n.estudante:... Eletromagnetismo / MIEEC; frequência 7 de junho de 2016;.uc.

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1 -Recibo- Docente:... nome n.estudante:... Eletromagnetismo / MIEEC; frequência 7 de junho de 2016;.uc. Recibo da Prova /Instruções Não desagrafar! Em cada pergunta só há uma resposta certa e só uma das justificações é a adequada. As perguntas têm todas igual cotação. i) As respostas sem qualquer justificação ou com justificação errada valem 1/2 da sua cotação; ii) uma justificação correta não acompanhada de resposta vale 1/4 dessa pergunta; Resolva cada questão e no fim registe a sua escolha na matriz da página seguinte. A avaliação baseia-se em princípio apenas no que tiver escrito nessa matriz. Mas os rascunhos são também parte integrante da prova e podem eventualmente ser objeto de análise para efeitos da avaliação e suscitar esclarecimentos orais, se as respostas denotarem algum padrão aleatório. Assinale a sua opção: 1 parte1; 2 parte2; 1&2 partes1&2; prova-una-global Prova-una-global:: faz só as questões: 1, 2, 4, 6, 10, 11, 13, 15, 18, 19, 20, 23 (sem partes) Questão Resposta Justificação Questão Resposta Justificação parte

2 ii.uc.

3 Docente:... nome n.estudante:... Eletromagnetismo / MIEEC; frequência 7 de junho de 2016;.uc. Matriz de respostas e justificações Assinale a sua opção: 1 parte1; 2 parte2; 1&2 partes1&2; prova-una-global Prova-una-global:: faz só as questões: 1, 2, 4, 6, 10, 11, 13, 15, 18, 19, 20, 23 (sem partes) Questão Resposta Justificação Questão Resposta Justificação parte

4 iv.uc. 1 Um campo eletrostático numa dada região do espaço é dado por: ( ) r 3 r2 ê r, r a 4a k E = k a3 12r 2 êr, r > a onde k e a são constantes positivas e (r, θ, φ) são coordenadas esféricas. A densidade superficial de carga total em r = a é: a) σ = 0 b) σ = ε 0 ka/12 c) σ = ka/12 a/3 d) σ = ε 0 kr 3 /3 e) σ = a3 12r 2 f) σ = ε 0 ka 3 /3 A) pela condição de fronteira da componente normal do campo B) pela simetria do campo e o facto de div E ser nula C) pela lei de Gauss S E d s = q/ε D) pela lei de Coulomb aplicada ao campo E E) pela lei de Gauss E = 0 F) fazendo σ = ε 4πa 2 E 2 Com referência à questão anterior. o potencial eléctrico em r > a é: a) V (r) = ka 3 /(12r) b) V (r) = 12kr/a 3 c) V (r) = 0 d) V (r) = ka 3 /(12r 2 ) e) V (r) = ka 3 /(12r) f) V (r) = ka 2 /12 Justificação/porquê: A) integrando E = V B) integrando V de 0 a a C) pelo integral de linha de E num contorno de raio a D) pelo integral de E entre 0 e a E) pelo teorema de Gauss num contorno fechado F) pela circulação de E entre 0 e a 3 Com referência à questão que precede a anterior. A carga total contida na região r a é: a) Q = πε 0 ka 3 /3 b) Q = ε 0 ka/12 c) Q = 0 d) Q = 4πε 0 k/3 e) Q = ε 0 k (1 r/a) f) Q = ε 0 kr/a A) integrando a div E em r < a e/ou E em r = a B) considerando que Q = CV, onde V é o potencial em r = a C) usando a lei de Coulomb em r a D) usando U = CV 2 /2 e U = QV, com V o potencial em r = a E) integrando a div E em r = a F) integrando σ em todo o volume r a

