Eletromagnetismo Aplicado Propagação de Ondas Eletromagnéticas

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1 Eletromagnetismo Aplicado Propagação de Ondas Eletromagnéticas (Revisão) Heric Dênis Farias

2 PROPAGAÇÃO DE ONDAS ELETROMAGNÉTICAS Ondas Eletromagnéticas são uma forma de transportar energia ou informação. Características: Viajam em alta velocidade; Ao se propagarem apresentam propriedades ondulatórias; São irradiadas a partir de uma fonte sem a necessidade de um meio material. 2/19

3 A propagação de ondas EM será estudada nos seguintes meios: espaço livre: σ = 0, ε = ε o, µ = µ o dielétricos sem perdas: σ = 0, ε = ε r ε o, µ = µ r µ o dielétricos com perdas: σ 0, ε = ε r ε o, µ = µ r µ o, σ ωε bons condutores: σ, ε = ε r ε o, µ = µ r µ o, σ ωε 3/19

4 PROPAGAÇÃO EM DIELÉTRICOS COM PERDAS Este é o caso geral da propagação de ondas EM do qual derivam os demais casos. As ondas perdem energia à medida que se propagam devido a condutividade deste meio. Assumindo um meio linear, isotrópico e homogêneo, livre de cargas (ρ v = 0), as equações de Maxwell na forma fasorial tornam-se: E s = 0 H s = 0 E s = jωµh s H s = (σ + jωε)e s (1a) (1b) (1c) (1d) 4/19

5 Determinando o rotacional de ambos os lados da equação 1c e utilizando a identidade vetorial: obtém-se: ( A) = ( A) 2 A (2) onde 2 E s γ 2 E s = 0 (3) γ 2 = jωµ (σ + jωε) (4) γ é chamada de constante de propagação do meio. De forma similar, utilizando a equação 1d, obtém-se: 2 H s γ 2 H s = 0 (5) 5/19

6 As equações 3 e 5 são conhecidas como equações vetoriais homogêneas de Helmholtz ou equações vetoriais de onda. γ é uma quantidade complexa, ou seja: Das equações 4 e 6 vem que γ = α + jβ (6) Re{γ 2 } = α 2 β 2 = ω 2 µε; γ 2 = β 2 + α 2 = ωµ σ 2 + ω 2 ε 2 assim, α e β são [ ] α = ω µε [ σ ] ωε [ ] β = ω µε [ σ ] ωε (7a) (7b) 6/19

7 Sem perda de generalidade, assumindo que a onda se propaga ao longo de +a z e que E s tem somente componente x, ou seja, alinhando os eixos coordenados com as direções de campo e de propagação substituindo na equação 3: E s = E xs (z)a x (8) 2 E xs (z) γ 2 E xs (z) = 0 2 E xs (z) } x 2 {{ } =0 + 2 E xs (z) y E xs (z) z 2 γ 2 E xs (z) = 0 (9) onde os dois primeiros termos são nulos pois E xs é uma função somente de z, assim d 2 dz 2 E xs (z) γ 2 E xs (z) = 0 (10) 7/19

8 Esta é uma equação diferencial linear e homogênea, uma equação de onda escalar, a qual tem a solução: E xs (z) = E o e γz + E oe γz (11) Como considerou-se que a onda se propaga na direção +a z, a constante E o = 0, pois e γz representa uma onda se propagando ao longo de a z. Retornando a forma temporal, obtemos: E(z, t) = R [ E xs (z)e jωt a x ] = R [ E o e αz e j(ωt βz) a x ] E(z, t) = E o e αz cos(ωt βz)a x (12) 8/19

9 A figura mostra um esboço do campo elétrico no espaço, para os tempos t = 0 e t = t. A partir de E(z, t), obtém-se H(z, t) através das equações de Maxwell: ] H(z, t) = R [H o e αz e j(ωt βz) a y (13) 9/19

10 Onde H o = E o η (14) η é uma quantidade complexa conhecida como impedância intrínseca do meio, dada em Ohms. assim jωµ η = σ + jωε = η θ η (15) H(z, t) = E o η e αz cos(ωt βz θ η )a y (16) 10/19

