Eletromagnetismo Aplicado Propagação de Ondas Guiadas Linhas de Transmissão - 1/3

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1 Eletromagnetismo Aplicado Propagação de Ondas Guiadas Linhas de Transmissão - 1/3 Heric Dênis Farias hericdf@gmail.com

2 PROPAGAÇÃO DE ONDAS GUIADAS - LINHAS DE TRANSMISSÃO 1/3 Sistemas de guiamento de ondas; Parâmetros das Linhas de Transmissão; Modelagem; Casos Especiais; Problemas. 2/21

3 SISTEMAS DE GUIAMENTO DE ONDAS As estruturas de guiamento tem o propósito de orientar a propagação de energia de sua fonte até a carga. Exemplos típicos: Linhas de transmissão; Guias de onda metálicos; Fibras ópticas (guias de onda dielétricos). 3/21

4 LINHAS DE TRANSMISSÃO As linhas de transmissão são estruturas de guiamento de ondas utilizadas na transferência de potência e informações. Esta consiste basicamente de dois ou mais condutores paralelos utilizados para conectar fontes à cargas. A seguir serão apresentadas topologias típicas e as equações que regem o comportamento das linhas de transmissão. 4/21

5 PARÂMETROS DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO As linhas de transmissão são caracterizadas por quatro parâmetros elétricos Resistência por unidade de comprimento R [Ω/m]; Indutância por unidade de comprimento L [H/m]; Condutância por unidade de comprimento G [S/m]; Capacitância por unidade de comprimento C [F/m]. 5/21

6 Deve se notar que: Os parâmetros R, L, G e C são parâmetros distribuídos, ou seja, estão uniformemente distribuídos ao longo do comprimento da linha; Para cada linha, os condutores são caracterizados por σ c, µ c e ε c = ε o, e o dielétrico homogêneo que separa os condutores é caracterizado por σ, µ e ε; G 1/R. R é a resistência por unidade de comprimento dos condutores enquanto G é a condutância por unidade de comprimento devido ao dielétrico que separa os condutores; O valor de L considerado é o da indutância externa por unidade de comprimento. Os efeitos da indutância interna L in (R/ω) são desprezíveis em altas frequências, nas quais opera a maior parte dos sistemas de comunicações; Para cada linha, G LC = µε e C = σ (1) ε 6/21

7 LINHAS DE TRANSMISSÃO TÍPICAS A figura apresenta as topologias típicas de linhas de transmissão, a seguir são apresentados os parâmetros para cada uma delas Linhas de transmissão típicas: (a) linha coaxial; (b) linha bifilar; (c) linha planar. 7/21

8 Tabela : Parâmetros de linha distribuídos, para altas frequências Parâmetros Linha [ Coaxial Linha Bifilar Linha Planar 1 1 R(Ω/m) 2πδσ c a + 1 ] 1 2 b πaδσ c wδσ c (δ a, c b) (δ a) (δ t) µ L(H/m) 2π ln b µ d µd a π cosh 1 2a w 2πσ πσ σw G(S/m) ln b cosh 1 d d a 2a 2πε πε εw C (F/m) ln b cosh 1 d d a 2a (w d) * δ = 1 πf µc σ c = profundidade pelicular; cosh 1 d 2a ln d a se [ d 2a ] /21

9 MODELO ELÉTRICO DA LINHA DE TRANSMISSÃO Circuito equivalente tipo L para um comprimento diferencial z de uma linha de transmissão. 9/21

10 EQUAÇÕES DA LINHA DE TRANSMISSÃO Pela aplicação da lei de Kirchhoff de tensão na malha externa do circuito equivalente tipo L, obtém-se V(z,t) = R zi(z,t) + L z I(z,t) V(z + z,t) t V(z + z,t) V(z,t) = RI(z,t) + L I(z,t) z t (2) Tomando o limite com z 0: V(z,t) z = RI(z,t) + L I(z,t) t (3) 10/21

11 De forma semelhante, aplicando a lei de Kirchhoff das correntes no nó n 1 do circuito L, obtém-se I(z,t) = G zv(z + z,t) + C z V(z,t) + I(z + z,t) t I(z + z,t) I(z,t) = GV(z,t) + C V(z,t) z t (4) Com z 0, I(z,t) z = GV(z,t) + C V(z,t) t (5) 11/21

