Fluxo magnético através de um circuito

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1 Fluxo magnético através de um circuito É sempre possível escrever o fluxo magnético através de um circuito γ percorrido por uma corrente I γ, devido ao campo gerado por essa e outras correntes I β em outros tantos circuitos, por uma expressão linear nas correntes, com coeficientes de indução que dependem apenas da geometria e posições relativas dos circuitos. Demonstração Φ γ = L γ I γ + M γβ I β Tendo em conta que B = A e que Sγ B d S = γ A dl, obtemos para uma distribuição de circuitos β, γ,... com correntes I γ, I β, que geram o campo B = B γ + B β + os fluxos β γ Φ γ = B(s ) d S γ (s ) = B γ (s ) d S γ (s ) + A β (l γ ) d l γ Sγ Sγ γ A partir das expressões gerais para estes campos β γ A β (l γ) = μ o 4 π I β β d l β l γ - l β ; B γ (s ) = μ o 4 π I γ γ d l γ s - l γ s - l γ 3 vemos que, pondo em evidência as correntes, se obtêem coeficientes que dependem apenas da geometria e posicões relativas dos circuitos, designados Coeficientes de Indução. Φ γ = μ o 4 π S γ γ d l γ s - l γ s d S (s ) I γ + - l γ 3 β γ μ o 4 π γ β d l β d l γ l γ - l β I β Coeficiente de Auto-Indução L γ μ o 4 π S γ γ d l γ s - l γ s - l γ 3 d S (s ) (H) Coeficientes de Indução Mútua M γβ μ o 4 π γ β d l β d l γ l γ - l β (H) Dois fios paralelos de raio a à distância D um do outro, com correntes opostas de magnitude I: Pela Lei de Ampére Amaro ica da Siilva,IST -2- º Semestre

2 B (r) 2 π r = μ o I B 2 (D - r) 2 π (D - r) = μ o I B (r) = B (r) + B 2 (D - r) = μ o I D 2 π r (D - r) O fluxo através da superfície entre os dois condutores num comprimento l é Coeficiente de Auto Indução: Φ = o L a D-a B (r) d l d r = μ o l 2 π I a D-a D d r r (D - r) = μ o l 2 π log D - a a I (Wb) (T) d Φ L = d I = μ o l 2 π log D - a a (H) Cabo coaxial, raio do condutor interno a, raio do condutor externo b: Campo à distância r do condutor interno, usando a Lei de Ampère B (r) = μ I 2 π r Fluxo através da secção longitudinal de comprimento L Coeficiente de Auto Indução: Φ = 0 L a b B (r) d l d r = L μ L = d Φ d I = μ L 2 π log b a (T) 2 π log b a I (Wb) Exemplo: Bobina toroidal com núcleo de permeabilidade μ: Uma bobina toroidal, com m de raio exterior e 20 cm de raio interior, é percorrida por uma corrente de 5.0 A e tem 60 espiras por metro. No centro tem ferro com uma permeabilidade magnética μ = 5000 μ o. Qual seria o campo na ausência do ferro? Qual é a indutância desta bobina? Qual é o campo magnético com o ferro? Qual é a indutância nesse caso? Solução O comprimento total da bobina é L = 2 π = 6.28 m pelo que o número total de espiras é N = 60 L = 377. No interior da bobina, dado que o raio exterior = m é muito maior que o raio interior r = 0.2. m, vamos considerar que o campo B é aproximadamente constante em cada secção recta da bobina. N é o número total de espiras na bobina magnitude da componente B θ (H) γ B (r γ) d r γ = 0 2 πb θ () d θ = B θ () 2 π B θ () 2 π = μ o N I N I B θ () = μ o 2 π = π (G) 2 π º Semestre Amaro ica da Silva,IST

