Trabalho de Laboratório de Electromagnetismo e Óptica

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1 Trabalho de Laboratório de Electromagnetismo e Óptica Campo magnético B produzido por um enrolamento percorrido por uma corrente eléctrica; Lei de Faraday Fernando Barão, Manuela Mendes, Filipe Mendes Profs do Departamento de Física do IST Departamento de Física, IST

2 Estudo do campo magnético produzido por um enrolamento de N espiras percorrido por uma corrente eléctrica. Objectivos Utilização da lei de indução de Faraday para medição do campo magnético. Enrolamentos de espiras para produção de um campo magnético e para indução de uma força electromotriz Material Gerador de sinais Osciloscópio de 2 canais esistências de 10 kω Cabos para ligações eléctricas F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 2

3 1 Introdução teórica 1.1 Lei de Biot-Savart Um condutor percorrido por uma corrente eléctrica produz um campo magnético B. Dividindo o condutor em elementos infinitesimais de corrente Id l, o campo magnético produzido por cada um destes elementos num dado ponto a uma distância r é de acordo com a lei de Biot-Savart, db = µ 0 4π Id l u r r 2 onde µ 0 corresponde à permeabilidade magnética do vazio, que no Sistema Internacional de Unidades (SI) onde o campo magnético se exprime em Tesla (T), assume o valor 4π 10 7 T.m/A. O campo B é perpendicular quer ao elemento de corrente, quer ao vector posição r que liga o elemento de corrente ao ponto P; no caso da figura em que o elemento de corrente e o vector r se encontram no plano do papel, o campo B é perpendicular ao plano do papel e aponta na direcção oposta à do leitor. O campo magnético total no ponto P obtém-se, integrando o campo magnético ao longo de todo o condutor, B = µ 0 4π I d l u r (1) C r Campo magnético no eixo de uma espira de corrente O campo magnético produzido por uma espira de corrente de raio e percorrida por uma corrente eléctrica I pode ser obtida usando coordenadas cilíndricas (, θ, z). Assim, nestas coordenadas, o campo magnético produzido por um elemento de corrente infinitesimal Id l = I dθ u θ num ponto P ao longo do eixo da espira e a uma distância r = 2 + z 2 do elemento é: d B = µ 0 4π I dθ 2 +z 2 ( u θ u r ) A simetria existente na distribuição da corrente eléctrica tem como consequência a existência de campo magnético somente segundo OZ, uma vez que as componentes perpendiculares ao eixo da espira produzidas por elementos de correntes opostos, se anulam. Tem-se assim: db z = d B cosα onde α é o ângulo entre o eixo da espira e o campo B. F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 3

4 Assim, tendo em conta quecosα = / 2 + z 2 e que os vectores u θ e u r são perpendiculares (portanto o módulo do produto externo é 1!), pode-se calcular o campo magnético segundo o eixo da espira como: B z = µ 2π 0 4π I 2 0 ( 2 +z 2 ) 3/2dθ = µ 0 4π B(z) = µ 0 2 I 2 ( 2 +z 2 [θ]2π 3/2 0 ) I 2 ( 2 + z 2 ) 3/2 u z (2) Para se entender melhor o comportamento do campo magnético para pontos do eixo a grandes distâncias z da espira, pode-se reescrever a expressão (2) da seguinte forma: B(z) = µ 0 2 = µ 0 2 I 2 [ ( ) ] z 2 3/2 u z I u z [ 1 + ( ) ] z 2 3/2 (3) O campo magnético no centro da espira (z = 0), vem: B(z = 0) = µ 0 2 I u z (4) 1.3 Campo magnético produzido por um enrolamento de N espiras O campo magnético produzido por um enrolamento de N espiras num ponto P ao longo do seu eixo pode em primeira aproximação ser calculado somando os campos produzidos por cada uma das espiras, B = N i=1 B espira Esta aproximação é razoável se a espessura do enrolamento for pequena quando comparada com o seu raio. Tendo em conta a expressão do campo magnético derivada para a espira (2), tem-se então para um ponto a uma distância z ao longo do eixo da espira: F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 4

