Eletromagnetismo II. 5 a Aula. Professor Alvaro Vannucci. nucci

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Eletromagnetismo II. 5 a Aula. Professor Alvaro Vannucci. nucci"

Pedro Lucas Levi Mascarenhas
4 Há anos
Visualizações:

1 Eletromagnetismo II 5 a Aula Professor Alvaro Vannucci nucci

2 Na aula passada, das Equações de Maxwell,, vimos: 1 o ) Conservação de Energia n da = S S ( E H ) ˆ (Vetor de Poynting) H B E D V dv t Densidade de Energia EM + E J dv V Dissipação Joule

3 o ) Propagação de Ondas Eletromagnéticas ticas Solução: (meios lineares, ρ = ) E E E εµ σµ = t t Espaço vazio: σ =, ε = ε, µ = µ ; em 1D (eixo z): E z ( ) ω + E ( z) = z i t Kz ( ) c c = 1 ε µ (, ) ω ± E z t = E e ( ) ( ) K π ω = = λ c E z, t = E cos ωt ± Kz Onda caminhando para a direita ou para a esquerda. ;

4 Para dielétricos... σ =, µ µ ; mas sós que agora c v Como: K v = v = π f = = v c n 1 εµ = nω c 1 ; ε ε µ R n = = c ε c v R n = ε R e K = ε R ω c Sendo que: ε R ε ε = Cte Dielétrica

5 Para dielétricos... σ =, µ µ ; mas sós que agora c v K π f = = v nω c ; n = c v Como: v c = = n 1 εµ = 1 ε ε µ R c = ε R n = ε R e K = ε R ω c Sendo que: ε R ε ε = Cte Dielétrica

6 Potenciais - Elétrico e Magnético No semestre passado, vimos que os campos E e B, estáticos podiam ser calculados através dos potenciais: escalar... E = ϕ (1)... e vetor B = A () ϕ( r ) = A( r ) = 1 ρ( r ') dv 4πε V r r ' µ J ( r ') dv ' 4 π V r r ' ' dv r r r ' ' r P

7 Maneira alternativa para o cálculo dos potenciais, também já vista anteriormente: ρ ϕ = ε A = µ J Equação de Poisson No entanto, estes resultados foram obtidos para campos estáticos. A pergunta é: eles continuariam válidos para E e variando no tempo? B

8 Por exemplo, a a Eq. ( B A) satisfaz diretamente a a Eq. de Maxwell: B = Sempre! (Div do Rot é SEMPRE zero!) Este resultado indica, a princípio, que B A vale, mesmo para campos magnéticos variando no tempo = Por outro lado é fácil verificar que a outra expressão: é inconsistente com a 3 a Eq. de Maxwell! ( E ) resultando = = ( A) = ϕ E = = B E! ( ϕ ) Sempre! (Rot do Grad é SEMPRE zero!)

9 Para contornar esta dificulade podemos pensar em introduzir um termo extra (desconhecido) à Eq. : E = ϕ E = ϕ + N (tomando o Rot dos lados) E = ϕ + N N = B = A Usando a Eq. () : ( ) ( A) ( ) A = t = B t A N = t Comparando:

10 Substituindo: A E = ϕ + N ; N = t Subst. Eq. (3) na 1 a Eq. de Maxwell: = ϕ A E t Devemos agora verificar que eq. (3) e eq. () : satisfazem as duas eqs. de Maxwell restantes. ( A) D = ρ E = ρ / ε ϕ = Agora, subst. eqs. () e (3) na Lei de Ampère: E B µ J µε ( ) = + ( ) µ µε ϕ A A = J µε (Rot do Rot) ρ ε (3) = ( B A) () (4)

11 Substituindo o Rot do Rot: ϕ A µ µε µε t t A ϕ A + εµ + A + εµ = µ J A J = ( A) Ou seja, eqs. (4) e (5) que só dependem das incógnitas precisam ser simultaneamente satisfeitas. A e ϕ De forma que, resolvendo-se (4) e (5), obtem-se e, depois: A e ϕ ( A) ϕ = ρ ε (5) B = A E = ϕ A

12 Mas, antes de passarmos à resolução das eqs. (4) e (5), talvez fosse interessante tentar simplificá-las um pouco. Além disso, como veremos, para um determinado problema com e específicos, não existe um único par que satisfaça B = A A e E ϕ E B A e ϕ = () (3) t Ou seja, é possível escolher um par A' e ϕ ' que seja o mais adequado, para uma determinada situação, de forma que (4) e (5) sejam satisfeitas e () e (3) continuem válidas Para ilustrar isso, supor conjuntos ( A, ϕ) e que correspondam aos mesmos campos e. ( A', ϕ ') Vejamos como eles diferem para que isto seja verdade. E B

