Eletrostática. Antonio Carlos Siqueira de Lima. Universidade Federal do Rio de Janeiro Escola Politécnica Departamento de Engenharia Elétrica

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1 Eletrostática Antonio Carlos Siqueira de Lima Universidade Federal do Rio de Janeiro Escola Politécnica Departamento de Engenharia Elétrica Agosto 2008

2 1 Campo Elétrico Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss 2 3 Imagens Alguns Exemplos 4 Capacitor de placas paralelas Capacitor de esferas concêntricas Capacitor de cilindros concêntricos

3 Lei de Coulomb Campo Elétrico Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Qual a força que atua sobre uma carga Q devido a uma carga pontual q estacionária a uma distância r, supondo que o meio que envolve ambas as cargas é o vácuo F = 1 q Q ˆr (1) 4πε 0 r 2

4 Campo Elétrico Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Se tivermos diversas cargas q i, a distâncias r i, (i,1, n) de uma carga Q A força total em Q é dada por ou simplesmente onde F = n i=1 F i = Q 4πε 0 n i=1 q i ri 2 ˆr i (2) F = Q E (3) E = 1 4πε 0 n i=1 q i ri 2 ˆr i (4)

5 Distribuições contínuas de cargas Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss A solução anterior supõe cargas conhecidas q i Caso a carga seja distribuída continuamente sobre alguma região o somatório se torna uma integral E = 1 Z 1 4πε 0 r 2ˆrdq (5)

6 Distribuição Linear de Carga Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Se a carga for distribuída uniformemente ao longo de uma linha, com uma carga por unidade de comprimento λ, o diferencial de carga é dado por (dl diferencial de comprimento) dq = λdl (6) E = 1 Z 4πε 0 l λ r 2ˆrdl (7)

7 Distribuição Superficial de Carga Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Densidade superficial de carga σ dq = σds (8) E = 1 ZZ 4πε 0 S σ r 2ˆrds (9)

8 Densidade Volumétrica Campo Elétrico Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Densidade volumétrica de carga ρ dq = ρdv E = 1 4πε 0 ZZZ V ρ r 2ˆrdv (10)

9 Exemplo 1 Campo Elétrico Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Considere um segmento de reta de comprimento 2L que possui uma densidade de carga λ. Calcule o potencial elétrico a uma distância z acima do ponto médio do segmento de reta (ponto P na figura abaixo) P r Pela simetria do problema é possível perceber que os componentes na direção x se cancelem No ponto P temos de = 2 ( ) λdx 4πε 0 r 2 cosθẑ (11) onde cosθ = z/r

10 Exemplo 1 cont. Campo Elétrico Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss A intensidade do campo elétrico é obtida pela integração de (11) com x variando de 0 a L. E = 1 4πε 0 Z L 0 2λz 1 dx = (z 2 + x 2 3/2 ) 4πε 2λL (12) 0 z z 2 + L 2 Para pontos muito afastados do segmento de reta condutor z L, temos E 1 4πε 0 2λL z 2 (13) E portanto a reta condutora se comporta como uma carga pontual! No caso de uma reta infinita L E 1 2λ (14) 4πε 0 z Nesse caso z é a distância do ponto ao fio

11 Linhas de Fluxo & Lei de Gauss Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Com o ferramental apresentado temos todos os dados para resolver a maioria dos problemas de eletrostática, admitindo-se que é possível resolver a integral As linhas de fluxo podem ser úteis na visualização e na identificação do comportamento do campo elétrico. É possível calcular as linhas de fluxo pelos tubos de força ou pela solução da equação diferencial que define o campo em todo o espaço

12 Lei de Gauss Campo Elétrico Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss O Fluxo é uma forma de medir o número de linhas de campo passando por uma superfície. O Fluxo por qq superfície fechada é uma medida da carga total armazenada dentro dessa superfície I S E ds = 1 ε 0 Q dentro (15) ZZZ Q dentro = V ρdv (16) Na forma diferencial obtemos (a partir do teorema de Green) E = ρ ε (17)

13 Exemplo 2 Campo Elétrico Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Calcule o campo exterior a uma esfera sólida uniformemente carregada de raio r e carga total q. Pela aplicação direta da definição de fluxo de campo elétrico I S Eds = E 4πr 2 (18) Logo E 4πr 2 = q/ε 0 E = 1 4πε 0 q r 2 (19)

14 Rotacional do Campo Elétrico Campo Elétrico Devido a Distribuições de Carga Lei de Gauss Vamos supor uma carga pontual na origem. A integral de linha do campo devido por essa carga pontual é dada por Z b E dl = q ( 1 1 ) a 4πε 0 r a r b (20) onde r a e r b são as distâncias entre os pontos a e b. No caso da integral de linha temos I E dl = 0 (21) Aplicando o teorema de Stokes temos E = 0 (22)

15 Campo Elétrico O campo elétrico (devido a Cargas Estacionárias) é conservativo O fato do rotacional do campo elétrico ser nulo implica na existência de uma função potencial Z r V(P ) = φ = E dl P (23) Se o ponto P for levado ao infinito, o potencial no ponto r depende apenas do ponto, fazendo o caminho inverso E = φ (24) Há algumas vantagens em usar (24), derivaadas são fáceis de calcular, e potenciais são usualmente fáceis de medir (De um escalar calcula-se um vetor!!)

