar o valor da corrente, começamos por aplicar a lei de Faraday. No instante em que o comprimento da parte da espira que ainda está na região onde existe campo magnético é x, a área da parte da espira que ainda está na região onde existe campo magnético é Lx. Nesse caso, o valor absoluto do fluxo através da bobina é Quando x diminui, o fluxo diminui. De acordo com a lei de Faraday, a diminuição do fluxo faz com que uma força eletromotriz seja induzida na espira. Podemos escrever o valor absoluto da força eletromotriz como em que substituímos dx/dt por v, a velocidade com a qual a espira está se movendo. Diagrama esquemático da espira da Figura acima enquanto está se movendo.

11 30-2 Indução e Transferências de Energia Corrente Induzida. A figura (parte de baixo) mostra a espira como um circuito: a FEM induzida está representada à esquerda, e a resistência equivalente R da espira está representada à direita. Para calcular o módulo da corrente induzida podemos aplicar a equação Na Fig. (em cima), as forças defletoras agindo sobre os 3 segmentos da espira estão marcadas F 1, F 2, e F 3. Note, entretanto, que por simetria, as forças F 2 e F 3 têm módulos iguais e se cancelam. Isto deixa apenas a força F 1, a qual está direcionada no sentido oposto a F na espira e então é a força se opondo a você. Diagrama esquemático da espira da Figura acima enquanto está se movendo.

12 30-2 Indução e Transferências de Energia Então, F = -F 1. O módulo de F 1 é então (da eq. ) Onde o ângulo entre B e o vetor comprimento L para o segmento esquerdo é 90. Isto nos dá Uma vez que B, L, e R são constantes, a velocidade v na qual você move a espira é constante se o módulo da força F que você aplica na espira é também constante. Taxa de Trabalho: Encontramos a taxa a qual você realiza trabalho na espira ao puxá-la do campo magnético: NOTE: O trabalho que você realiza puxando a espira através do campo magnético aparece como energia térmica na espira. Diagrama esquemático da espira da Figura acima enquanto está se movendo.

13 30-3 Campos Elétricos Induzidos (a) Se o campo magnético aumenta a uma taxa constante, uma corrente induzida constante aparece, como mostrado, no anel de cobre de raio r. (b) Um campo elétrico induzido existe mesmo quando o anel é removido, o campo elétrico é mostrado em 4 pontos. (c) O esquema completo do campo elétrico induzido, mostrado como linhas de campo. (d) 4 trajetórias fechadas similares de mesma área. FEMs iguais são induzidas em torno de 1 e 2, as quais estão totalmente na região do campo magnético. Uma FEM menor é induzida em torno de 3, a qual fica apenas parcialmente naquela região. Nenhuma FEM é induzida em torno de 4, que fica inteiramente fora do campo mag. Portanto, uma FEM é induzida por um fluxo magnético variável mesmo se a trajetória pela qual o fluxo está se alterando não é um condutor físico mas uma linha imaginária. O campo magnético variável induz um campo elétrico E em cada ponto desta trajetória; a FEM induzida está relacionada com E por

14 30-3 Campos Elétricos Induzidos Usando o campo elétrico induzido podemos escrever a Lei de Faraday na sua forma mais geral como Um campo magnético variável produz um campo elétrico. Potencial Elétrico: Campos elétricos induzidos são produzidos não por cargas estáticas mas por um fluxo magnético variável. Portanto, O potencial elétrico tem significado apenas para campos elétricos produzidos por cargas estáticas; o conceito não se aplica aos campos elétricos produzidos por indução.

15 30-4 Indutores e Indutância Um indutor é um dispositivo que pode ser usado para produzir um campo magnético conhecido numa região específica. Se uma corrente i percorre cada uma das N voltas de um indutor, um fluxo magnético Φ B se estabelece. A indutância do indutor é A unidade do SI para indutância é o henry (H), onde 1 henry = 1H=1T m 2 /A. A indutância por unidade de comprimento próximo ao centro de um solenoide de área transversal A e n voltas por unidade de comprim. é Os indutores toscos com os quais Michael Faraday descobriu a lei da indução. Na época, componentes como fios com isolamento ainda não eram fabricados comercialmente. Dizem que Faraday isolava os fios enrolando-os com tiras de pano cortadas de uma das anáguas da sua mulher.

16 30-5 Autoindução Se duas bobinas que podem agora ser chamadas de indutores estão próximas uma da outra, uma corrente i em uma produz um fluxo magnético Φ B na segunda. Vimos que se alteramos o fluxo por alterar a corrente, uma FEM induzida aparece na segunda bobina de acordo com a lei de Faraday. Uma FEM induzida aparece na primeira bobina também. Este processo (ver Figura) é chamado auto-indução, e a FEM gerada é chamada de FEM auto-induzida. Obedece a Lei de Faraday de indução como outras FEMs induzidas. Para qualquer indutor, A Lei de Faraday diz que Combinando estas equações, temos Uma força eletromotriz induzida aparece em todo indutor cuja corrente está variando. Nota: Então, em qualquer indutor (como uma bobina, um solenoide, ou um toroide) uma FEM induzida aparece sempre que a corrente muda com o tempo. O módulo da corrente não tem influência no módulo da FEM induzida; somente a taxa de variação da corrente conta.

