PUC-RIO CB-CTC. P2 DE ELETROMAGNETISMO quarta-feira. Nome : Assinatura: Matrícula: Turma:

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Luiz Eduardo de Sequeira Malheiro
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1 PUC-RIO CB-CTC P DE ELETROMAGNETISMO quarta-feira Nome : Assinatura: Matrícula: Turma: NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS E CÁLCULOS EXPLÍCITOS. Não é permitido destacar folhas da prova Questão Valor Grau Revisão 1 a Questão 3,5 a Questão 3,5 3 a Questão 3,0 Total 10,0 A prova só poderá ser feita a lápis, caneta azul ou preta e NÃO é permitido o uso de calculadoras eletrônicas. Formulário: 4 3 Volumes: π R (Esfera de raio R) 3 π R L (Cilindro de raio R e comprimento L) Superfícies : 4 π R (Esfera de raio R) π RL (Cilindro de raio R e comprimento L) dx ( x + a ) xdx 3 x = a ( x + a ) 1 = 1 ( x + a ) 3 ( x + a ) xdx ( a x) 1 a = + ln a x a x xdx ( x + a ) 1/ = x + a

2 P 3/10/013 1 a Questão (3,5) No circuito da figura, os capacitores C 1, C e C 3 têm as seguintes propriedades: C 1 e C : inicialmente descarregados, ambos com meio de constante dielétrica k = 5 e capacitância de x 10-9 F. C 3 : carga inicial de 10-9 C, tipo placas paralelas com vácuo entre elas e de capacitância igual a F. R ε ε - A S 1 R B S R R C 1 C r C 3 D Neste circuito, ocorrem as seguintes fases sucessivas: Fase 1: chave S 1 fechada e S aberta durante longo tempo. Fase : chaves S 1 e S abertas, o meio dielétrico de C 1 e C é substituído por vácuo e a separação das placas de C 3 é alterada. Fase 3: chave S 1 aberta e S fechada durante longo tempo. Considerando ε 1 = ε = 5 V, R = 1 kω e r = 10 kω, determine: a) (1,0) As d.d.p. V A V B, V B V C e V D V C em função do tempo durante a fase 1. b) (0,8) A carga em C 1 e C no final da fase 1. c) (0,9) Qual deve ser o aumento da separação das placas de C 3 durante a fase para que a corrente no resistor r seja nula durante toda a fase 3. d) (0,8) A diferença entre a energias armazenadas em C 3 na fase 1 e no final da fase. C SOLUÇÃO a) Fase1: carregamento de C 1 e C em série; circuito simplificado na fase1 implica em ε eq = ε 1 + ε = 10 V, R eq = R = 1 KΩ e Ceq = 10-9 F (V B V C ) (t) = 10 (1 - t R eq C e / eq ) = 10 ( 1 - e -1000t ) V (V A V B )(t) = R eq i (t) ; i(t) = i(0) t R eq C e / eq início da fase 1: C 1 e C sem carga (equivalente a um curto ) i(0) = (ε 1 + ε ) / R eq = 10/1=10 ma (V A V B )(t) = 10 e t V D V C = q 3 / C 3 = 10-9 / = 10 V b) final da fase 1 com C 1 e C em série e plenamente carregados: q1 = q = q eq = (ε 1 + ε ) Ceq = 10-8 C c) final da fase substituição do meio dielétrico C 1 = C = ( x 10-9 ) /5 C eq = 10-9 /5 ; conservação da carga q eq = 10-8 C V B V C = q eq / C eq = 5 x 10 = 50 V corrente nula em r na fase 3 V C3 = V B V C = 50 V = q3 / C 3 = 10-9 / C 3 C 3 = C 3 /5; V

P 3/10/013 capacitor de placas paralelas : C 3 placas 1/ separação das placas aumento de 5 vezes na separação das d) fase1: U 3 = ½ (q 3 ) / C

1 mostra um segmento retilíneo de comprimento L de um fio que conduz corrente i no sentido +z. O centro do segmento está na origem.

a) (1,5) Mostre, utilizando explicitamente a lei de Biot-Savart, que o vetor campo magnético em P devido a todo o segmento é dado por: r μ i L

O módulo do μ0 i campo magnético devido ao fio infinito no ponto P é dado por B0 =.