5 .uc. v 4 Num cilindro de raio R e comprimento L R, distribuem-se cargas livres com uma densidade volumétrica que varia com a distância r ao eixo do cilindro, sendo ρ l = αr (C/m 3 ); onde α é uma constante e (r, φ, z) são coordenadas cilíndricas. O cilindro é dielétrico e o material tem permitividade eléctrica ε. O vector deslocamento em r > R é: a) D = αr 3 /(3r) ê r b) D = αrr/(3ε) ê r c) D = εαr/r ê z d) D = αr 2 /(3R) ê z e) D = εr 2 /(3R) ê r f) D = αr/r ê r A) integrando a eq. D = ρ l e usando a simetria B) usando a eq. D = ε E e sabendo E C) sabendo que D = ε E + P em qualquer meio D) pelo S D d s = q numa secção transversal do cilindro E) fazendo a circulação de D numa superfície concêntrica e usando a simetria F) fazendo a circulação de D entre 0 e R e usando a simetria 5 Com referência à questão anterior, suponha que o dielétrico é linear, homogéneo e isotrópico, e que a polarização em todo o cilindro é P = ε0χe 3ε αr2 ê r, onde χ e = ε r 1, com o significado habitual. A distribuição de cargas de polarização no interior do cilindro é: a) ρ p = ε ε0 ε αr b) ρ p = εαr/3 c) ρ p = ε0 3ε αr d) ρ p = ε ε0 ε αr 3 /3R 2 e) ρ p = αr 2 /ε f) ρ p = ε 0 r/εαr A) porque P = ρ p B) porque ˆn ( P + P ) = σ p C) porque ρ p = (1 + ε)ρ l D) porque P é axial E) porque no interior do material ρ p = ρ F) porque ρ p tem a simetria de ρ 6 Um fio retilíneo cilíndrico, de raio R, transporta uma corrente estacionária, i. O campo em pontos do volume do cilindro é B = µ0ir 2πR 2 ê ϕ, com B 0 constante, e (r, ϕ, z) são coordenadas cilíndricas. A densidade de corrente é: a) j = i πr 2 ê z b) j = ir 2πR 2 ê z c) j = ir2 πr 2 ê z d) j = i πr 2 ê z e) j = i 2πR êϕ f) j = i 4πR 2 ê z A) pela lei de Ampère diferencial B) pela lei de Gauss diferencial C) pela lei de Biot-Savart D) pela lei de Faraday diferencial E) pela lei de Ampère num contorno r = R F) pela lei de Ampère num contorno com r constante

6 vi.uc. 7 Com referência às condições da pergunta anterior. A indutância por unidade de comprimento associada ao volume do fio, L, é: a) L = µ0 8π b) L = µ0r4 8π c) L = R4 2πµ 0 d) L = µ0 2π e) L = π3 3µ 0 f) L = 2πµ0R3 3 A) porque il = S B ˆnds = 2U B i B) porque ˆn ( B + B ) = kµ 0 = µ 0 k C) porque por simetria B = 0 no interior D) porque não há correntes de magnetização no cilindro E) porque B = 0 no exterior F) pelo teorema de Stokes e Gauss o fluxo é nulo em r = R 8 Um condensador tem placas planas e paralelas de área a, separadas pela distância b. Entre as placas há um dielétrico de permitividade ε. Aplica-se uma diferença de potencial V entre as placas. A carga em cada placa (módulo) é: a) Q = V ε a b b) Q = V ε a ε 0 b c) Q = V a εb d) Q = V ε0 ε a b e) Q = V ε a2 b 2 f) Q = V a ε 0b A) usando a simetria e a lei de Gauss a englobar uma placa B) usando a simetria e a lei de Gauss no espaço entre placas C) usando a simetria e a lei de Gauss num contorno fechado entre placas D) usando a simetria e as condições de fronteira entre placas E) usando a simetria e o facto de E ser conservativo F) usando a simetria e a lei de Coulomb aplicada numa das placas 9 Com referência à questão anterior, suponha que a rigidez elétrica do dielétrico (i.e., o campo de disrupção) é E R. A tensão máxima que o condensador suporta é: a) V = E R b b) V = εe R b c) V = (1 ε 0 /ε)e R b d) V = ε ε 0 E R b e) V = ε0 ε E Rb f) V = (1 ε/ε 0 )E R b A) integrando o campo E ao longo de uma linha entre as placas B) integrando o potencial entre as duas placas C) fazendo d E = d V e anulando para obter a tensão máxima. D) calculando a circulação de V ao longo de uma linha entre as placas E) fazendo E dl = Edl = de no integral do potencial para obter o max. F) fazendo o integral do potencial ao longo das linhas de campo

