Eletromagnetismo II. Prof. Daniel Orquiza. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

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Isabella Bardini Domingues
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1 Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

2 Ondas planas: Reflexão de ondas (Capítulo 12 Páginas 428 a 437) na interface entre dielétricos com incidência oblíqua: Polarização paralela Polarização perpendicular Angulo de Brewster Eletromagnetismo I 2 Prof. Daniel Orquiza

3 Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização paralela Duas polarizações são possíveis no caso de incidência oblíqua: Polarização paralela: O campo E das ondas incidente, refletida e transmitida é paralelo ao plano de incidência Polarização perpendicular: O campo E das ondas incidente, refletida e transmitida é perpendicular ao plano de incidência Lembrando que o plano de incidência é o plano que contém o vetor k da onda incidente (e das demais ondas) e a normal à interface. Para polarização perpendicular, a orientação dos campos das ondas incidente, refletidas e transmitidas são ilustradas na Figura (próximo Slide).

4 Reflexão de Ondas Eletromagnéticas com incidência Oblíqua Incidência oblíqua na interface entre dois meios (Polarização Perpendicular) k r H r E i H i E r k i θ r θ i x ε 1, µ 1 ε 2, µ 2 z θ t Et H t k t

5 Reflexão de Ondas Eletromagnéticas com incidência Oblíqua Incidência oblíqua na interface entre dois meios (Polarização Paralela) k r E i H i H r k i E r θ r θ i x ε 1, µ 1 ε 2, µ 2 z θ t Et Ht k t

6 Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular Componentes de k No meio 1, o vetor de onda da onda incidente é: kix k iz k i = β 1 senθ i â x + β 1 cosθ i â z H io possui componentes em x e z: H io = H io ( cosθ i â x + senθ i â z ) Os campos da onda incidente no meio 1 são: H i = E io η 1 E i = E io e jβ 1(xsenθ i +zcosθ i )â ( cosθ i â x + senθ i â z )e jβ 1(xsenθ i +zcosθ i ) E i H i E i H ix θ i H iz k i Hi θ i θ i Componentes de E x z

7 Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular Componentes de k No meio 1, o vetor de onda da onda refletida é: krx k r = β 1 senθ r â x β 1 cosθ r â z k rz k r E r Hr θ r H ro possui componentes em x e z: H ro = H ro ( cosθ r â x + senθ r â z ) Os campos da onda refletida no meio 1 são: H r = E ro η 1 E r = E ro e jβ 1(xsenθ r zcosθ r )â ( cosθ r â x + senθ r â z )e jβ 1(xsenθ r zcosθ r ) x z H r θ r E H rz r Componentes de E H rx θ r

Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular Componentes de k No meio 2, o vetor de onda da onda transmitida é: k t = β 2 senθ t â x + β 2 cosθ t â z H to possui componentes em x e z: H

8 Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular Componentes de k No meio 2, o vetor de onda da onda transmitida é: k t = β 2 senθ t â x + β 2 cosθ t â z H to possui componentes em x e z: H to = H to ( cosθ t â x + senθ t â z ) Os campos da onda transmitida no meio 2 são: H t = E to η 2 E t = E to e jβ 2 (xsenθ t +zcosθ t )â ( cosθ t â x + senθ t â z )e jβ 2 (xsenθ t +zcosθ t ) x z θ t θ t E t E t H tx k t θ t θ t k tz H tz H t Ht Componentes de E k tx

9 Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular Os campos E e H tangenciais a interface têm de ser iguais dos dois lados. Da C.C. para o campo elétrico (que só possui E ): E i t ( z = 0) + E t r ( z = 0) = E t t ( z = 0) ( E io + E ro ) = E to (1) A condição de contorno para o campo magnético fica: H i t ( z = 0) + H t r ( z = 0) = H t t ( z = 0) 1 η 1 ( E io E ro )cosθ i = 1 E to cosθ t η 2 (2)

Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular Isolando E to em (8) e (9), e igualando ambas as equações: η 1 cosθ t ( E io + E ro ) = η 2 cosθ i ( E io E ro ) O Coeficiente de Reflexão

10 Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular Isolando E to em (8) e (9), e igualando ambas as equações: η 1 cosθ t ( E io + E ro ) = η 2 cosθ i ( E io E ro ) O Coeficiente de Reflexão para polarização perpendicular ao plano de incidência é: Γ = E ro = η cosθ η cosθ 2 i 1 t E io η 2 cosθ i +η 1 cosθ t Isolando E ro em (1) e (2) e igualando ambas as equações: E io η 1 cosθ t η 2 cosθ i E to = E to E io O Coeficiente de Transmissão para polarização particular é: Coeficientes de Fresnel (polarização perpendicular) τ = E to E io = 2η 2 cosθ i η 2 cosθ i +η 1 cosθ t

11 Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular Os coeficientes de reflexão de Fresnel dão as relações entre os campos. Os coeficientes são complexos. Pergunta: O que a fase de Γ e τ representam? Normalmente, quando se trabalha com ondas eletromagnéticas, seja em óptica ou RF, a grandeza medida não é diretamente o campo, mas a potência da radiação. A Refletância (R) é definida como a razão entre a potência refletida e a incidente: R = P r P i = Γ 2 A Transmitância (T) é definida como a razão entre a potência transmitida e a incidente: T = P t = Re 1/η * 2 * P i Re 1/η 1 { } { } τ 2 = η 1 η 2 2 η2 +η 2 * η 1 +η 1 * τ 2

12 Incidência Oblíqua: Γ e T para polarização perpendicular Uma expressão mais simples para a transmitância pode ser obtida pelo fato de que, pela conversão de energia: Em outras palavras, a potência refletida somada à transmitida tem de ser igual à incidente. A transmitância fica: R +T =1 T =1 Γ 2 Note que, ao contrário da energia, a amplitude dos campos não é uma grandeza que é conservada. De fato para polarização perpendicular: Para polarização paralela: 1+ Γ = T 1+ Γ = T cosθ t cosθ i

13 Angulo de Brewster (Polarização Paralela) Como se pode ver da Equação para Γ, para a polariz. paralela há um angulo para o qual a onda é totalmente transmitida. Usando a Lei de Snell e manipulando esta equação, chegamos na Eq. para o ângulo de Brewster θ B : η 2 cosθ t = η 1 cosθ B Γ = 0 sen 2 θ B = 1 µ 2ε 1 µ 1 ε 2 1 µ 2ε 1 µ 1 ε 2 Que para meios não magnéticos (µ 1 =µ 2 =µ 0 ), esta equação se reduz a: tanθ B = ε 2 = n 2 θ B = tan 1 n 2 ε 1 n 1 2 n 1

14 Angulo de Brewster (Polarização Perpendicular) No caso da polarização perpendicular, para que o coef. de reflexão seja zero: η 1 cosθ t = η 2 cosθ B Γ = 0 Para que esta equação seja satisfeita, temos que: tanθ B = µ 2 µ 1 Como meios magnéticos são pouco utilizados tanto em óptica como em RF, o ângulo de Brewster para polarização perpendicular tem pouca aplicação. Para a polarização paralela, o fato de Γ ser zero implica que uma onda incidente com polarização qualquer será refletida somente com E perpendicular. A polarização paralela é efetivamente filtrada e isto é usado em Lasers e filtros de polarização.

15 Γ FAZER GR AFICO DO ANGULO DE BREWSTER ni=1; nt = 6; clear; clc; n1=1; n2 = 6; theta_i = 0:0.01:pi/2; theta_t=asin((n1/n2)*sin(theta_i)); gamma_par = (n1.*cos(theta_t)- n2.*cos(theta_i))./(n1.*cos(theta_t) +n2.*cos(theta_i)); plot(180*theta_i/pi, abs(gamma_par)) θ i

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