12 Assumindo dependência temporal harmônica, utiliza-se a notação fasorial as equações 3 e 5, tornam-se: V(z,t) = R [ V s (z)e jωt] I(z,t) = R [ I s (z)e jωt] dv s dz = (R + jω L) I s di s dz = (G + jω C) V s (6a) (6b) 12/21

13 Nas equações 6, V s e I s estão acopladas. Para separá-las, toma-se a segunda derivada de V s na equação 6a e substitui-se na equação 6b, assim obtém-se d 2 V s dz 2 = (R + jω L)(G + jω C)V s (7) De forma similar, utilizando a segunda derivada de I s em 6b e aplicando em 6a, obtém-se d 2 I s dz 2 = (R + jω L)(G + jω C)I s (8) 13/21

14 As equações 7 e 8 podem ser reescritas de seguinte forma: d 2 V s dz 2 γ2 V s = 0 (9a) d 2 I s dz 2 γ2 I s = 0 (9b) onde γ = α + jβ = (R + jωl)(g + jωc) é a constante de propagação, α é a constante de atenuação e β é a constante de fase. O comprimento de onda e a velocidade de propagação da onda são dadas em função de β λ = 2π β u = ω β (10) (11) 14/21

15 A solução das equações diferenciais leva a: V s (z) = V o + e γz + Vo e γz +z z I s (z) = I + o e γz +z + I o e γz z (12a) (12b) onde as setas indicam o sentido de propagação de cada termo, i.e. positivo ou negativo de z. A impedância característica Z o da linha é a razão entre a onda de tensão e a onda de corrente, que se propagam no sentido positivo, em qualquer ponto da linha. 15/21

16 Z o é análoga a η, a impedância intrínseca do meio onde ocorre a propagação (ondas não guiadas). Substituindo as equações 12 nas equações 6, γ [ V + o e γz V o e γz] = (R + jωl) [ I + o e γz + I o e γz] γ [ I + o e γz I o e γz] = (G + jωc) [ V + o e γz + V o e γz] (13a) (13b) igualando os coeficientes dos termos e γz e e γz γv + o = (R + jωl)i + o ; γv o = (R + jωl)i o (14a) γi + o = (G + jωc)v + o ; γi o = (G + jωc)v o (14b) 16/21

17 Das equações 14, obtém-se a impedância de entrada Z o = V+ o Z o = I + o = R + jωl γ = γ G + jωc = V o I o R + jωl G + jωc = R o + jx o (15) A linha de transmissão considerada até agora é a linha com perdas, a qual é o caso geral onde consideram-se condutores imperfeitos (σ c ) e dielétricos com perdas (σ 0). A seguir consideram-se dois casos especiais de linhas de transmissão, a linha sem perdas e a linha sem distorção. 17/21

18 LINHAS SEM PERDAS Uma linha de transmissão é dita sem perdas quando os condutores da linha são perfeitos (σ c ) e o meio dielétrico é sem perdas (σ = 0). Isto implica em R = G = 0, e: α = 0, γ = jβ = jω LC (16) u = 1 LC (17) X o = 0, Z o = R o = L C (18) 18/21

19 LINHAS SEM DISTORÇÃO Uma linha de transmissão é dita sem distorção quando a constante de atenuação α é independente da frequência e a constante de fase β é linearmente dependente da frequência, o que implica em R/L = G/C e: α = RG, β = ω LC (19) u = 1 LC (20) X o = 0, Z o = R o = L R C = G (21) 19/21

20 Nota-se que: A linha sem perdas é um caso especial de linha sem distorção; Uma linha sem distorção deve ter velocidade de fase u e constante de atenuação α independentes da frequência; Qualquer linha que não atenda as condições ideais de uma linha sem distorção (R/L = G/C), provocará distorção em um sinal de banda larga; 20/21

21 PROBLEMAS 1. Uma linha de transmissão, operando a 500 MHz, tem Z o = 80Ω, α = 0.04 Np/m, β = 1.5 rad/m. Encontre os parâmetros de linha R, L, G e C. 2. Uma linha telefônica tem R = 30 Ω/km, L = 100 mh/km, G = 0 e C = 20 µf/km, para f = 1 khz obtenha a impedância característica da linha, a constante de propagação e a velocidade de fase. γ = α + jβ = (R + jωl)(g + jωc) R + jωl Z o = G + jωc u = ω β 21/21