7 .uc. vii 10 Com referência à questão anterior, considere o caminho em linha reta que vai da placa com carga negativa para a outra, fazendo sempre em cada ponto um ângulo α em relação às placas. O integral de caminho do campo E é: a) V b) V c) εv a b sin α d) nulo e) ε ε 0 V cos α f) εv sin α A) porque dv = E d l B) pela lei de Gauss, S D d s = q C) pela eq. V = Q/C e visto que por simetria E é ao longo das placas D) porque α é constante em toda a linha E) porque num condensador as placas têm sempre cargas simétricas F) porque em cada ponto E é uma linha reta 11 Considere as afirmações, analise a sua veracidade e identifique as verdadeiras. α Encontrada a função que descreve todos os valores do potencial elétrico sobre uma superfície fechada, esta é a única solução possível para essa situação. β Um campo conservativo pode-se escrever sempre na forma de um gradiente de uma outra função. γ Uma região incluída numa gaiola de Faraday está eletricamente isolada:- o campo elétrico exterior não chega ao interior nem o campo existente no interior passa para o exterior. δ As condições de fronteira na interface entre dois dielétricos quaisquer são as que resultam de se considerar a equação integral, S D d s = q l numa superfície esférica através do plano da interface. As afirmações verdadeiras são: a) α, β b) α, β, γ c) α, β, δ d) β, δ e) α, δ f) β, γ A) pelas eqs. de Maxwell, teoremas fundamentais e propriedades da matéria B) pela continuidade eletromagnética do vazio C) pela conservação da energia do vazio D) pela isotropia do vazio E) pela simetria do espaço e do tempo F) pela continuidade do tempo 12 Considere as afirmações, analise a sua veracidade e identifique as verdadeiras. α Um condutor ideal percorrido por uma corrente estacionária tem necessariamente campo elétrico não nulo e está a um potencial com um valor bem definido. β A energia magnética é nula em todos os pontos em que não haja correntes, nem volumétricas nem superficiais. γ Entre dois circuitos 1 e 2, o fluxo magnético que um circuito 1 produz num circuito 2 é o mesmo que o circuito 2 produz no circuito 1 se qualquer deles for percorrido pela mesma corrente. δ Aplicando a divergência à eq. estacionário. B = µ 0 j obtém-se a equação de continuidade em regime

8 viii.uc. As afirmações verdadeiras são: a) δ, γ b) β, γ c) α, β, δ d) β, δ e) α, β f) α, δ A) pelas eqs. de Maxwell e teoremas fundamentais B) pela continuidade eletromagnética do vazio C) pela conservação da energia do vazio D) pela isotropia do vazio E) pela simetria do espaço e do tempo F) pela continuidade do tempo 13 Uma espira retangular de dimensões l e h, massa m e resistência elétrica R cai, sob a ação da força da gravidade, saindo de uma zona onde há um campo magnético uniforme, B. O campo é perpendicular ao plano da espira e aponta para fora da folha de papel (ver figura); fora dessa região o campo é nulo. No instante em que o lado inferior da espira começa a sair da região de campo magnético, a sua velocidade instantânea é v. Define-se o sentido positivo de circulação como o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. A corrente que então circula na espira é: a) I = Blv/R, sentido positivo b) I = Blv/R, sentido negativo c) I = B 2 l 2 v/r, sentido positivo d) I = B 2 l 2 v/r, sentido negativo e) I = Blh/R, sentido positivo f) I = Blh/R, sentido negativo A) usando as leis de Faraday e de Ohm B) usando as leis de Gauss e de Ohm C) usando as leis de Ampère e de Ohm D) usando as leis da força de Lorentz e de Laplace E) usando as leis de Gauss e Ampère F) usando as leis de Faraday e Ampère 14 Com referência à questão anterior, considere a força total que atua na espira devido à interação do campo B com a corrente I nela induzida. Sendo y x, a força magnética é: a) F = B 2 l 2 v/r ê y b) F = 0 c) F = B 2 h 2 v/r ê x d) F = mg ê y e) F = ( mg B 2 l 2 v/r ) ê y f) F = BI ê y A) usando a lei da força de Laplace B) usando a lei de Biot-Savart na espira C) usando a lei de Ampère D) usando as leis de Ampère e Ohm E) usando as leis de Faraday e de Ampère F) usando as leis de Faraday e/ou de Gauss