3 Em qualquer outro ponto no interior da bobina assumimos que B θ tem a mesma magnitude que B θ (). Para o fluxo do campo através de uma secção recta da bobina ( S = S e θ) correspondente a uma só espira obtemos N I ϕ = B d S = B θ () S = μ o S 2 π π r2 Como as linhas de campo atravessam de forma semelhante todas as N espiras da bobina, o fluxo total é Φ = N ϕ = μ o N 2 r 2 2 I = L o I Da expressão anterior obtemos a indutância (coeficiente de auto-indução) L = d Φ d I = μ o N 2 r 2 2 L = 4 π = (H) 2 Quando consideramos o núcleo de ferro deve-se substituir μ o por μ = 5000 μ o, pelo que N I B θ () = μ 2 π = π (T) 2 π L f = μ N 2 r 2 2 = 5000 L o = 7.86 (H) Problema: Transformador com N p espiras no primário e N s espiras no secundário com núcleo de secção S Fluxo no Primário com corrente I p e número total de espiras N p num comprimento. Em cada espira do primário o fluxo de B corresponde ao do seu próprio campo mais o do secundário: ϕ p = B p S p + ϕ sp μ N p I p B p = No primário o fluxo total será Φ p = N p ϕ p = N p μ N p I p S p + ϕ sp O coeficiente de auto-indução L p no primário será Fluxo no Secundário: Φ p = L p I p + M sp I s L p = μ S p 2 N p ; M sp I s = N p ϕ sp Se tivéssemos ϕ s = ϕ p, Φ s = N s ϕ s = N s μ N s I s S s +ϕ ps l s Amaro ica da Siilva,IST -4- º Semestre

4 Φ s = N s μ N p I p μ S p S p +ϕ sp = N p N s I p + N s ϕ sp = M ps I p +L s I s L s I s = N s ϕ sp ϕ sp = μ S s N s I s M sp = μ S s N s N p l s l s M s = μ S s l s N s 2 μ S p ; M ps = N s N p M sp?? ) μ S p Φ s = N s N p I p + μ S s N 2 s I s = N s ϕ ps + μ S s N 2 s I s l s l s μ S p ϕ ps = N p I p Como se verifica, assumindo a preservação do fluxo e a forma do campo em ambas secções do núcleo leva a uma contradição quando S p S s. Portanto deve haver uma perda de fluxo dependendo da geometria. Assumindo então que ϕ p = γ ϕ s para um factor γ a determinar, podemos prosseguir assumindo agora as equações básicas ϕ p = γ ϕ s ; Φ p = N p ϕ p = L p I p + M I s Φ s = N s ϕ s = M I p + L s I s ; L p = μ N2 p S p L s = μ N s 2 S s l s A resolução destas equações impondo que M seja independente das correntes leva à conclusão que: ϕ p = μ N p I p S p + μ N s I s S p S s l s = B p + B s S s l s S p S p ϕ s = μ N p I p S p S s l s + μ Ns Is l s S s = B p S p S s l s + B s S s M = μ N p N s S p S s l s = L p L s γ = S p l s S s Assim, só no caso de γ = é que se tem uma igualdade ϕ p = ϕ s, o que é garantido nas mais frequentes geometrias enrolando o primário e o secundário à volta do mesmo troço do núcleo. Forças Electromotrizes: d Φ p d ϕ p ε p = - = -N p d t d t ; ε s = - d Φ s d ϕ s = -N s d t d t º Semestre Amaro ica da Silva,IST

5 Circuitos Magnéticos ε s = N s Podemos usar a aproximação dos circuitos magnéticos para o cálculo de coeficientes de indução de um transformador com primário de secção S p e comprimento, secundário de secção S s e comprimento l s e braços de secção b e comprimento l b. As equações do circuito são N p ε p N p I p + N s I s = p ϕ p + s ϕ s + 2 b ϕ b onde as relutâncias são Conclui-se assim que ϕ p = ϕ b = ϕ s p = lp μ S p s = ls μ S s b = lb μ b eq = p + s + 2 b e ϕ p = ϕ s = N p eq I p + N s eq I s Φ p = N p ϕ p = L p I p + M I s donde se conclui que L p = N2 p ; L s = N 2 s eq eq Φ s = N s ϕ s = M I p + L s I s ; M = N s N p eq com eq = μ S p + l s S s +2 l b S b Energia no campo magnético de um conjunto de correntes Energia Magnética para estabelecer uma corrente individual Consideremos um circuito LC com uma bateria proporcionando uma q.d.p. V e uma indutância criando uma força electromotriz de indução magnética E em = - dφ dt. A equação do circuito é então A potência dispendida pela bateria é V + E em = I + Q C b = I V = I 2 +I Q C -I E em = I 2 + Q C I +I d Φ A energia fornecida ao circuito é dada pelo integral no tempo da potência: t t ΔU b = b d t = I 2 t Q d Q t d Φ d t + d t + I C d t 0 d t d t = d t Amaro ica da Siilva,IST -6- º Semestre