O segmento tem comprimento L = d e está simetricamente disposto em relação ao ponto P e dista d/ dele.

3 P 3/10/013 capacitor de placas paralelas : C 3 placas 1/ separação das placas aumento de 5 vezes na separação das d) fase1: U 3 = ½ (q 3 ) / C 3 = 5 x 10-9 J final da fase : U 3 = ½ (q 3 ) / C 3 = 5 x 10-9 J Δ U = 0 x10-9 J a Questão: (3,5) A Fig. 1 mostra um segmento retilíneo de comprimento L de um fio que conduz corrente i no sentido +z. O centro do segmento está na origem. Um ponto P está sobre o eixo y à distância d da origem. a) (1,5) Mostre, utilizando explicitamente a lei de Biot-Savart, que o vetor campo magnético em P devido a todo o segmento é dado por: r μ i L B = 0 ( ˆ) 4 d x π L + d 4 Considere agora a Fig. que mostra um ponto P à distância d de um fio infinito com corrente i. O módulo do μ0 i campo magnético devido ao fio infinito no ponto P é dado por B0 =. A figura mostra também um π d segmento retilíneo com corrente i S antiparalela a i. O segmento tem comprimento L = d e está simetricamente disposto em relação ao ponto P e dista d/ dele. b) (1,0) Quanto deve valer a corrente i S para que o módulo do campo total em P seja 3B 0? Considere agora a Fig. 3 que mostra uma espira quadrada de lado d que conduz uma corrente de valor i. A espira é centrada em P. c) (1,0) Utilizando o resultado do item (a), calcule o módulo do campo magnético em P em função de μ 0, d e i. A corrente i deve circular na espira no sentido horário ou anti-horário para que o campo em P tenha sentido saindo do papel?

4 SOLUÇÃO P 3/10/013

5 P 3/10/013 3 a Questão: (3,0) Parte I. Em uma determinada região existe uma densidade de corrente uniforme de 30 A/m no sentido positivo do eixo z. r a) (1,5) Qual é o valor de B ds r quando a integral de linha é tomada ao longo do contorno amperiano formado pelos três segmentos de linha reta que conectam, consecutivamente, os pontos (d,0,0), (d,3d,0), (0,0,0) e (d,0,0), onde d = 30 cm? Parte II. Um duto cilíndrico muito longo, com um raio externo R, conduz uma corrente (uniformemente distribuída) i 0 (no sentido saindo da página, veja a figura abaixo). Um fio infinito corre paralelo ao duto a uma distancia 3R de centro a centro. b) (1,5) Calcule a intensidade (em termos de i 0 ), a direção e o sentido da corrente i que deve passar no fio para que o campo magnético em P seja nulo. Fio P Duto (vista de cima) R R R SOLUÇÃO Parte I. r r a) A lei de Ampere estabelece que ds = μ I, onde I é a corrente que atravessa a área do caminho B 0 de integração. Neste caso, como a corrente esta no sentido positivo de z e o sentido do caminho de integração junto com a regra da mão direita faz com que a corrente que atravessa a área seja positiva. Para calcular a corrente temos que multiplicar a densidade de corrente J pela área do triangulo. Assim: Parte II. ( d )( 3d )/ = 3 J d = ,3 = 8, A I = + J área = J 1 portanto: r r 7 B ds = μ0 I = 4 π 10 8,1 = Tm b) Como a corrente no duto aponta para fora da folha, então no ponto P ele produz um campo que é perpendicular à linha que liga o centro do duto ao ponto P e no sentido para baixo. Se queremos que

6 P 3/10/013 a corrente no fio produza um campo magnético que seja nulo no ponto P a única possibilidade é que a corrente no fio também esteja no sentido para fora do folha, caso contrario todos os campos iram apontar no mesmo sentido. Fio P B fio Duto (vista de cima) B duto R R R Neste caso, no ponto P o duto produz um campo que aponta para baixo com modulo (μ 0.i 0 /4πR), enquanto que o fio produz em P um campo que aponta para cima com modulo (μ 0.i /πr). Como queremos que o campo resultante no ponto P seja nulo, então : (μ 0.i 0 /4πR) - (μ 0.i /πr) = 0 i = i 0 /

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