5 B(z) = µ 0 2 N I [ 1 + ( z u z ) ] 2 3/2 (5) No centro do enrolamento (z = 0) o campo magnético vem dado por: B(z = 0) = µ 0 2 N I u z (6) A expressão do campo magnético no eixo pode então ser reescrita em termos do campo magnético existente no centro do enrolamento como: B(z) = B (z=0) [ 1 + ( ) ] z 2 3/2 (7) 1.4 Força electromotriz num enrolamento: lei de indução magnética Pensemos num enrolamento T composto por N T espiras circulares de raio T, exposto a um campo magnético uniforme B, produzido por um enrolamento externo (E). O fluxo do campo magnético que atravessa o enrolamento T, devido ao campo externo, é dado por: Φ TE = N T B n ds (8) S onde n é um vector unitário e normal à área (S) da espira. Sendo Θ o ângulo entre n e B, tem-se: Φ TE = N T B π 2 T cosθ (9) Pela lei da indução de Faraday, a força electromotriz existente aos terminais do enrolamento T depende da variação no tempo do fluxo do campo magnético que o atravessa. Este fluxo de campo magnético pode-se escrever como a soma do fluxo devido ao campo externo e do fluxo auto-indutivo, Φ TT = L T I T : Φ T = Φ TT + Φ TE = L T I T + N T π 2 T cosθ B onde L T é o coeficiente de auto-indução do enrolamento. Vem então para a força electromotriz: F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 5

6 ε = dφ T dt = L T di T dt N T π 2 T cosθ db dt (10) O sinal negativo indica-nos que a polaridade da força electromotriz induzida é definida de forma a opôr-se a variação de fluxo Variação do campo magnético Consideremos que o campo magnético B é produzido por um enrolamento de N espiras circulares de raio que é atravessado por uma corrente eléctrica variável I(t). Assim, a variação no tempo do campo magnético deve-se à variação da corrente eléctrica. Por exemplo, no centro do enrolamento (z = 0), a variação do campo magnético (6) expressa-se como: db dt = d dt ( µ0 2 N I ) = µ 0 N 2 di dt (11) Corrente eléctrica triangular Admitamos que o enrolamento produtor do campo B é percorrido por uma corrente de forma triangular no tempo de amplitude I 0, tal como se mostra na figura ao lado. A derivada da corrente é uma constante, ora positiva (troço ascendente) ora negativa (troço descendente), de valor di dt = I t = I 0 ( I 0 ) T/2 = 2I 0 T/2 = 4I 0 T (12) +I 0 I 0 +ε 0 Ipp onde T = 1/f é o período da corrente. Para este tipo de corrente eléctrica, obtém-se então a variação do campo magnético no centro do enrolamento como: ε 0 T/2 db dt = µ 0 2 N 4 I 0 T = 2 µ 0 NI 0 1 T (13) F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 6

7 1.4.3 Corrente eléctrica sinusoidal Consideremos agora que o enrolamento produtor de campo é percorrido por uma corrente eléctrica I sinusoidal e amplitude I 0, I = I 0 sin(ωt). Tendo em conta que a derivada da corrente é dada por: di dt = I 0 ω cos(ωt) (14) a variação do campo magnético no centro do enrolamento vem dada por: db dt = µ 0 N 2 I 0 ω cos(ωt) (15) F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 7