6 t = d d t + Q 2 (t) Φ ti 0 2 C + d Φ 0 O termo I 2 representa a perda ohmica da resistência. Q 2 O termo é a energia eléctrica armazenada no condensador C 2 C O último termo representa a energia magnética armazenada na indutância L. Como Φ = L I, esta energia magnética pode ser escrita em termos da corrente U ml = 0 Φ ti d Φ = Energia magnética de translação de correntes 2 L I 2 = 2 I Φ (U m ) tr = 2 α I α β α Φ αβ Consideremos que os circuitos são transportados, um a um, do infinito para a sua posição final. O primeiro circuito desloca-se num espaço sem outros campos que o seu próprio, mas os seguintes têm que se deslocar no campo gerado pelas correntes que já se encontram em posição. Cada circuito α pode ser descrito por uma parametrização conveniente γ α : θ [0, 2 π] l α(θ) representando a posição final do circuito. Designando por Γ a : s + r α(s) uma curva do até à origem, então s α (s, θ) = r α(s) + lα(θ) representa um ponto de um tubo que o circuito α descreve quando é transladado desde o infinito até à sua posição final. Veremos adiante que a escolha do caminho Γ α é irrelevante para o resultado final. º Semestre Amaro ica da Silva,IST

7 Note que o deslocamento dos circuitos é feito de forma infinitamente lenta, isto é não é necessária energia adicionaara combater forças electromotrizes induzidas nos circuitos pela Lei de Faraday e manter as respectivas correntes constantes à medida que cada circuito é colocado em posição. Teremos contudo que contabilizar separadamente a energia gasta a estabelecer a corrente I α em cada circuito inicialmente. Por outro lado, para cada par de circuitos é irrelevante se um é colocado na posição final primeiro que o outro, ou seja o trabalho U αβ necessário para colocar o circuito α em posição no campo de β quando β já está fixo é o mesmo que o trabalho U βα de colocar β em posição no campo de α quando α já está fixo. Assim (U m ) tr = U α = αβ = α α β<αu 2 α β α U αβ Designando por F αβ (s) a força total sentida por α quando se encontra na posição parametrizada por s U αβ = Γα F αβ d r α = Γα γα I α d l α B β d r α = = I α Γα γα d r α d l α B β U αβ = -I α Lα B β d S = I α Bo B β d S + B B β d S U αβ = I α Bo B β d S = I α Φ αβ Energia Magnética Total: U mtr = I α Φ αβ 2 α β α U m = I α Φ α U mdef = 2 α I α Φ αα 2 α Φ α = Φ αα + β α Φ αβ Densidade de Energia Magnética Densidade de Energia Magnética m no campo de um solenóide Num solenóide com N espiras, secção S e comprimento l S, para uma corrente I, temse um fluxo (Wb = Weber) N Φ = N B S = N μ I S = l Coeficiente de Auto Indução (H = Henry) : μ N 2 S I (Wb) l Amaro ica da Siilva,IST -8- º Semestre

8 L = d Φ d I = μ N 2 S l A densidade de energia armazenada dentro deste pode ser vista como (H) ou seja m = U m L I 2 S l = 2 = S l 2 μ n2 S l I 2 S l = (μ n I) 2 = 2 μ 2 B 2 μ m = 2 B 2 μ = 2 μ H 2 Densidade de energia magnética no caso geral. Fluxo Magnético em termos do potencial vector A Φ S = S B d S = S A d S = S A d l Energia armazenada no campo magnético gerado por um conjunto arbitrário de correntes I α U m = 2 α I α Φ α = 2 α Sα A (l α) I α d l α U m = 2 A J d V Identidade matemática: a b = a b - b ( a) Usando a Lei de Ampère local H = J obtém-se A J = A H = H A + H A = H A + H B Substituindo na expressão da energia do campo magnético e usando a lei de Gauss para o campo H A U m = 2 H B d V + 2 H A d S Assumindo que no infinito o campo é nulo, o fluxo de H A na superfície no infinito também se anula, e esta expressão reduz-se a U m = 2 H B d V = 2 m d V Assim a densidade de energia armazenada no campo magnético em cada ponto dum espaço com permeabilidade magnética μ é m = 2 H B = 2 B 2 μ = 2 μ H 2 Pressão Magnética na interface entre dois meios Pressão Magnética na interface entre dois meios Mantendo os fluxos constantes Variação de Energia magnética com a introdução de um meio de volume V e º Semestre Amaro ica da Silva,IST