17 30-6 Circuitos RL Se uma FEM constante é introduzida num circuito simples contendo uma resistência R e uma indutância L, a corrente aumenta até um valor de equilíbrio de /R de acordo com Aqui τ L, a constante de tempo indutiva, é Um circuito RL. Gráficos (a) e (b) mostram como a dif. de potencial V R (= ir) no resistor e V L (= L di/dt) no indutor variam com o tempo para valores particulares de, L, e R. Quando a fonte de FEM constante é removida e substituída por um condutor, a corrente decai de um valor i 0 de acordo com A alteração com o tempo de (a) V R, a dif. de potencial no resistor no circuito (acima), e (b) V L, a diferença de potencial no indutor no circuito.

18 30-7 Energia Armazenada em um Campo Magnético Se um indutor L carrega uma corrente i, o campo magnético do indutor armazena uma energia dada por Um circuito RL.

19 30-7 Energia Armazenada em um Campo Magnético Um circuito RL.

20 30-7 Energia Armazenada em um Campo Magnético Um circuito RL.

21 30-8 Densidade de Energia de um Campo Magnético Considere um segmento de comprimento l perto do centro de um solenoide longo, de seção reta A, percorrido por uma corrente i; o volume do segmento é Al. A energia U B armazenada nesse trecho do solenoide deve estar toda no interior do solenoide, já que o campo magnético do lado de fora de um solenoide é praticamente zero. Além disso, a energia armazenada deve estar uniformemente distribuída, pois o campo magnético é (aproximadamente) uniforme no interior de um solenoide. Assim, a energia armazenada no campo por unidade de volume é Nós temos, Aqui L é a indutância de comprim. l do solenoide Substituindo por L/l obtemos E podemos escrever a densidade de energia como

22 30-8 Indução Mútua Se as bobinas 1 e 2 estão próximas, uma corrente variável em cada bobina pode induzir uma FEM na outra. Esta indução mútua é descrita por e Indução mútua. (a) O campo magnético B 1 produzido pela corrente i 1 na bobina 1 atravessa as espiras da bobina 2. Quando se faz variar a corrente i 1 (fazendo variar a resistência R), uma força eletromotriz é induzida na bobina 2 e o amperímetro ligado à bobina 2 revela a passagem de uma corrente. (b) O mesmo sistema, com os papéis das bobinas 1 e 2 invertidos.

23 30 Sumário Fluxo Magnético O fluxo magnético através de uma área A num campo magnético B é definido como Eq Se B: é perpendicular à área e uniforme, Eq torna-se Lei de Indução de Faraday A FEM induzida é, Eq Eq Se a espira é substituída por N voltas, a FEM induzida é Lei de Lenz Uma corrente induzida tem um sentido tal que o campo magnético devido a esta corrente induzida se opõem à alteração no fluxo magnético que induz a corrente. FEM e o Campo Magético Induzido A FEM induzida e E estão relacionados por Eq Lei de Faraday na forma geral, Eq Eq. 30-5

24 30 Sumário Indutor A indutância L do indutor é A indutância por unid. de comprim. próximo ao centro do solenoide extenso com área transversal A e n voltas por uni. de comprimento é Auto-Indução Esta FEM auto-induzida é, Eq Eq Eq Indução Mútua A indução mútua é descrita por, Eq Circuito RL em Série Aumento de corrente, Decaimento de corrente Energia Magnética O campo magnético do indutor armazena energia dada por Eq Eq Eq A densidade de energia magnética armazenada é dada por, Eq Eq

25 30 Exercícios Halliday 10ª. Edição Cap. 30: Problemas 1; 11; 29; 36; 42; 45; 54; 61; 70; 77

26 30 Problema 30-1 Na Fig , uma espira circular com 10 cm de diâmetro (vista de perfil) é posicionada com a normal fazendo um ângulo θ = 30 o com a direção de um campo magnético uniforme cujo módulo é 0,50 T. A espira começa a girar de tal forma que descreve um cone em torno da direção do campo à taxa de 100 revoluções por minuto; o ângulo θ permanece constante durante o processo. Qual é a força eletromotriz induzida na espira?