11 Nota-se, que conforme a onda se propaga ao longo de a z, ela se atenua pelo fator e αz, portanto, α é denominada de constante de atenuação ou fator de atenuação do meio, em nepers por metro (Np/m) ou decibéis por metro (db/m). A quantidade β é o deslocamento de fase por unidade de comprimento (rad/m) chamada de constante de fase ou número de onda, a partir de β, é possível obter a velocidade de fase u e o comprimento de onda λ: u = ω β, λ = 2π β (17) 11/19

12 Nota-se das equações a seguir que E e H estão fora de fase por θ η devido a impedância intrínseca do meio: E(z, t) = E o e αz cos(ωt βz)a x (18) H(z, t) = E o η e αz cos(ωt βz θ η )a y (19) A razão entre os módulos da densidade de corrente de condução J e a densidade de corrente de deslocamento J d é: ou J s J ds = σe s jωεe s = σ ωε = tanθ (20) tanθ = σ ωε (21) onde tanθ é a tangente de perdas e θ é o ângulo de perdas do meio. 12/19

13 Um meio é considerado um bom dielétrico (sem perdas ou perfeito) se tan θ = 0. Um meio é considerado um dielétrico com perdas se a tanθ é muito pequena (σ ωε). Um meio é considerado um bom condutor se a tanθ é muito grande (σ ωε), ou θ 90. Do ponto de vista da propagação da onda, o comportamento característico de um meio depende não só dos seus parâmetros constitutivos σ, ε e µ, mas também da frequência de operação. 13/19

14 PROPAGAÇÃO EM DIELÉTRICOS SEM PERDAS Em um dielétrico sem perdas, σ ωε Desta forma, obtém-se σ 0, ε = ε r ε o, µ = µ r µ o (22) Portanto E e H estão em fase no tempo. α = 0, β = ω µε (23) u = ω β = 1, λ = 2π (24) µε β µ η = ε 0 (25) 14/19

15 PROPAGAÇÃO NO ESPAÇO LIVRE Neste caso σ = 0, ε = ε o, µ = µ o (26) desta forma, as equações se reduzem a α = 0, β = ω µ o ε o = ω c u = ω β = 1 = c, λ = 2π µo ε o β (27) (28) µo η = η o = = 120π 377Ω (29) ε o Onde c m/s é a velocidade da luz no vácuo e η o é denominado impedância intrínseca do espaço livre. 15/19

16 A figura mostra os campos E e H, para um dielétrico sem perdas ou para o espaço livre (pois os campos estão em fase). Em geral, se a E, a H, a k forem os vetores unitários ao longo do campo E, do campo H e da direção de propagação da onda, pode ser demonstrado que a E a H = a k. Ou seja, tanto o campo E quanto o H são normais a direção de propagação da onda, ou seja, os campos estão em um plano transverso à direção de propagação. Por este motivo esta onda é chamada transversal eletromagnética (TEM) ou onda plana uniforme. 16/19

17 A orientação na qual aponta o campo elétrico é chamada de polarização da onda TEM, a onda na figura anterior, por exemplo, está polarizada na direção x. Uma onda plana uniforme não pode existir fisicamente, pois ela se estende até o infinito e representaria uma energia infinita. Entretanto, essas servem como aproximações de ondas reais como as geradas por antenas de rádio, a grandes distâncias das emissoras. 17/19

18 PROPAGAÇÃO EM BONS CONDUTORES Em um bom condutor, σ ωε, desta forma Também, σ, ε = ε o, µ = µ r µ o (30) ωµσ α = β = = πf µσ (31) 2 u = ω β = 2ω µσ, λ = 2π (32) β jωµ ωµ η = σ = σ 45 (33) 18/19

19 Portanto, E está adiantado com relação a H de 45. Se então E = E o e αz cos(ωt βz)a x (34) H = E o ωµ/σ e αz cos(ωt βz π/4)a y (35) A medida que a onda se propaga em um meio condutor, sua amplitude é atenuada por um fator e αz. A distância δ na qual a amplitude da onda decresce por um fator e 1 37% é chamada de profundidade de penetração pelicular do meio, ou seja δ = 1 α (qualquer meio); δ = 1 πf µσ (bons condutores) (36) 19/19

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