9 .uc. ix 15 Um cilindro muito longo de raio a, magnetizado, rodeado por ar, tem o seu eixo segundo Z e é percorrido por uma corrente volumétrica livre J l = J 0 (r/a)ê z. A sua magnetização é M = M 0 (r/a) 2 ê φ. J 0 e M 0 são constantes positivas e (r, φ, z) são coordenadas cilíndricas. A densidade superficial de corrente de magnetização em r = a é: a) K m = M 0 ê z b) K m = M 0 ê φ c) K m = M 0 rê z d) K m = M 0 (r/a)ê r e) K m = µ 0 M 0 ê φ f) K m = M 0 (r 2 /a 2 )ê r A) pelas condições de fronteira de M B) pela equação ˆn ( M + M ) = 0 C) pela equação div S M r=a = 0 D) fazendo o integral de circulação de M entre 0 e a E) fazendo o integral de circulação de M ao longo do cilindro F) sabendo que por simetria M deve ser contínuo em r = a 16 Com referência à questão anterior. A densidade volumétrica de corrente de magnetização em r < a é: a) J m = 3M 0 r/a 2 ê z b) J m = 3M 0 /aê φ c) J m = 4M 0 rê z d) J m = M 0 (r/a)ê r e) J m = µ 0 M 0 ê φ f) J m = M 0 (r 2 /a 2 )ê r A) pela lei de Maxwell M = J m B) pela lei de Ampère M d s = I S m C) usando o integral da corrente, I m = J S m d s D) pela lei de Gauss aplicada a M, em r < a E) pela lei de Ampère aplicada na superfície r = a F) pela lei de Ampère e dado que M = χ mh 17 Com referência à questão anterior. O campo H no interior do cilindro é: a) H = J 0 r 2 /(3a) ê φ b) H = 3J 0 /a ê φ c) H = µ 0 J 0 r ê φ d) H = J 0 (r/a) ê r e) H = µ 0 J 0 ê z f) H = J 0 (r 2 /a 2 ) ê r A) usando a lei de Ampère em r < a B) usando a lei de Gauss, S H d s = 0 C) usando a lei de Ampère em r = a D) usando a simetria e o fluxo de S J d s através de r = a E) calculando a circulação da corrente livre e a relação com H F) partindo a priori de H = M/χ m

10 x.uc. 18 Com referência à questão anterior. O campo magnético B no exterior do cilindro é: a) B = µ 0 J 0 a 2 3r êφ b) B = µ 0 J 0 2a 2 r 2 ê φ c) B = µ 0 J 0 1 rm 0 ê φ d) B = µ 0 J 0 1 r êφ e) B = µ 0 J 0 3a 2 r f) B = µ 0 J 0 a 2 r ê φ êz A) pela lei de Ampère num contorno fechado em r > a B) pela lei de Ampère numa superfície fechada em r > a C) pela lei de Ampère aplicada numa circulação entre a e r > a D) pela lei de Ampère aplicada num contorno circular em r = a E) pela lei de Gauss e sabendo que B = µ 0 ( H + χ m H) F) pela lei de Ampère e o facto de µ = µ 0 (1+χ m ) 19 Um solenoide muito longo de comprimento L e raio a (L a) tem um enrolamento constituído por N espiras. Durante um certo intervalo de tempo, a corrente que o percorre é dada por I(t) = I 0 e αt, sendo I 0 e α constantes. Uma espira de raio b (b < a) e resistência elétrica R é colocada na região central do solenoide num plano perpendicular ao seu eixo. Considere, na aproximação quase estacionária, a intensidade da corrente induzida que percorre a espira de raio b. A corrente na espira de raio b é: a) I = µ 0 αi 0 Nπb 2 e αt /(LR) b) I = µ 0 αi 0 Nπb 2 /(LR) c) I = µ 0 αi 0 πb 2 e αt d) I = µ 0 αi 0 Ne αt /(LR) e) I = αi 0 N/L f) I = µ 0 Nπb 2 /(LR) A) aplicando a lei de Faraday diferencial ou integral B) aplicando a circulação de B a um contorno circular da lei de Faraday C) calculando o fluxo de B ao longo de um contorno circular D) calculando a circulação da corrente num contorno circular E) calculando o fluxo da corrente numa área circular pela lei de Faraday-Lenz F) calculando a f.e.m. a partir da frequência de variação da corrente 20 Com referência à questão anterior. A indutância mútua entre o solenoide e a espira é: a) M = µ 0 (N/L)πb 2 b) M = µ 0 πa 2 c) M = µ 0 (N/L) d) M = µ 0 (N/L)πb 2 I 0 e) M = µ 0 (N/L)πb 2 I 0 e αt f) M = µ 0 (N/L)πa 2 A) porque há fluxo entre o solenoide e a espira B) porque o fluxo através da espira é variável C) porque há um par acção-reação de forças mútuas D) porque o fluxo do campo do solenoide é radial E) porque o fluxo na espira se opõe ao do solenoide F) porque há fluxo entre os dois campos

