PROBLEMA DE FÍSICA INDUÇÃO ASSIMÉTRICA

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1 PROBLEMA DE FÍSICA INDUÇÃO ASSIMÉTRICA Enunciado: É dado um condutor de formato esférico e com cavidade (interna) esférica, inicialmente neutra (considere que esse condutor tenha espessura não-desprezível). Coloca-se uma carga pontual +q dentro dessa cavidade, porém fora do seu centro. Pergunta-se como fica o campo elétrico (ou as linhas de campo elétrico) fora desse condutor? (Vagner MEC-). FIGURA 1 Enunciado: condutor neutro esférico oco com carga elétrica no interior Resolução: (Jozias Del Rios ELE-9) Por efeito de indução, é esperado que a casca esférica interna tenha uma carga elétrica total q, distribuída de maneira não-uniforme. Por conservação, também é esperado que uma carga elétrica +q exista na superfície da casca esférica erna. Considere R, raio interno do condutor e αr a distância da origem O à carga pontual +q. O raio erno do condutor é R. O campo elétrico E na fronteira entre o condutor e o dielétrico é normal a superfície do condutor e nulo dentro deste, onde o potencial escalar eletrostático V será constante, para que seu gradiente se anule, pois: E = V (1)

2 Para descobrir qual a forma das linhas de campo em torno da carga +q, considere a sua carga imagem virtual, posicionada no mesmo eixo x por motivos de simetria, com uma carga elétrica q, distante βr da origem O, conforme a figura : FIGURA Cotas das cargas (real e virtual) e das bordas do condutor no eixo x O lugar geométrico dos pontos P( x, y, z ) na superfície interna do condutor pode ser escrito em coordenadas esféricas, segundo as transformações em (): x = R cosθ y = R senθ cos φ () z = R senθ senφ O potencial elétrico é constante (e também nulo, se for tomado como referência) nos pontos P. A superposição devido à carga +q e sua imagem q é: V P 1 q q ' = = 4 πε P ( Rα,,) P ( Rβ,,) 1 1 q q ' = 4πε R 1+ α α cosθ 1+ β β cosθ (3) Que se anula quando: ( q q ) = q ( + ) q ( + ) cos θ α ' β ' 1 α 1 β (4) então: Como o mesmo deve ser verdade em todo ponto P, isto é, para todo θ e ϕ, αq' βq = q' 1 1 ( + α ) = q ( + β ) q = α q β = α 1 1 ' e (5)

3 Com isso, a posição e módulo da carga elétrica virtual q foi obtida. O campo resultante satisfaz o potencial constante dentro do condutor, e pelo teorema da unicidade, é a única solução existente. O campo vetorial elétrico resultante é mostrado abaixo para alguns valores de α: FIGURA 3 Direção do campo para r<r (módulo não corresponde á densidade de linhas) Nota-se da figura 3 que o vetor do campo elétrico é normal na fronteira interna do condutor, o que é necessário para que não coloque as cargas elétricas induzidas do condutor em movimento na tangente, desfigurando um regime eletrostático permanente. Quanto ao campo na direção normal, enquanto não seja rompida a rigidez dielétrica do meio fora do condutor, o campo elétrico normal não conseguirá retirar elétrons da (ou prover elétrons à) superfície condutora.

4 Pela Lei de Gauss: 1 1 E ds = ρ dv = σ ds ε ε S = V V ds (6) Para uma superfície gaussiana S prismática com faces de área infinitesimal ds paralelas à superfície interna do condutor, torna-se: E P 1 ( V ) ds = σ ( P) ds ε (7) Então poderá ser inferida a distribuição superficial de carga σ no condutor, que depende apenas do ângulo θ, pois há simetria em relação ao eixo x: V 1 lim = σ ( θ ) (8) r R r ε O potencial para <r<r é: carga q carga q ' + 1 q 1 α V ( r, θ, φ ) = (9) 4πε 1 r + α α r cosθ r + α α r cosθ Então, executando a derivada e o limite de (8) usando o potencial de (9): σ θ = q α 1 π R α α θ cos (1) De fato, a integral desta densidade superficial de carga em toda superfície da esfera é: π π σ θ R sen θ d φ d θ = q (11)

5 Os gráficos de σ(θ) para alguns valores de α é: FIGURA 4 Densidade de carga σ(θ) para α=,; α=,4; α=,6. Que apresenta picos na região mais próxima da carga +q, como era esperado. A curva do potencial V(r,θ) para alguns valores de θ, resultante da carga +q e da distribuição σ(θ), sem mais considerar a carga imagem virtual, é: FIGURA 5 Comportamento do potencial variando o raio para alguns ângulos θ Percebe-se que o potencial é infinito onde se localiza a carga +q, e que é nulo para r>r, caracterizando a situação de potencial constante dentro (e após) o condutor elétrico, que procurávamos. Para a distribuição erna de carga elétrica que totalize +q, uma distribuição admissível (e pelo teorema da unicidade, também será a única existente) é a uniforme, para que seja mantido constante o potencial elétrico dentro do condutor, pois o potencial elétrico superposto aos pontos (r, θ, ϕ) do espaço é: V r 1 σ R d d, θ, φ = sen θ φ ' θ ' (1) 4 πε esfera ( r, θ, φ ) ( R, θ ', φ ') erna Aproveitando que a distribuição é uniforme e tem simetria radial, o potencial então dependerá apenas do raio:

6 1 V ( r) = ( R sinθ ) dφ dθ 4πε r + R rr cosθ π π σ σ, se r R = R σ, se r > R r A distribuição erna deve totalizar uma carga +q, então: (13) q 4 π R σ = q σ = (14) 4π R Verifica-se pelo resultado em (13) que dentro do condutor é adicionado um potencial constante, e que fora do condutor o potencial elétrico cai com o inverso da distância, caracterizando uma carga pontual centrada na origem O. A figura a seguir mostra o comportamento radial do potencial total: Como resultado final, o campo vetorial elétrico é mostrado a seguir: FIGURA 5 Direção do campo elétrico para α=,6 e R =1,5R (módulo não corresponde á densidade de linhas)

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