13 Então: A = B i) A' = B Equivalência de soluções Vamos supor que os potenciais difiram entre si por parâmetros α e β da forma: ϕ ' = ϕ + β A' = A + α α = A = A + = A + α ( α ) (6) ; sendo que os conjuntos correspondem aos mesmos α = λ α A ' E e B Ou seja, pode ser escrito como o grad de algum escalar: (7) A' = A + λ

14 ii) = ϕ A E t ' ϕ ' A E = t ϕ A t β + α = β λ + = ( ϕ ' = ϕ + β ; ' = + α ) ϕ β A = α α = λ Usando (7): ( ) e, então: Resolvendo: ϕ ' Solução + simples: = ϕ λ A A β + λ = cte = λ β = t (8)

15 Assim: A' = A + λ ϕ ' = ϕ λ i.e., dada uma função escalar λ qualquer, podemos acrescentar em e, ao mesmo tempo, subtrair λ de ϕ, que E e B λ A não se alteram! Transformações em A e ϕ deste tipo, são denominadas Transformações de Gauge ou de Calibre Há vários calibres possíveis e a escolha depende do problema que se pretende resolver. Dois destes calibres são mais frequentemente utilizados: o de Coulomb e o de Lorentz.

16 1 o ) Gauge de Coulomb: Subst. na eq. (4) ( A) ϕ = e (5): Transformações de Gauge A = A + εµ = µ J εµ = ϕ A E t ϕ = Equação de Poisson ε ϕ termo independente de A Só o cálculo de ϕ não mais nos fornece E! ρ ρ ε A ϕ A + εµ + ( A + εµ ) = µ J A eq. de onda não homogênea p/ A

17 o ) Gauge de Lorentz: A = εµ ϕ ( A) ρ Subst. nas eqs. (4): ϕ = ε A ϕ e (5): A + εµ + A + εµ = µ J t t É o mais interessante no estudo das ondas EM ϕ ρ + ϕ εµ = (9) Temos: t ε Eqs. Desacopladas! A (do mesmo tipo) + A εµ = µ J (1) t Ou seja, escolhendo o gauge de Lorentz, tanto A qto ϕ obedecem ao mesmo tipo de eq. diferencial não-homogênea.

18 Em termos do d Alembertiano ϕ εµ = ρ ϕ = ε A = µ J ϕ t ρ ε e, no limite estático: = εµ A t e A εµ = µ ρ ϕ = ε A = µ J J t Como já visto antes, e cujas soluções já foram obtidas em Eletromagnetismo I: Finalmente: 1 ρ ( r ') ϕ( r ) = dv ' 4 πε V r r ' e µ J ( r ') A( r ) = dv ' 4 π V r r '

19 Novamente, lembrar que distância da fonte ao r r ' ponto P onde o potencial é calculado dv r r r ' ' r P Mas, e no caso não estático? Mostraremos que as eqs. mantêm as formas acima; só que agora surge um problema! Ao se calcular os potenciais em P, em um dado instante t, qual a configuração de cargas e correntes que se deve considerar? As correspondentes ao mesmo instante t?

20 Considerando-se que o sinal propaga-se com velocidade c deve-se utilizar as configurações de cargas e correntes relativas a um instante anterior: assim: { r r ' tr = t c 1 ρ ( r ', t ) r ϕ( r, t) = dv ' 4πε V r r ' µ J ( r ', t ) r A( r, t) = dv ' 4π V r r ' tempo retardado Notar que para pontos P próximos das fontes: r r ' c t r t Potenciais Retardados resta mostrar que os potenciais retardados são soluções das eqs. diferenciais (caso não estático)

21 Um evento solar, quanto tempo demora para chegar à Terra?

24 Um evento solar, quanto tempo demora para chegar à Terra?

25 ... e com relação ao Universo? * Velocidade da Luz: c = 3. km/s Via LácteaL ctea: * bilhões de Estrelas! - Ainda existem? * 1. anos-luz de diâmetro. * Sol encontra-se a 3. anos-luz do centro. * Período de translação do Sol: milhões de anos.

29 A Grande Nuvem de Magalhães É a galáxia mais próxima da Terra (16 mil anos-luz) É pequena, comparada com a Via Láctea (1/1 da massa)

Documentos relacionados

Eletromagnetismo II. 4 a Aula. Professor Alvaro Vannucci. nucci

Eletromagnetismo II. 4 a Aula. Professor Alvaro Vannucci. nucci Eletromagnetismo II 4 a Aula Professor Alvaro Vannucci nucci Na aula passada vimos... Potência MédiaM dia (Circuito RLC) P 0 = ω = 1 I 0ε0 cos Ressonância: 1 LC θ Fator de Qualidade: Fator de Potência