11 .uc. xi 21 Com referência à questão anterior. A energia magnética por unidade de comprimento é: a) W/L = µ 0 (N 2 /2L 2 )πa 2 I0 2 e 2αt b) W/L = µ 0 (N 2 /2L 2 )πa 2 I0 2 e αt c) W/L = µ 0 (N 2 /2L 2 )πa 2 I0 2 e αt d) W/L = µ 0 πa 2 I0 2 e 2αt e) W/L = µ 0 (N 2 /2L 2 )I0 2 e 2αt f) W/L = πa 2 I0 2 e αt A) porque há energia associada a B B) porque há energia associada a E C) porque há correntes e há energia nas correntes D) porque há sempre perdas ôhmicas no condutor E) pela lei de Ohm aplicada às correntes induzidas F) porque a corrente é variável e radia energia magnética 22 O volume entre as duas pistas condutoras planas da figura tem um material não uniforme, sendo o campo B = B 0 z 2 a 2 sin ωt ŷ, com ω constante, em todos os pontos do volume entre elas. O campo magnético B fora das placas é zero. Na placa de baixo (em z = 0) não há corrente. As placas têm dimensões l b, com l b a, sendo a distância entre elas. Despreze os efeitos de bordos e use a aproximação quase-estacionária. As densidades de corrente vol., j, e superf., k, em z = a são: a) j = 2B0z µ 0a 2 sin ωt ˆx; k = B0 µ 0 sin ωt ˆx b) j = 2B0z µ 0a 2 sin ωt ˆx; k = B0 µ 0 ˆx c) j = 2B0z a 2 cos ωt ˆx; k = µ 0 B 0 cos ωt ˆx d) j = B0z µ 0a 2 cos ωt ˆx; k = B0 µ 0 cos ωt ˆx e) j = B0 µ 0 sin ωt ˆx; k = B0 µ 0 sin ωt ˆx f) j = B0z2 µ 0a 2 sin ωt ˆx; k = 0 A) considerando B = µ 0 j, com condições fronteira B) usei B é contínuo sobre ambas as placas C) considerando que B é descontínuo sobre ambas as placas D) usando a lei Gauss, B = 0 E) considerando, j + t ρ = 0 F) fazendo uso do facto de j = 0

12 xii.uc. 23 Considere as afirmações, analise a sua veracidade e identifique as verdadeiras. α A magnetização de um material por uma corrente variável periódica dissipa energia sob a forma de calor, o qual cresce linearmente com a frequência. β Um material ferromagnético duro tem valores de coercividade e remanescência maiores que um material magnético mais mole. γ O teorema de Poynting expressa a lei de conservação da energia eletromagnética. δ À semelhança dos materiais dielétricos, em que P = χ e E, define-se a magnetização como M = χe B, onde χ e é a susceptibilidade magnética respetiva. As afirmações verdadeiras são: a) α, β, γ b) β, γ c) α, β, δ d) β, γ, δ e) α, γ f) α, γ, δ A) pelas eqs. de Maxwell e teoremas fundamentais B) pela continuidade eletromagnética do vazio C) pela conservação da energia do vazio D) pela isotropia do vazio E) pela simetria do espaço e do tempo F) pela continuidade do tempo 24 Considere as afirmações, analise a sua veracidade e identifique as verdadeiras. α A aproximação quase-estacionária consiste em simplificar as equações de Maxwell, ignorando os termos não estacionários dessas equações. β Uma onda eletromagnética com polarização linear é uma onda que se caracteriza por ter um campo B que é diretamente proporcional ao campo E. γ Nos condutores o efeito pelicular é devido à repulsão entre os elementos de corrente - é isso que faz com que quaisquer correntes sejam efetivamente superficiais, independentemente de qual seja a sua frequência. δ Se a corrente de deslocamento de Maxwell não existisse não haveria ondas eletromagnéticas. As afirmações verdadeiras são: a) δ b) β c) α, β, δ d) β, δ e) α f) α, δ A) pelas eqs. de Maxwell e teoremas fundamentais B) pela continuidade eletromagnética do vazio C) pela conservação da energia do vazio D) pela isotropia do vazio E) pela simetria do espaço e do tempo F) pela continuidade do tempo