9 permeabilidade μ num campo pré-existente B o num meio μ o (ΔU m ) Φ = 2 V B H - B o H o d V = - 2 V B H o - B o H d V + 2 V B - B o H + H o d V Na ausência de correntes de condução J c no volume V H + H o = 0 ψ : H - H o = ψ Então, usando a identidade (ψ a) = a ψ + ψ a Mas B - B o 0 sempre, pelo que B - B o H + H o = B - B o ψ = ψb - B o - ψ B - B o 2 B - B o H + H o d V = V 2 ψb - B o d V = V V 2 ψ B - B o d S = 0 devido à continuidade da componente normal de B na passagem entre os dois meios. Para um sistema isolado, o trabalho realizado pelos campos deve verificar ΔW mec + (ΔU m ) Φ = 0 ΔW mec = -(ΔU m ) Φ = V = V 2 B H o - B o H d V = 2 (μ - μ o ) H H o d V Mantendo as Correntes Constantes Contudo, na presença de correntes de condução no volume V, para manter constantes as correntes é também necessário realizar trabalho contra as forças electromotrizes de indução magnética Δ W fem, que em geral são o dobro da variação de energia armazenada no campo (ΔU m ) J. (ΔU m ) J = V 2 B H - B o H o d V = V 2 B H o - B o H d V + V (ΔU m ) J = 2 V B H o - B o H d V = V 2 (μ - μ o ) H H o d V 2 B + B o H - H o d V Para um sistema isolado contendo as fontes necessárias para contrariar os efeitos da indução magnética nas correntes, a variação total de energia verifica Pressão magnética ΔW mec + (ΔU m ) J + ΔW fem = 0 ΔW mec +(ΔU m ) J -2 (ΔU m ) J = 0 ΔW mec = (ΔU m ) J No limite em que o volume V introduzido corresponde a um deslocamento infinitesimal dr de uma fronteira entre dois meios semi-infinitos de permeabilidades diferentes dv = d S dr então podemos considerar que (ΔU m ) J = 2 S (μ - μ o ) H H o d S d r = 2 S (μ - μ o ) H H o + H H o d S d r Amaro ica da Siilva,IST -0- º Semestre

10 Devido à continuidade das componentes tangenciais de H e normais de B na superfície podemos escrever (ΔU m ) J = 2 S (μ - μ o ) H o 2 + μ μ o B o 2 d S d r pelo que, designando por m a pressão magnética na superfície fronteira ΔW mec = m n d r d S = S 2 (μ - μ o ) H o 2 + B o 2 S μ μ o n d r d S Conclui-se assim que na fronteira entre dois meios de permeabilidade diferentes existe uma pressão no sentido do meio de mais fraca premeabilidade: m = 2 (μ - μ o ) H o 2 + μ μ o B o 2 Para um campo de T essencialmente perpendicular à superfície de V, com μ μ o, a pressão obtida sobre o material é de quase 4 atmosferas! m 2 μ o B o 2 = 07 8 π N = 3.92 Atm 2 m º Semestre Amaro ica da Silva,IST

11 Forças Magnéticas Trabalho realizado sobre um corpo mantendo os fluxos constantes: ΔW mec = -(ΔU m ) Φ Exemplo: Força de atração de um magnete em ferradura, de secção S. Considerando o circuito magnético formado pelas linhas de campo, e assumindo que um deslocamento d x da barra não altera o fluxo no circuito, A força sobre a barra será atractiva (d U m ) Φ = 2 B 2 μ o 2 S d x Para B = T e S = 0 - m 2 ΔW mec = F x d x = -(d U m ) Φ = - 2 B 2 μ o 2 S d x F x = - B 2 S = - μ o 4 π = N Trabalho realizado sobre um corpo mantendo as correntes constantes ΔW mec = +(ΔU m ) I Força sobre uma espira rectangular com corrente I 2 no campo de um fio rectilíneo com corrente I. Amaro ica da Siilva,IST -2- º Semestre

12 A energia magnética é U m = 2 (I ϕ + I 2 ϕ I 2 ϕ 2 ) Quando a distância entre a espira e a corrente se altera, os auto-fluxos ficam invariantes (mantendo-se as correntes constantes) pelo que: O fluxo do campo B = μ o I 2 π r e θ na espira é A força sobre a espira é: Usando as forças de Lorentz: ΔW m = (ΔU m ) I = I 2 Δ ϕ 2 b y+a μ o I ϕ 2 = B d S 2 = S2 0 y 2 π r d r d z = μ o I b 2 π log a + y y F y = I 2 d Φ 2 d y = I 2 μ o I b 2 π a + y - y = - μ o I I 2 2 π a b y (y + a) μ o I F = I 2 d l B = -b I 2 2 π y + b I μ o I 2 e y = - μ o I I 2 a b 2 π (y + a) 2 π y (y + a) e y Aplicação às leis dos circuitos eléctricos fixos Indutâncias em série d Φ γ d I γ E (γ) = - = -L γ d t d t d I β - M γβ d t β γ M2 L L 2 2 Para duas indutâncias em série num circuito com duas resistências e 2 numa queda de potencial V deve ser V +E +E 2 = I + 2 I º Semestre Amaro ica da Silva,IST