8 2 Trabalho experimental 2.1 Objectivos Neste trabalho abordam-se os seguintes tópicos: produção de um campo magnético por um enrolamento de campo de N espiras. comparação do campo magnético produzido experimentalmente com o valor teórico calculado a partir da lei de Biot-Savart. medição do campo magnético com um enrolamento-sonda, usando a lei de Faraday. estudo da variação do valor do campo magnético produzido com a frequência da corrente eléctrica e com a distância ao enrolamento. 2.2 Montagem Na montagem experimental a realizar em laboratório, existe um circuito primário composto por uma resistência eléctrica 1 = 10 kω e por um enrolamento de N espiras circulares de raio e resistência eléctrica interna ic = 830 Ω. Este é o circuito responsável pela produção do campo magnético B que se pretende medir. Ao enrolamento existente neste circuito chamaremos o enrolamento de campo. Existe ainda um circuito secundário composto por um enrolamento de N T espiras circulares de raio T e resistência eléctrica interna is = 220 Ω em série com uma resistência eléctrica 2 = 10 kω. Ao enrolamento existente neste circuito chamaremos o enrolamento sonda ou sonda de campo. As resistências eléctricas 1 e 2 colocadas em ambos os circuitos servem para limitar as correntes eléctricas existentes quer no enrolamento de campo, I, quer no enrolamento sonda, I T. No canal 1 do osciloscópio observa-se o sinal de tensão aplicado pelo gerador V g (t) e no canal 2 observa-se a queda de tensão V 2 existente aos terminais da resistência 2. Aplicando a lei de F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 8

9 Faraday à malha constituída pelo enrolamento sonda e pelas resistências eléctricas 2 e is, tem-se: V 2 + is I T = dφ T dt V 2 + is I T ε T = 0 Note que para baixas frequências, os efeitos auto-indutivos no enrolamento sonda podem ser desprezados. Isto é, a variação do fluxo do campo magnético no enrolamento sonda e portanto a força electromotriz ε T é essencialmente devido ao campo magnético criado pelo enrolamento de campo. A corrente eléctrica que percorre o circuito do enrolamento sonda é dado por: I T = ε T 2 + is onde ε T é a força electromotriz medida aos terminais do enrolamento sonda. A queda de tensão aos terminais da resistência 2 é dada por: V 2 = ε T is 2.3 Campo magnético produzido pelo enrolamento de campo De acordo com o exposto na introdução teórica (expressão 5), o campo magnético produzido pelo enrolamento de campo de N espiras circulares de raio e percorrido por uma corrente I, para pontos situados ao longo do seu eixo, é dado aproximadamente por: B(z) = µ 0 2 N I 1 [ 1 + ( ) ] z 2 3/2 e z (16) 2.4 Força electromotriz induzida no enrolamento de teste (sonda) O enrolamento sonda composto por N T espiras circulares de raio T é colocado no eixo do enrolamento de campo, a uma distância variável z. A variação no tempo do campo magnético B produzido pelo enrolamento de campo nessa região, provoca o aparecimento de uma força electromotriz induzida, de acordo com a expressão (10). Em primeira aproximação, podemos considerar o campo magnético produzido pelo enrolamento de campo e que atravessa o enrolamento de teste, como uniforme e igual ao existente no eixo do enrolamento de campo. Tendo em conta o valor do campo magnético produzido pelo enrolamento de campo no seu eixo dado pela expressão (16), pode-se calcular a força electromotriz induzida (desprezando a auto-indução) como sendo: ε T = cosθ µ 0 2 N N T π 2 T 1 di [ 1 + ( ) ] z 2 3/2 dt onde Θ é o ângulo que as normais aos dois enrolamentos fazem. (17) caso A: corrente I(t) triangular de amplitude I 0 : F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 9

