Exercícios de Eletromagnetismo II

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1 Exercícios de Eletromagnetismo II Antonio Carlos Siqueira de Lima 2014/2 Resumo Nesse documento são apresentados alguns exercícios sobre eletromagnetismo. Eles são baseados no livro texto: Campos & Ondas em eletrônica das comunicações, de Ramo, Whinnerry e Van Duzer e nas notas de aula disponíveis no site. 1 Equações de Maxwell 1. Considere um campo eletromagnético que se propaga em meio sem perdas e de parâmetros µ e ɛ idênticos ao do vácuo. A variação temporal é suposta do tipo exp(jωt). Sabendo-se que há apenas uma componente do campo elétrico determine o comportamento do campo elétrico e magnético. Solução Parcial Vamos assumir que a componente de campo elétrico é apenas na direção x, o que implica em Substituindo H y na expressão de campo elétrico temos de x dz = jωµhy (1) dh y dz = jωɛex A solução de (2) leva a d 2 E x dz 2 = ω 2 µɛe x (2) E x = C 1 exp( jkz) + C 2 exp(jkz) (3) onde k = ω µɛ. Essa constante é bastante encontrada em estudos de propagação de ondas eletromagnéticas e recebe o nome de número de onda ou constante de propagação do meio. Ela também pode ser relacionada com k = ω ν (4) onde ν é a velocidade de propagação, no caso de meio similares ao vácuo, nu = c (velocidade da luz). A resposta temporal do campo elétrico é dada por E x(z, t) = R (E x exp(jωt)) = R [C 1 exp( jkz + jωt) + C 2 exp(jkz + jωt)] (5) A expressão em (5) indica que a propagação do campo elétrico pode ser associada a propagação de dois sinais, um trafegando na direção positiva de z e outro na direção contrária, e ambos com a mesma velocidade ν. A determinação de H y é deixada como exercício. 2. Considerando a expressão do campo elétrico conforme mostrada em (3), calcule o vetor de Poynting e a potência média para essa onda eletromagnética. 3. Mostre que a equação de onda que define o campo eletromagnético pode ser escrita da forma apresentada em (2) para qualquer componente de E ou H em coordenadas cartesianas, mas o mesmo não pode ser dito no caso de coordenadas cilíndricas ou esféricas. 4. Por analogia com a solução integral do Vetor Potencial Magnético A e do Potencial Escalar φ, escreva a integral para o vetor de Hertz Π em função do potencial de Polarização P. 5. Sabendo-se que, em meio sem perdas, a relação entre o potencial vetor e o vetor de Hertz é dada por A = µ 0ɛ 0 Π obtenha a expressão do vetor potencial no domínio da frequência e no domínio do tempo supondo que o meio possua uma condutividade σ. (6) 1

2 Solução Parcial No domínio da frequência o vetor A pode ser escrito como A = jωµε Π (7) para um meio com parâmetros µ e ε. A expressão acima pode ser entendida como A = γ2 jω Π (8) onde γ é a constante de propagação do meio sem perdas dada por γ = jω µ 0ε 0. Logo, as perdas podem ser consideradas através de uma permissividade complexa ε dada por ε = ε rε 0 jσ ω (9) o que leva a A = µ(σ + jωε) Π (10) note que o mesmo resultado seria obtido se o termo ωε na expressão de γ em (7) (ou (8)) for substituido por σ + jωε. Para o domínio do tempo para lembrar que jω equivale a d/dt, ou seja A = µσ Π + µε Π (11) 6. A partir das equações de Maxwell no domínio do tempo obtenha uma expressão do campo elétrico e campo magnético em função do tempo e do espaço. Obtenha as expressões também no caso do meio onde se propagam os campos for sem perdas. Solução Parcial No domínio do tempo as equações de Maxwell envolvendo rotacional são dadas por E = µ H H = J + ε E considerando que os parâmetros µ e ε não variam no espaço. Aplicando-se o rotacional na primeira equação em (11) leva a E = µ H = µ ( J + ε E ) (13) supondo o meio sem fontes e expandindo o rotacional do rotacional e supondo que a condutividade não varia no tempo (12) ( E) 2 E = µσ E µε 2 E 2 (14) uma vez que não há fontes no meio, é seguro também supor que E = 0, i.e. não há cargas armazenadas no meio, o que leva a expressão de onda do campo elétrico 2 E = µσ E + µε 2 E 2 (15) Através de um raciocínio semelhante é possível obter a expressão do campo magnético. 7. Considere um elemento de corrente de comprimento l carregando uma corrente I localizado na origem de um sistema de coordenada cilíndrica (ρ, φ, z). O vetor de Hertz está orientado no eixo z de forma que Π = Il exp( γr) ẑ (16) 4π(jωɛ)r sendo r = ρ 2 + z 2. Calcule as componentes do campo magnético em coordenadas cilíndricas e do campo elétrico em coordenadas cartesianas. Solução Parcial A expressão da componente em ϕ do campo magnético é dada por onde sin θ = ρ/r H ϕ = (jωε) Πz ρ = Il (1 + γr) exp( γr) sin θ (17) 4πr2 2