13 Assim V = ( + 2 ) I + ( L + 2 M 2 + L 2 ) d I d t Este circuito é assim equivalente a um com uma indutância L eq = L + 2 M 2 + L 2 Se M 2 L, L 2 então para indutâncias em série L eq L + L 2 Se M = k L L 2 com k < e k puder variar temos um circuito de indutância variável (rádio). Indutâncias em paralelo L M 2 L 2 Assumindo agora um circuito composto por duas indutâncias em paralelo numa queda de potencial V, desprezando as resistências de cada indutância, d I d I 2 V = L + M 2 d t d t d I 2 d I V = L 2 + M 2 d t d t V = L 2 L 2 - M 2 d I L + L 2-2 M 2 d t L eq = L 2 L 2 - M 2 L + L 2-2 M 2 Se M 2 L, L 2 então para indutâncias em paralelo L eq L + L 2 Amaro ica da Siilva,IST -4- º Semestre

14 Circuitos com correntes de variação lenta. A restrição a correntes de variação lenta significa que o circuito não deve radiar uma quantidade grande de potência. Isto significa que as dimensões máximas do circuito são pequenas quando comparadas com o comprimento de onda da radiação associada à frequência motriz no circuito l max c f = λ. Ou seja, um elemento de corrente I dl do circuito encontra-se a uma distância muito pequena, quando comparado com o comprimento de onda λ, dum elemento de corrente -I dl, pelo que os seus campos cancelam-se a grande distância em todas as direcções. A equação diferencial do circuito obtém-se pela aplicação das leis de Kirchoff para o circuito. Problema Determine a constante de tempo para um circuito -L em série constituído por uma resistência de 00 Ω e uma indutância de 0 H. epetir com uma indutância de.0 H. esolver por análise dimensional. esolver pela equação diferencial do circuito. Solução Num circuito deste tipo as constantes a utilizar são a resistência em Ohm e a indutância L em Henrys. A análise dimensional destas grandezas requer a sua tradução em termos de unidades SI. Assim, a partir da definição de L, obtemos as relações Φ = L I (Weber) [Wb] = [H][A] E fem = - d Φ = -L d I d t d t Conclui-se assim que o Henry é dimensionalmente E fem L = - di Quanto à resistência, a partir da lei de Ohm temos dt (Volt) [V ] = [H][A][s] - (Henry) [H] = [V ][A] - [s] = I (Ohm) [Ω] = [V ][A] - Torna-se assim evidente que [Ω] - [H] = [A][V ] - [V ][A] - [s] = [s] A constante de tempo para um circuito L deve assim ser, para L = 0 H e para L = H τ = L τ = 0 τ = 0-2 s 00 = 0- s Amaro ica da Siilva,IST -2- º Semestre

15 Circuito L Neste caso o único elemento activo é a indutância, e a única queda de potencial Ohmica é a da resistência. Assim, num circuito que inicialmente tinha uma corrente I o, as equações determinam o comportamento da corrente com o tempo I(t): d I d t = - L I I = I o e - O tempo característico τ = L é assim o tempo necessário para dissipar a corrente inicial I o para um valor e - I o. Caso o circuito, inicialmente aberto, fosse fechado com uma fonte de potencial constante o, a equação do circuito seria d I (t) + d t L I (t) = o L t L/ I (t) = o - e- Neste caso o tempo característico τ = L é uma medida do transiente de corrente até chegar a um valor próximo (~ 63 %) da corrente final I = o. t L/ I (A) o (- e ) o τ= L t (s) Circuito L em série com f.e.m. sinusoidal E = V o + V sin(ω t) Neste caso a equação do circuito é, usando a notação complexa L d I c (t) d t + I c (t) = V o + V e i ω t A solução compatível com a condição inicial I o = 0 é I c (t) = V o - e - L t + V + i L ω e i t ω - e - L t A parte real desta expressão é I(t) = V o - e - L t + V 2 + L 2 ω 2 - cos t ω - tan L ω - e - L t º Semestre Amaro ica da Silva,IST

