Fluxos e Conservação Lei de Gauss Isolantes. III - Lei de Gauss. António Amorim, SIM-DF. Electromagnetismo e Óptica. Lei de Gauss /2011

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1 III - Electromagnetismo e Óptica /2011 III -

2 Índice 1 Fluxos e Conservação 2 3 III -

3 Outline 1 Fluxos e Conservação 2 3 III -

4 Distribuição Contínua (rev.) Denindo a densidade de carga por unidade de volume (C/m 3 ) ρ = Q V 1 Aplicando a sobreposição Q = ρ V 2 Calcula-se 3 Resulta, assumindo a soma sobre r : 1 E( r) = 4πε 0 V ρ( r ) ˆr dv r 2 III -

5 Outline 1 Fluxos e Conservação 2 3 III -

6 Conservação da Carga Num sistema fechado a carga total conserva-se: Q = ρ dv Mas e se houver uxo de cargas? V Mais geral: Num uido em movimento a massa conserva-se Ao que está dentro acresce o que entrou e subtraí-se o que saiu M M + M M M + M M M + M 1 M 2 III -

7 Carga e Corrente Na superfície: Q S = ρ V S Q Q = S S S = ρ r S S = ρ r o que signica: Q = S ρ r S dividindo pelo intervalo de tempo: dq dt S = ρ v S onde v = dr dt é a velocidade. (-) de v > 0 se v para fora com dq III -

8 Teorema da Continuidade s, ou matéria, ou energia: dq dt S = ρ v ds Introduzindo a carga no volume: V ρ t S dv = ρ v ds A variação no volume é o uxo sobre a superfície. Por analogia denimos o vector J = ρ v chamamos uxo de J a Φ = J n ds J n ( n normal à superfície), obliquamente aparece cos(θ) S III -

9 Fluxo de um vector Fluxo do vector A é (com ds = n ds) Φ A = S A ds Φ A depende do ângulo θ entre A e a normal à superfície n: Se θ é 0 o uxo é máximo : A n = A Se θ é 90º o uxo é 0. III -

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11 Fluxo do Campo Eléctrico O uxo de campo eléctrico é: Φ E = E ds (Nm 2 /C) S E, fechada, ds para fora Φ E = E ds 1 Divide-se em elementos 2 Cada E ds = E ds cos(θ) A 3 Soma-se Φ E = E ds 4 Faz-se o limite ds 0 III -

12 Outline Fluxos e Conservação 1 Fluxos e Conservação 2 3 III -

13 O uxo de E em S fechada ~ carga no interior Q/ε 0 Q = E ds ε 0 S A carga é fonte de E Qualquer superfície fechada (escolher a mais simples) Soma com sinais + e - As cargas fora não contam Φ S 1 = q ε 0, Φ S 2 = q ε 0, Φ S 3 = 0, Φ S4 = 0 III -

14 Outline Fluxos e Conservação 1 Fluxos e Conservação 2 3 III -

15 Simetria Esférica (rev.) Se as cargas estão numa esfera ou esferas concêntricas: Rotações sobre qualquer eixo que passe pelo centro não contam III -

16 Carga Pontual Fluxos e Conservação Aplicando o teorema de Gauss Q = E ds ε 0 S Aplicando a simetria esférica E radial Q = E ds = E cos(0) ε 0 S Resolvendo para E (Lei Coulomb): E = Q 4πr 2 ε 0 ds = E ( 4πr 2) III -

17 Outline Fluxos e Conservação 1 Fluxos e Conservação 2 3 III -

18 Campo Eléctrico num condutor Num condutor, o uxo de carga: J = ρ v = σ E onde σ é a condutividade eléctrica > 0 Isto signica que F e = ( e) E nos electrões com atrito no cristal v media F e Num estado estático v media = 0 = J = 0 = E = 0 Isolado em equilíbrio estacionário E = 0 III -

19 Carga num condutor isolado Onde está a carga Q? Aplicar a lei de Gauss na superfície interna E = 0 = Qinterior = 0 Como é valido para qualquer superfície ρ = 0 no interior Por absurdo: se ρ > 0 em P: bola centrada em P com Q>0 se ρ < 0 em P: bola centrada em P com Q<0 Num condutor, a carga electrostática está sempre na superfície III -

20 Carga num condutor com cavidade A carga Q pode estar na cavidade? Aplicar a lei de Gauss na superfície cavidade E = 0 = Qcavidade = 0 para qualquer superfície! então ρ = 0 no interior Q electrostática, num condutor apenas na superfície externa III -

21 Campo na Superfície de um condutor Teorema de Gauss com dl << da Φ = Φ 1 + Φ 2 + Φ 3 dl 0 Φ 2 0 Q ε 0 = E 1 n 1 da + E 3 n 3 da Denindo a densidade supercial e como n 3 = n 1 σ S = Q A E1 n E 3 n = σ S ε 0 A descontinuidade da componente normal de E é σ S ε0 III - Lei de Gauss σ S