3 8. Um dipolo oscila com M exp(jωt) de forma que a uma distância r o vetor de Hertz pode ser dado por Mostre que Π = 1 M exp(j(ωt) r/c) (18) 4πɛ 0r A = µ 0ɛ 0 Π φ = div(π) (19) A partir do resultado acima calcule o campo elétrico e o campo magnético para r 0. Solução Parcial Ver item das notas de aula, usando os campos elétricos e magnéticos defina A e Π 9. Considere uma onda plana no vácuo onde E x = µ 0/ɛ 0H y = E 0 exp(jωt γz) (20) sendo γ = jω µ 0ɛ 0. Mostre que uma solução aproximada das equações de Maxwell pode ser obtida considerando E 0 como uma função lentamente variante em x e y e adicionando os seguintes componentes, onde β = jγ. E z = j β E 0 x exp (j (ωt βz)) Hx = j β ɛ0/µ 0 E 0 y exp (j (ωt βz)) (21) Solução Parcial Aplique as expressões dos campos nas equações de Maxwell e verifique se elas atendem aos postulados. 10. Considere um condutor com uma corrente i(t), calcule os valores de E e H na superfície do condutor, calcule o vetor de Poynting e mostre que ele representa o fluxo de energia no interior do fio. 11. Calcule a energia do campo elétrico e do campo magnético asociadas a uma onda plana trafegando num condutor real e mostre que há diferenças entre elas. O que acontece no caso limite σ 0 e σ 12. Na ausência de carga, a solução da equação de Maxwell pode ser obtida apenas pelo vetor potencial A considerando que o potencial escalar é nulo. A partir desse resultado considere uma onda plana se propagando ao longo do eixo z, mostre que o vetor potencial pode ter duas amplitudes complexas arbitrárias para os componentes em x e y, com uma dependência com z do tipo exp(jωt γz). Verifique o comportamento entre E e H. Solução Parcial Considere a equação (2.20) das notas de aula (pag. 35) converta-a para o domínio da frequência e aplique o calibre de Lorentz e obtenha a expressão de onda para o vetor A. 13. Considere uma onda plana se propagando no vácuo onde E 0 é a amplitude do campo elétrico em volts/metro e S o valor médio do vetor de Poynting. Mostre que (2 pt) S = a 10 3 E 0 E 0 = a S (22) 14. Para as duas questões a seguir utilize as expressões assintóticas para as funções de Bessel 2 ( J ν(x) π x cos x π ) 4 (1 + 2ν) (a) Considere uma onda eletromagnética se propagando no vácuo possuindo os seguintes componentes para o campo magnético em coordenadas cilíndricas (usando coordenadas {r, φ, z}) H r = 0 H φ = µ H z = 0 Calcule o campo elétrico associado. 2 Elementos de Circuito (J 0(k r cos α) 1r J1(k r cos α) ) exp (j(k z cos α + ωt)) 1. Diversos elementos de circuitos podem apresentar características não linearidades apresentem tais comportamentos, i.e. não linearidade ou variação temporal. Solução Parcial No caso não linear, a resistência pode ser dada por o que implica em J = σ(e) E ou E = V = b a E dl = b a I A σ(e) (23) (24) I dl = RI (25) A σ(e) 3

4 logo R = b a dl A σ(e) (26) Para a indutância, o procedimento é similar onde V = I [L(I)I ] = L(I) + I L(I) µ(h)h ds S L(I) = I é explicitamente dependente da corrente. Para o capacitor ε(e)e ds S C(V ) = V Para os elementos variantes no tempo, o procedimento é o mesmo, com a pequena diferença que os parâmetros passam a ser σ(t), ε(t), µ(t). 2. O sinal da indutância mútua de acoplamento é usualmente designado num diagrama de circuito pela colocação de um ponto, sendo a notação positiva para a corrente que entra no ponto, e a tensão de polaridade positiva sendo aquela associada ao ponto, de forma que: (27) (28) (29) V 1 L 1 di 1 dt M di2 dt = 0 V2 L2 di 2 dt M di1 dt = 0 (30) Obtenha a representação desse acoplamento por um circuito T. Solução Parcial A eq. (29) pode ser rescrita como V 1 (L 1 M) di1 dt M d (I1 + I2) = 0 dt di2 V2 (L2 M) dt M d (I1 + I2) = 0 (31) dt que representa um circuito T, com um ramo transversal M e duas indutâncias longitudinais, L a = L 1 M e L b = L 2 M, conforme apresentado na Fig. 1. I L 1 L I a b 2 V 1 M V 2 Figura 1: Circuito T 3. Dois cilindros condutores de raio 1 cm possuem os seus eixos separados por 4 cm sendo cada eixo 4 cm acima de um plano condutor ideal (aterrado). Esboce as linhas de campo e avalie o valor das capacitâncias por unidade de comprimento. 4. Considere um condutor der aio r e comprimento 2a imerso em meio com parâmetros µ, σ e ε não nulos. Inicialmente considere que σ ωε para toda a gamma de frequências de interesse. Suponha que o condutor injete uma corrente I no meio envolvente. Calcule a resistência própria do condutor. Repita o procedimento no caso de considerar a corrente de deslocamento no meio envolvente. Solução Parcial Ver item 8.6 das notas de aula de Campos & Ondas (pp. 184 e 185). No caso de considerar a corrente de deslocamento a resistência própria do condutor se torna uma impedância cuja expressão pode ser obtida considerando o comportamento de campos quase-estacionários. 5. Considere um cabo isolado representado por um condutor central, cilíndrico de raio r 1, um isolamento entre os raios r 1 e r 2 e um condutor externo entre os raios r 2 e r 3, sendo r 1 =10mm, r 2 =30 mm e r 3 =32 mm. O condutor central tem condutividade σ 1 = S/m e o condutor externo possui σ 2 = S/m. O isolante possui permitividade relativa de 2.5 e uma condutividade elétrica σ i = exp(αt ), onde T é a temperatura em grau Celsius e α = 0.1. Considerando que o cabo imerso em água a 20 graus Celsius, um degrau de tensão contínua com amplitude de 30 kv é aplicado entre os condutores. Considere duas possibilidades: 4