27 30 Problema Uma bobina retangular, de comprimento a e largura b, com N espiras, gira com frequência f na presença de um campo magnético uniforme, como mostra a Fig A bobina está ligada a cilindros metálicos que giram solidariamente a ela e nos quais estão apoiadas escovas metálicas que fazem contato com um circuito externo. (a) Mostre que a força eletromotriz induzida na bobina é dada (em função do tempo t) pela equação Esse é o princípio de funcionamento dos geradores comerciais de corrente alternada. (b) Para qual valor de Nab a força eletromotriz gerada tem uma amplitude igual a 150 V quando a bobina gira com uma frequência de 60,0 revoluções por segundo em um campo magnético uniforme de 0,500 T?

28 30 Problema Na Fig , uma barra de metal é forçada a se mover com velocidade constante ao longo de dois trilhos paralelos ligados em uma das extremidades por uma fita de metal. Um campo magnético de módulo B = 0,350 T aponta para fora do papel. (a) Se a distância entre os trilhos é 25,0 cm e a velocidade escalar da barra é 55,0 cm/s, qual é o valor absoluto da força eletromotriz gerada? (b) Se a barra tem uma resistência de 18,0 Ω e a resistência dos trilhos e da fita de ligação é desprezível, qual é a corrente na barra? (c) Qual é a taxa com a qual a energia é transformada em energia térmica?

29 30 Problema A Fig mostra duas regiões circulares, R1 e R2, de raios r1 = 20,0 cm e r2 = 30,0 cm. Em R1 existe um campo magnético uniforme, de módulo B1 = 50,0 mt, que aponta para dentro do papel; em R2, existe um campo magnético uniforme, de módulo B2 = 75,0 mt, que aponta para fora do papel (ignore os efeitos de borda). Os dois campos estão diminuindo à taxa de 8,50 mt/s. Calcule o valor de (a) para a trajetória 1, (b) para a trajetória 2 e (c) para a trajetória 3.

30 30 Problema A Fig mostra uma fita de cobre, de largura W = 16,0 cm, que foi enrolada para formar um tubo, de raio R = 1,8 cm com duas extensões planas. Uma corrente i = 35 ma está distribuída uniformemente na fita, fazendo com que o tubo se comporte como um solenoide de uma espira. Suponha que o campo magnético do lado de fora do tubo é desprezível e que o campo magnético no interior do tubo é uniforme. Determine (a) o módulo do campo magnético no interior do tubo e (b) a indutância do tubo (desprezando as extensões planas).

31 30 Problema Em um dado instante, a corrente e a força eletromotriz autoinduzida em um indutor têm o sentido indicado na Fig (a) A corrente está aumentando ou diminuindo? (b) A força eletromotriz induzida é 17 V e a taxa de variação da corrente é 25 ka/s; determine a indutância.

32 30 Problema Na Fig , = 100 V, R1 = 10,0 Ω, R2 = 20,0 Ω, R3 = 30,0 Ω e L = 2,00 H. Determine os valores de (a) i1 e (b) i2 logo após o fechamento da chave S. (Considere positivas as correntes nos sentidos indicados na figura e negativas as correntes no sentido oposto.) Determine também os valores de (c) i1 e (d) i2 muito tempo após o fechamento da chave. A chave é aberta depois de ter permanecido fechada por muito tempo. Determine os valores de (e) i1 e (f) i2 logo depois de a chave ter sido novamente aberta. Determine também os valores de (g) i1 e (h) i2 muito tempo depois de a chave ter sido novamente aberta.

33 30 Problema Uma bobina é ligada em série com um resistor de 10,0 kω. Uma fonte ideal de 50,0 V é ligada aos terminais do conjunto e a corrente atinge um valor de 2,00 ma após 5,00 ms. (a) Determine a indutância da bobina. (b) Determine a energia armazenada na bobina nesse instante.

34 30 Problema A Fig a mostra, em seção reta, dois fios retilíneos, paralelos e muito compridos. A razão i1/i2 entre a corrente no fio 1 e a corrente no fio 2 é 1/3. O fio 1 é mantido fixo no lugar. O fio 2 pode ser deslocado ao longo do semieixo x positivo, o que faz variar a densidade de energia magnética ub criada pelas duas correntes na origem. A Fig b mostra um gráfico de ub em função da posição x do fio 2. A curva tem uma assíntota ub = 1,96 nj/m3 para x, e a escala do eixo horizontal é definida por xs = 60,0 cm. Determine o valor de (a) i1 e (b) i2.

35 30 Problema As duas bobinas da Fig têm indutâncias L1 e L2 quando estão muito afastadas. A indutância mútua é M. (a) Mostre que a combinação que aparece na figura pode ser substituída por uma indutância equivalente dada por Leq = L1 + L2 + 2M. (b) De que forma as bobinas da Fig podem ser ligadas para que a indutância equivalente seja Leq = L1 + L2 2M? (Este problema é uma extensão do Problema 47, na qual foi suprimida a condição de que as bobinas estejam muito afastadas.)