22 Outline Fluxos e Conservação 1 Fluxos e Conservação 2 3 III -

23 Simetria Esférica (rev.) A luz está xa. As esferas foram rodadas? Sob que eixo foram rodadas? O mesmo ( E ) para qualquer rotação sobre qualquer eixo. III -

24 Simetria Cilíndrica (rev.) A luz está xa. Os cilindros foram rodadas sob o seu eixo? O mesmo ( E ) para qualquer rotação sob o seu eixo (xo). III -

25 Simetria de Translação (rev.) O plano innito moveu-se para: direita/esquerda? frente/trás? O plano rodou segundo um eixo a ele perpendicular? Os mesmos efeitos ( E ) para qualquer: translação no plano. rotação segundo um eixo perpendicular ao plano. III -

26 Aplicar a Fluxos e Conservação Como fazer: 1 Fazer esquema da distribuição de carga 2 Identicar a/as simetrias da carga e logo de E 3 Escolher a superfície que torne o cálculo mais simples 4 Use a lei de Gauss Φ E = Q ε 0 para determinar o uxo 5 Utilize o valor do uxo para determinar E III -

27 Outline Fluxos e Conservação 1 Fluxos e Conservação 2 3 III -

28 Campo de um varão innito Densidade linear de carga: λ = Q l E radial em coordenadas cilíndricas Φ = Φ 1 + Φ 2 + Φ 3 com Φ 1 = Φ 3 = 0 III -

29 Outline Fluxos e Conservação 1 Fluxos e Conservação 2 3 III -

30 Folha isoladora innita E perpendicular à folha (rotação) E é simétrico cima/baixo da folha Φ = Φ 1 + Φ 2 + Φ 3 com Φ 2 = 0 e Φ 3 = Φ 1 Φ = 2EA e Φ = σ S A ε 0 2EA = σ S A ε 0 = E = σ 2ε 0 E independente da distancia à folha III -

31 Folha condutora Fluxos e Conservação III -

32 Campo de duas folhas paralelas Densidades de carga opostas σ 1 = σ 2 e σ 1 = σ 2 As placas atraem-se Dentro E i T. Gauss em S: Φ = E i A = 2σ 1A ε 0 = E i = σ ε 0 Fora E o T. Gauss em S': Φ = 2E o A = (σ 1 σ 1 )A ε 0 = E o = 0 III -

33 Outline Fluxos e Conservação 1 Fluxos e Conservação 2 3 III -

34 Camada esférica isoladora Campo: radial Dentro: Φ = 4πr 2 E i = Q ε 0 = 0 logo E i = 0 Fora: Φ = 4πr 2 E o = Q ε logo 0 E = Q 4πε 0 r 2 Equivalente a toda a carga no centro III -

35 Campo de uma esfera uniformemente carregada Campo: radial Carga: Q(r) = r ³ R³ Q Dentro: Fora: = Carga Pontual III -

36 uniformemente carregada II III -

37 Outline Fluxos e Conservação 1 Fluxos e Conservação 2 3 III -

38 Problemas Fluxos e Conservação Qual o campo eléctrico entre duas placas condutoras paralelas com uma densidade supercial de carga de ±1 C/m 2? Qual o campo eléctrico gerado por um o com uma densidade de carga de 0.02C/m a 1 cm do o? Uma esfera, uniformemente carregada, ter uma carga de 0.01C e um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=2 cm? Uma esfera uniformemente carregada ter uma carga de 0.01C e um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=0.5 cm? III -

39 Problemas Fluxos e Conservação Qual o campo eléctrico entre duas placas condutoras paralelas com uma densidade supercial de carga de ±1 C/m 2? Qual o campo eléctrico gerado por um o com uma densidade de carga de 0.02C/m a 1 cm do o? Uma esfera, uniformemente carregada, ter uma carga de 0.01C e um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=2 cm? Uma esfera uniformemente carregada ter uma carga de 0.01C e um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=0.5 cm? III -

40 Problemas Fluxos e Conservação Qual o campo eléctrico entre duas placas condutoras paralelas com uma densidade supercial de carga de ±1 C/m 2? Qual o campo eléctrico gerado por um o com uma densidade de carga de 0.02C/m a 1 cm do o? Uma esfera, uniformemente carregada, ter uma carga de 0.01C e um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=2 cm? Uma esfera uniformemente carregada ter uma carga de 0.01C e um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=0.5 cm? III -

41 Problemas Fluxos e Conservação Qual o campo eléctrico entre duas placas condutoras paralelas com uma densidade supercial de carga de ±1 C/m 2? Qual o campo eléctrico gerado por um o com uma densidade de carga de 0.02C/m a 1 cm do o? Uma esfera, uniformemente carregada, ter uma carga de 0.01C e um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=2 cm? Uma esfera uniformemente carregada ter uma carga de 0.01C e um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=0.5 cm? III -