Eletromagnetismo II. 4 a Aula. Professor Alvaro Vannucci. nucci

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Mariana Pais
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2 Na aula passada vimos... Potência MédiaM dia (Circuito RLC) P 0 = ω = 1 I 0ε0 cos Ressonância: 1 LC θ Fator de Qualidade: Fator de Potência Frequência Natural ( minimiza Z = R e I circ. é a máx. Possível ) Q ω = = ω ω L 0 0 R

3 Equações de Maxwell 1) D = ρ Lei de Gauss ) B = 0 Inexistência do Monopolo Magnético B 3) E = Lei de Faraday t D 4) H = J + Lei de Ampère modificada t para meios lineares: D = ε E B = µ H

4 Importante lembrar também... m... Teorema de Stokes: C F dl = F n da S ( ) ˆ Teorema do Divergente: S F nˆ da = F dv V ( ) Equação da Continuidade: (conservação da carga) ρ J + = t 0

5 Vejamos agora importantes resultados previstos pelas Eqs. de Maxwell 1 - Conservação de Energia em sistemas que envolvem E e B variando no tempo. - Existência de Ondas EM campos E e oscilantes. B

6 1- Energia do campo eletromagnético tico multiplicando a eq.. (4), escalarmente, por : E ( ) D H = E J + E e usando que: = ( A B) B ( A) A ( B) ( E ) ( E ) D H + H = E J + E igualmente,multiplicando a eq. (3) escalarmente por B E = ( E ) E ( ) B H + H = H t E ; A = H B = E (5) H (6)

7 Fazendo (6) (5): + + = ( E H ) E ( H ) ( E H ) H ( E) B D = H E J E t t E + E E = Comparar! ( H ) ( H ) H ( ) ( H E) ( E H) B = H E J E t D t ( A B) = B ( A) A ( B)

8 Mas... Então: ( ) B D E H = H E E J (7) D E 1 ( E ) 1 ( E E) E = ε E = ε = ε D 1 ( E D) da mesma E = B 1 H B H = forma: t t ( ) Em (7): ( ) 1 1 E H = + H B E D E J + + (8) Densidade de energia Magnética u M Densidade de energia Elétrica u E

9 Integrando a equação (8) no volume e aplicando o Teorema do Divergente no lado esquerdo: S F nˆ da = F dv V ( ) E H 1 H B 1 = + + E D + E J = F ( ) 1 E H nˆ da = + + ( ) H B E D dv E J dv t V V S Define-se E H = S (9) Vetor de Poynting Energia por unidade de Tempo, por unidade de Área, que atravessa Superfície de área S Potência por unidade de área

10 Portanto: S H n da Energia que atravessa a ( E ) ˆ Enquanto que o termo da eq. (9): superfície fechada S, por unidade de tempo. t 1 + H B E D V dv corresponde à energia contida no volume V (abrangido pela superfície S) na forma de campos eletricos e magnéticos que variam no tempo Quanto ao termo: E JdV V Energia correspondente ao efeito Joule!

11 Para mostrar isso, supor fio condutor de resistividade ρ,, comprimento l,, corrente I e seção transversal A. A ρl Pd = RI = JA A 1 Mas : ρ = e J = σ E σ P d = J E V ( ) l Integrando no Volume, tenho a P dis Total: P d = ρlaj = ρj la P d 1 = ρj J = J σ E V σ ( P E J ) dv Ω = V c.q.d.

12 Assim, a eq. (9): ( ) 1 E H nˆ da = + + ( ) H B E D dv E J dv t V V S estabelece a Conservação de Energia em uma região do espaço, de volume V, delimitada pela superfície S. S - Equação da onda para o Campo Magnético Estaremos considerando ondas EM em um meio linear,, para o qual valem D = ε E e B = µ H; ε e µ independentes do tempo.

13 tomando o rotacional da equação (4) Lei de Ampère re: ( ) D H = J + t e aplicando: A = A A e aplicando: ( ) ( ) = + t ( H ) H σ ( E) ε ( E) = 0 = B B B t t H H H εµ σµ = H = σ ε ( B = µ H ) 0 D = ε E usando : J = σ E Eq. de Onda para o campo magnético

14 Igualmente, tomando o rotacional da equação (3) Faraday: ( E) E = µ ( H ) = 0 E = µ J + D ; lembrando que : D = ε E J = σ E Então: E E E εµ σµ = 0 Eq. de Onda para o campo elétrico Estes resultados irão fornecer a propagação do campo EM em meios lineares, homogêneos, com dens. de cargas líquidas l ρ = 0. 0

15 Supondo ondas monocromáticas (frequência única ) a análise da propagação das ondas EM torna-se razoavelmente simples. Para o campo elétrico, por exemplo, a solução da Eq. de Onda é da forma (solu( solução de onda plana): Dependência espacial Derivando e subst. na Eq. de Onda: i t E( r, t) = E( r ) e ω Dependência temporal = E( r) + εµ ω E( r) + iωσµ E( r ) = 0 E E E εµ σµ 0 Esta equação rege a dependência espacial do campo elétrico; e o que vamos fazer agora é analisar um caso bastante simples:

16 σ = 0 ε = ε µ = µ 0 Vácuo: 0 E z ( ) ω + E ( z) = 0 z Solução: Assim: Propagação no Espaço o Vazio (em 1D) c ± ikz E z = E e ( ) 0 ão: ; Assim: ( ) ( ) 0 ( ) εµω ( ) ωσµ ( ) 0 E r + E r + i E r = Substituindo e supondo a onda propagando-se na direção do eixo z: ; K E z, t = E cos ω t ± c = 1 ε µ 0 0 π π f ω = = = λ c c para dielétricos: π π K = = = λ vt π f = ; v ω K = n c ( n = c / v) Kz Solução de Onda Plana Sentido de Propagação

18 Agora, só para terminar... Ressonância ou Propagação de Onda? (Hoje é 6a feira!! Cadê a pipoca?)

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