16 Campo Elétrico O rotacional nulo implica também em relação entre os componentes do campo elétrico E x y = E y x E z y = E y z E x z = E z x (25) Mudança de referencial implica na adição de uma constante ao potencial Z P Z r V 1 = φ 1 = E dl O E dlv 1 = k + V(P ) P (26) Mas não muda o campo elétrico... V 1 = V (27)

17 Potencial de uma distribuição de carga O potencial de uma carga pontual é dado por V = 1 4πε 0 Para um conjunto de cargas Z r1 V = 1 4πε 0 q r 2 dr = 1 4πε 0 q r 1 (28) n i=1 q r i (29) Para uma distribuição linear λ de cargas V = 1 Z λ dl (30) 4πε 0 r No caso de uma distribuição volumétrica V = 1 ZZZ ρ dv (31) 4πε 0 r As integrais em são mais simples que as do campo elétrico

18 Potencial & Polaridade Campo Elétrico Apesar de ser escalar, a polaridade da tensão implica em indicativo de direção do campo elétrico 0 V V

19 Carga Pontual + Plano Infinito Imagens Alguns Exemplos No caso de uma carga pontual q colocada a uma distância a de um plano infinito (aterrado), a imagem será a carga q, colocada a uma distância a desse plano. Se o plano separa os meios, a inclusão da imagem implica em um meio apenas, sendo esse meio o qual está a carga original V = φ(x,y) = q ( 1 1 ) 4πε 0 r 1 r 2 (32) r 1 é a distância do ponto onde é efetuado a medição do potencial até a carga positiva r 2 é a distância do ponto onde é efetuado a medição do potencial até a carga imagem

20 Carga Pontual + Plano Infinito Imagens Alguns Exemplos

21 Linha de Carga +Plano Infinito Imagens Alguns Exemplos Há uma linha de carga a uma altura h do solo, com densidade linear constante Supondo o plano infinito aterrado, surge uma imagem com densidade de carga negativa a uma distância h A inclusão da imagem implica em um meio apenas, sendo esse meio o qual está a carga original ( ) V = φ = q x 2 + (y + h) 2 ln = q ( ) x 2 + (y + h) 2 2πε 0 x 2 + (y h) 2 ln 4πε 0 x 2 + (y h) 2 A projeção bidimensional desse caso é idêntica ao do caso com cargas pontuais (33)

22 Linha de Carga + Cilindro Imagens Alguns Exemplos Se uma carga linear paralela a um cilindro condutor, supondo o comprimento de ambos infinito. A carga imagem pode ser obtida através da tangente a seção trasnversal do cilindro que passa no ponto onde está a carga real A posição da carga imagem é dada pela razão R 2 b (34) onde R é o raio do círculo que forma a seção reta do cilindro, e b é a distância que separa o centro do cilindro ao ponto onde se encontra a carga. Se o cilindro for dielétrico, muda alguma coisa?

23 Imagem em Condutor Esférico Imagens Alguns Exemplos R r 1 r 2 q 1 d q imag b é a distância que separa os centros, V na superfície da esfera devido a q é V devido a carga imagem q imag é V = q 1 4πε 0 r 2 (35) V = 1 4πε 0 q imag r 1 = q imag b/r 4πε 0 R2 + b 2 2Rb cosθ (36)

24 Imagem em Condutor Esférico Imagens Alguns Exemplos Para que a esfera esteja aterrada os potenciais gerados pelas duas cargas deve ser iguais e opostos, V + V = 0 Logo, a carga imagem deve ser q imag = q R b (37) O potencial em qualquer ponto passa a ser V t = q [ ] 1 4πε 0 r 2 + b 2 2b r cosθ R b 2 r 2 + R 4 2R 2 b r cosθ (38) Qual é a densidade superificial de carga na superfície da esfera?