16 I o τ=l/ t Circuito LC L V C E tot = E d l = E bat + E ind Em partes do circuito em que este apresenta uma condutibilidade σ e = ρ e, a Lei de Ohm E = J σ e pode ser aplicada. Dado que I = J S e em geral S dl, tem-se: E d l = J σ e d l = I σ e S (l) d l = I Contudo no espaço entre placas de um condensador não existe condutibilidade, e nesse pedaço Em geral Quando E bat = C te e usando I(t) = dq(t) dt E d l = V c (t) = C Q (t) E bat + E ind = E bat - L d I (t) = I (t) + d t C Q(t) L d2 I (t) d t 2 Para uma solução do tipo I(t) = I o e κ t + d I (t) + I d t C (t) = 0 Amaro ica da Siilva,IST -4- º Semestre

17 κ 2 + L κ + L C = 0 κ = - 2 L ± 2 L 2 - L C Quando λ = 2 L < L C = ω o a solução é I (t) = I o e -λt e ± i ω n t I (t) = I o e -λt Sin(ω n t + α) onde ω n = ω o 2 - λ 2 se designa a frequência natural de oscilação. I o I Io e - t 2 L t -I o Correntes alternas: egimes Transiente e Estacionário. Quando E bat (t) = V o e i ω t : L d2 I (t) d t 2 + d I (t) + I d t C (t) = i ω V o e i ω t Para uma solução complexa do tipo I c (t) = I o e i ω t -L ω 2 + i ω + C I o e i ω t = i ω V o e i ω t A constante complexa I o = + i ω L - ω C V o Z = +i ( L - C ) designa-se a Impedância do circuito, e consiste numa parte real (esistência) e uma parte complexa, designada eactância, a qual tem uma parte inductiva L = ω L e uma parte capacitativa C = ω C. Ic (t) = Z V c (t) I (t) = Z V (t) = V o 2 + ( L - C ) 2 - cos ω t + tan L - C º Semestre Amaro ica da Silva,IST

18 Impedâncias em Série e Paralelo em circuitos com corrente alterna Série Paralelo egime Transiente Z eq = Z + Z 2 + Z eq = Z + Z 2 + A solução da equação homogénea dá-nos uma solução evanescente geral, que adicionada à solução particular encontrada acima nos dá a solução completa com condições iniciais apropriadas I I o e - 2 L t t Potência Instantânea e Potência Média. Para voltagens e correntes complexas a potência instantânea é A potência média é (t) = ei c (t) e[v c (t)] = Lim T 0 A voltagem e corrente efectivas são definidas como T (t) d t = 2 I o V o V ef = 2 V o ; I ef = 2 I o e então essonância num circuito LC = I ef V ef Para um circuito LC em série com uma fonte de tensão harmónica V e (t) = V o e i ω t a impedância é Amaro ica da Siilva,IST -6- º Semestre

19 I(t) V e (t) L V s (t) C Z = Z + Z L + Z C = + i ( L - C ) = + i ω L - onde Z =, Z L = i L, Z C = -i C e L = ω L, C = são as reactâncias indutivas e ω C capacitativas. Esta fórmula resulta de observar que, no regime estacionário, A corrente é ω C I (t) = Z V e (t) = V o 2 + ( L - C ) 2 i (ω t -ϕ) e onde ϕ = tan - X L-X c. I (t) max = Z V (t) max = V o 2 + ω L - ω C 2 ω r = L C I ω ω r = L C À saida a tensão será onde φ s = tan - L- c - π 2 V s (t) = Z L I (t) = Z L Z V e (t) = L 2 + ( L - C ) 2 i ω t -φ V o e s º Semestre Amaro ica da Silva,IST

20 Para baixas frequências L = ω L 0, C = e a tensão à saída tende para zero ω C (a queda de potencial dá-se toda no condensador), enquanto que para altas frequências X L e a tensão à saida tende a imitar a tensão à entrada (i.e. a queda de potencial dáse toda na indutância). Pode ser visto com um filtro passa-altas frequências. Filtros Circuito -C: Filtro Passa-Baixos V e (t) C V s (t) V e = Z I = - i ω C I ; V e - V s = I V s V e = - i ω C - i ω C = + ( C ω) o i ωc = C -0-5 Passa-Banda ω Ve(t) L C Vs(t) Outros: Amaro ica da Siilva,IST -8- º Semestre

21 L C E C E L L C E E L C º Semestre Amaro ica da Silva,IST