10 Como neste caso se tem di/dt = 4I 0 /T, vem: ε T = cosθ 2µ 0 N N T I 0 π 2 T 1 T 1 [ 1 + ( ) ] z 2 3/2 (18) caso B: corrente I(t) sinusoidal de amplitude I 0 : Como neste caso se tem di/dt = I 0 ωcos(ωt), vem: ε T = cosθ µ 0 2 N N π 2 T T I 0 ω cos(ωt) 1 [ 1 + ( ) ] z 2 3/2 (19) 2.5 Determinação do campo magnético a partir da medição da força electromotriz Da expressão (10) que relaciona a força electromotriz com a variação no tempo do campo magnético, podemos retirar a lei de variação do campo magnético: db dt ε cosθ π 2 T N T (20) Assim, para extrairmos o valor máximo do campo magnético variável, integra-se a expressão anterior, entre um tempo t 0 onde a corrente seja nula (e portanto o campo magnético é nulo) e um tempo t = t 0 + T/4 em que a corrente é máxima (e portanto o campo!): B 0 = 1 cosθ π 2 T N T t0+t/4 t 0 ε dt (21) caso A: corrente triangular: Da expressão (18) verifica-se que a força electromotriz induzida é constante ε 0 e inverte o seu valor em cada meio período ficando a expressão (21): B 0 = ε 0 cosθ π 2 T N T T/4 0 dt = T 4 ε N T π 2 T cosθ (22) caso B: corrente sinusoidal: Da expressão (19) verifica-se que a força electromotriz induzida é neste caso variável no tempo e dada por ε = ε 0 ωcos(ωt). Assim a expressão (21) fica: B 0 = ε 0 ω cosθ π 2 T N T T/4 0 cos(ωt)dt = ε 0 cosθ π 2 T N T (23) F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 10

11 Electromagnetismo e Óptica - MEEC elatório do trabalho de de Indução Identificação do Grupo N: Nome: N: Nome: N: Nome: Data de realização do trabalho: / / 2011, Horas: - Atenção: Os quadros 2 e 6 podem e devem ser preenchidos antes da sessão de laboratório! Pesquise antecipadamente o valor do campo magnético terrestre existente na zona de Lisboa Nos cálculos a efectuar considere as seguintes características para os enrolamentos: enrolamento de campo - número de espiras, N = raio, = 7,00 cm enrolamento sonda - número de espiras, N T = raio, T = 1,75 cm F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 11

12 3 Procedimento experimental 3.1 Montagens e ambientação à aparelhagem Montagem do circuito primário Proceda às ligações do circuito primário. Ligue o gerador de sinais ao enrolamento de campo em série com a resistência de 10 kω. Ligue o canal 1 do osciloscópio ao gerador de sinais. Produza uma onda triangular de amplitude 10 V e frequência 100 Hz e observe-a no osciloscópio. Verifique que a frequência do sinal gerado apresentada no mostrador do gerador de sinais corresponde ao sinal que observa no osciloscópio. Nota: um sinal de amplitude V 0 = 10 V corresponde a um valor medido no ecrâ do osciloscópio pico-a-pico de V pp = 2V 0 = 20 V. epita o procedimento para uma onda sinusoidal de características idênticas. Montagem do circuito secundário Proceda agora às ligações do circuito secundário (ou de teste). Ligue o enrolamento sonda em série com a resistência de 10 kω. Ligue a extremidade de um cabo ao canal 2 do osciloscópio e as pontas da outra extremidade à resistência eléctrica de 10 kω, observando assim a queda de tensão na resistência. Circuito Primário Circuito Secundário F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 12

13 3.2 Medição do campo magnético egiste no quadro 1 as características dos enrolamentos de campo e sonda com que vai trabalhar bem como das resistências totais dos circuitos primário, 1 + ic e secundário, 2 + is. Aplique uma tensão V g (t) de forma triangular de frequência f = 100 Hz no enrolamento de campo, com uma amplitude de sucessivamente 4,6,8 e 10 V. Preencha o quadro 2. Calcule a amplitude da corrente eléctrica I que percorre o circuito primário bem como o campo magnético esperado, produzido pela bobine de campo. Coloque o enrolamento sonda no centro do enrolamento de campo. Faça a medição no osciloscópio, da amplitude da queda de tensão na resistência 2 e calcule de seguida a força electromotriz ε T induzida no enrolamento sonda. Usando a expressão (22), determine o campo magnético no centro do enrolamento de campo (quadro 3). epresente graficamente os valores de campo magnético esperado e medido em função da tensão aplicada. Comente os resultados obtidos e compare os valores de campo obtido com o campo magnético à superfície da Terra, em Lisboa. F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 13