5 (a) Cabo imerso em água a 20 graus Celsius quando um tensão de tensão de 30 kv é aplicado entre os condutores. Determine o comportamento do campo elétrico no isolante. (b) Cabo imerso em água a 20 graus Celsius estando o condutor interno está a 80 graus Celsius. A tensão contínua entre os condutores é de 30 kv. Determine o campo elétrico no isolante, o comportamento da temperatura, da condutividade elétrica do isolante. Desconsidere as perdas no isolante na distribuição da temperatura. Solução Parcial Para o item 5a, o comportamento do campo elétrico no isolante é do tipo E = k 1 r (32) e da definição da tensão, U, é possível escrever U = é possível determinar k em (31), como k = Para o item 5b, o comportamento da temperatura no isolante é do tipo r 2 r 1 E r (33) logo dt dr = k1 r (34) T = k 2 + k 1 ln r (35) Para a determinação das constante é necessário aplicar as condições de fronteira, para r = 10 mm, 20 0 C e para r = 20 mm, 80 0 C. Isso leva a k 2 = , k 1 = No isolante, supondo o regime estacionário, o campo elétrico tem o seguinte comportamento Jr = rσe = m (36) sendo m uma constante, logo E = m/(σr), que define o comportamento do campo elétrico em função do raio a menos de uma constante de proporcionalidade que pode ser obtida pela condição de definição da tensão conforme mostrado no item 5a. A expressão do campo elétrico é dado por E = exp ( 0.1(k2 + k1 ln r)) (37) r 6. Mostre que a razão entre a impedância em alta frequência, R HF, e a resistência em corrente contínua, R cc, de um condutor circular de raio r 0 e cuja profundidade de penetração δ pode ser dada por R HF R cc = r0 2δ (38) Solução Parcial Em altas frequências há apenas a impedância devido a superfície do condutor, R HF = 1 2πr 0σδ (39) e R CC = 1/(σπr 2 0) logo R HF 1 = R cc 2πr 0σδ σπr2 0 = r0 2δ (40) 7. Para uma linha de transmissão devido a planos paralelos, conforme mostra a fig. 2.5c no livro texto (repetido no slide em sala de aula) calcule a largura do dielétrico em termos da espessura do do condutor, para qual a impedância interna em baixa frequência torna-se idêntica a indutância externa. Considere que ambos condutores possuem a mesm largura. Solução Parcial Seja w o comprimento da placa paralela e h a largura da mesma, a impedância externa é dada por L e = µ0d w a indutância interna pode ser obtida através da energia acumulada no campo magnético U H = µhi2 3w logo L i = (2/3)µ h/w, igualando-se L i e L e, obtemos d = 2/3h, o que implica que os condutores estão muito próximos. (41) (42) 5

6 8. Considere uma bobina circular de seção quadrada, conforme mostra a Fig.P4.8c no livro texto e repetida no slide em sala de aula. Sabe-se que o maior valor possível de indutância ocorre para a razão R/s = 1.5 para um dado comprimento de condutor. O valor da indutância no caso de N espiras é L = RN 2. Dado um metro de condutor cuja seção é de 1 mm 2, encontre os valores de R, N, e s e o valor da indutância. Repita o procedimento considerando 2 m de condutor. Solução Parcial O comprimento do condutor l 2πRN e N = s 2 /A onde A é o corte da seção reta do condutor, logo s 3 = substituindo acima para A = 10 6, l = 1, obtemos Al 2 1.5π (43) s = R = N = 22.4 L = (44) para o segundo caso basta atualizar o valor de l e repetir o procedimento. 6