25 Imagens Alguns Exemplos Anel Circular com Distribuição Linear de Carga Condutor cilíndrico de raio a e comprimento l e com carga total Q em um anel circular de raio R, sendo R a. A função potencial φ num ponto genérico P de coordenadas (x,y,z) é φ(x,y,z) = 1 Z 4πε l q dl (39) D z y R Α D d r P x P x sendo q = Q/(2πR) a densidade linear de carga Projeções da espira condutora no plano y = 0 e no plano z = 0

26 Anel Circular cont. Campo Elétrico Imagens Alguns Exemplos Utilizando a transformação de variável α = π 2ϕ o diferencial de comprimento pode ser expresso por dl = R dα = 2 R dϕ a distância entre um ponto na superfície da espira e o ponto P é d = R 2 + r 2 2Rr cosα (40) e a distância entre o centro da espira ao mesmo ponto é dada por r = x 2 + y 2 distância entre um ponto na superfície da espira e o ponto P é D = d 2 + z 2

27 Anel Circular cont. Campo Elétrico Imagens Alguns Exemplos Utilizando a relação trigonométrica cosα = 1 + 2sin 2 ϕ é possível escrever a distância D como D = (R + r) 2 + z 2 4Rr sin 2 ϕ logo o potencial eletrostático pode ser dado por φ = Q 2 4πε 2π Z π 0 dϕ (R + r)2 + z 2 4Rr sin 2 ϕ (41)

28 Anel Circular Integral Elíptica Imagens Alguns Exemplos 4Rr Fazendo k = é possível rescrever (41) como (R+r) 2 +z 2 φ = Q Z 2 π/2 dϕ 4π 2 ε (R + r)2 + z 2 1 k 2 sin 2 ϕ = Q F(k) 2π 2 ε (R + r)2 + z 2 0 A função F(k) é conhecida como integral elíptico completo de primeira espécie definida por (42) Z π/2 dϕ F(k) = 0 1 k 2 sin 2 ϕ (43)

29 Imagens Alguns Exemplos Para o cálculo do potencial na superfície do condutor consideremos como representativo um ponto de coordenadas x = R, y = 0, z = a, neste caso k = 4R 2 4R 2 + a = ( ) k 2 = a 2 2R ( a 2R Como ( a ) 2 1 2R É possível obter uma solução para integral na forma de ( ) ) 4 8R F(k) = ln = ln( 1 k 2 a ( ) a ) 2 2 = 1 2R logo, o potencial na superfície do condutor φ c é aproximadamente ( ) φ c = Q 8R 4π 2 εr ln (44) a

30 Campo Elétrico Capacitor de placas paralelas Capacitor de esferas concêntricas Capacitor de cilindros concêntricos Um capacitor consiste de dois condutores carregando cargas de sinais iguais e contrários, separados por um meio dielétrico. A capacitância C pode ser definida por H C = Q εe ds V = S R B A E dl (45) Nada mais é que uma constante relacionando carga e potencial. É sempre positiva A relação inversa é dada pela Elastância S Q = C (V 1 V 2 ) V 1 V 2 = S Q (46)

31 Campo Elétrico Capacitor de placas paralelas Capacitor de esferas concêntricas Capacitor de cilindros concêntricos Em diversos casos simples podemos obter a capacitância de um dispositivo através da Lei de Gauss. Vamos ver alguns exemplos: Capacitor de placas paralelas Capacitor de esferas concêntricas Capacitor de cilindros concêntricos

32 Capacitor de placas paralelas Capacitor de placas paralelas Capacitor de esferas concêntricas Capacitor de cilindros concêntricos Considere duas placas paralelas de área A separados de uma distância d. O campo elétrico é normal a superfície (desprezando efeitos de ponta) Uma densidade de carga σ numa das placas implica em σ na outra placa A intensidade do campo entre as placas é E = σ/ε, já a diferença de potencial é V = E d, e a carga total Q = σa, logo a capacitância entre as placas é C = σa σd/ε = εa d (47)

33 Capacitor de esferas concêntricas Capacitor de placas paralelas Capacitor de esferas concêntricas Capacitor de cilindros concêntricos Considere duas esferas concêntricas de raios r 1 e r 2, sendo r 2 > r 1, possuindo cargas Q e Q respectivamente O campo é radial e orientado para o centro da esfera menor como se a carga estivesse no centro e de valor dado por E = Q 4πεr 2 (48) A diferença de potencial entre as esferas é Z r2 Q dr V = r 1 4πε r = Q ( 1 1 ) 2 4πε r 1 r 2 (49) C = 4πε 1/r 1 1/r 2 (50)

34 Capacitor de cilindros concêntricos Capacitor de placas paralelas Capacitor de esferas concêntricas Capacitor de cilindros concêntricos Considere dois cilindros concêntricas de raios r 1 e r 2, sendo r 2 > r 1 e de comprimento L. O condutor interno possui carga Q e o externo Q. O campo elétrico é dado pela Lei de Gauss e de intensidade E = Q/L 1 2πε r O potencial entre os cilindros é dado por (51) e a capacitância entre os cilindros é V = Q/L 2πε ln r 2 r 1 (52) C = 2πεL ln(r 2 /r 1 ) (53)

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