14 3.2.1 Medidas Características dos enrolamentos de espiras Quadro 1 Enrolamento de campo Enrolamento de teste N = N T = = 1 + ic = T = 2 + is = Determinação do campo magnético produzido pelo enrolamento de campo no seu centro Utilizando a expressão (6), determine a corrente eléctrica e o campo magnético que espera observar (B esp ) no centro do enrolamento de campo, para cada tensão aplicada V g. Quadro 2: a preencher antecipadamente V g I [A] B esp [T] egiste os valores medidos de amplitude da tensão aplicada (V g ), da tensão medida V 2, da amplitude da força electromotriz induzida calculada (ε T ) e o campo magnético máximo calculado a partir da expressão (22). Quadro 3: valores medidos V g [V] V 2 [mv] ε T [mv] B [T] 4 V 6 V 8 V 10 V Cálculos detalhados do campo magnético esperado B esp e campo magnético medido B, para o valor de tensão aplicada de 4 Volts: F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 14

15 epresentação gráfica dos valores de: 1) B esp = f(v g ) e 2) B = f(v g ) Comentários: Comente os resultados obtidos e compare os valores de campo obtido com o campo magnético à superfície da Terra, em Lisboa. F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 15

16 3.3 Medição da força electromotriz induzida Seleccione un sinal sinusoidal de tensão no gerador de sinais com uma amplitude de V g = 5 V e uma frequência de 50, 100, 500, 1000, 1500, 3000 e 5000 Hz. egiste a amplitude da queda de tensão V 2 e calcule a força electromotriz induzida no enrolamento sonda, ε T. epresente graficamente a variação da força electromotriz com a frequência. Comente os resultados. Quadro 4: valores medidos f [Hz] V 2 [mv] ε [mv] epresentação gráfica: ε(f) Comentários: F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 16

17 3.4 Variação da força electromotriz com os ângulos dos enrolamentos Seleccione un sinal sinusoidal de frequência 100 Hz e amplitude 5 Volts, no circuito primário. Coloque o enrolamento de teste no centro do enrolamento de campo, sendo Θ o ângulo entre os eixos dos enrolamentos. egiste a amplitude da queda de tensão aos terminais da resistência V 2 e calcule a força electromotriz induzida no enrolamento sonda, ε T, para os ângulos Θ = 0,45 e 90. Faça a razão entre as forças electromotrizes obtidas e comente os resultados. Quadro 5: valores medidos Θ ε [mv] Comentários: ε(θ = 45) ε(θ = 0) = F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 17

18 3.5 Variação da força electromotriz com a distância ao enrolamento Seleccione um sinal sinusoidal de frequência 100 Hz e 10 Volts de amplitude no circuito primário. Coloque o enrolamento de teste ao longo do eixo do enrolamento de campo, nas posições z = 0,1,2,3,4,5,8,10,15 cm. egiste para cada posição a amplitude da queda de tensão aos terminais da resistência V 2 e calcule a força electromotriz induzida no enrolamento sonda, ε T. Faça a razão entre as forças electromotrizes obtidas nas diferentes distâncias z e o ponto central z = 0. Compare os resultados com os valores previstos dados pela expressões derivadas atrás. Quadro 6: valores a calcular antecipadamente N = 2000 z [cm] ε(z) [mv] ε(z)/ε(z = 0) Cálculos detalhados para z = 0 e 10 cm F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 18

19 Quadro 7: valores medidos z [cm] V 2 [mv] ε(z) [mv] ε(z)/ε(z = 0) epresentação gráfica dos valores medidos e calculados: ε(z)/ε(z = 0) em função de z Comentários: F.Barao, M.Mendes, F.Mendes Electrom. e Óptica (MEEC-IST) 19

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