Eletromagnetismo II. Prof. Daniel Orquiza. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

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Wagner Teixeira Lopes
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1 Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

2 Reflexão de Ondas em interfaces múltiplas (Capítulo 11 Páginas 417 a 425) Impedância de entrada Coef. de reflexão de estruturas multicamadas Eletromagnetismo I 2 Prof. Daniel Orquiza

3 Espelhos em LASERs Espelho altamente refletivo Bombeio Espelho parcialment e refletivo Luz emitida Meio com ganho Cavidade ressonante 1

4 SJBV Radome de antenas 1

5 Definimos os coeficientes (de reflexão e refração) de Fresnel para uma única interface entre 2 meios. É mais comum que estas interfaces apareçam em estruturas com uma ou mais camadas como: Cavidades de Fabry-Perot: consistem em duas superfícies parcialmente refletoras paralelas. Filtros de filmes finos: estrutura de múltiplas camadas (filmes) dielétricos. Camadas anti-refletivas: estrutura múltiplas. Radome: estruturas para proteção de antenas (muitas vezes deixa passar faixa estreita de frequências) (colocar figuras). É possível (diferentes métodos) calcular o coeficiente de reflexão (e transmissão) equivalente destas estruturas com múltiplas interfaces dielétricas. 1

6 Consideremos três meios com impedância intrínseca η 1, η 2 e η 3 separados por 2 interfaces. 2

7 Consideremos três meios com impedância intrínseca η 1, η 2 e η 3. A interface entre o 1º e 2º meios está situada + E x1 em z = -l e a interface entre o 2º e 3º meios está em z = 0. A onda incidente em l é transmitida para o E t meio 2, onde sofre múltiplas reflexões. Em cada reflexão, há ondas transmitidas para o meio 3 e transmitidas de volta para o meio 1. O Γ da estrutura é calculado considerando todas as componentes que voltam para o meio 1. η 1 - l η 2 η 3 0 z 2

8 Consideremos que a onda incidente no meio 1 é linearmente polarizada em x. No meio 2, há uma onda progressiva E + x2 (soma da múltiplas componentes) e uma onda regressiva E x2-. E x2 = E + x20 e jβ2z + E x20 e jβ 2z Estas ondas possuem campo magnético dado por: H y2 = H + y20 e jβ2z + H y20 e jβ 2z As amplitudes do campo elétrico das ondas regressiva e progressiva estão relacionadas por: E x20 + = Γ 23 E x20 3

9 Onde, para incidência normal: O campo magnético está relacionado com o campo elétrico pela impedância intrínseca: H y20 Γ 23 = η 3 η 2 η 3 +η 2 = 1 E x20 η 2 = 1 + Γ 23 E x20 η 2 A impedância de onda dependente de z é definida como a relação entre os campos totais: η w (z) = E x2 = E + x20e jβ2z + E x20 H y2 H + y20 e jβ2z + H y20 Usando Γ e η 2, a impedância η w pode ser escrita: η w (z) = E x2 H y2 = η 2 e jβ2z + Γ 23 e jβ2z e jβ2z Γ 23 e jβ 2z e jβ 2z e jβ 2z 4

10 Utilizando a identidade de Euler: A impedância de onda de onda η w fica: η η w (z) = η 3 +η 2 2 η 3 +η 2 Simplificando esta expressão: e jβ 2z = cosβ 2 z jsin β 2 z ( )( cosβ 2 z jsin β 2 z) + ( η 3 η 2 )( cosβ 2 z + jsin β 2 z) ( )( cosβ 2 z jsin β 2 z) ( η 3 η 2 )( cosβ 2 z + jsin β 2 z) η η w (z) = η 3 cosβ 2 z jη 2 sin β 2 z 2 η 2 cosβ 2 z jη 3 sin β 2 z Esta expressão nos dá a impedância de onda em função da posição z. 5

11 A impedância de onda na interface em z = - l permite calcular o Coef. de Reflexão da estrutura. Os componentes tangenciais dos campos são contínuos (iguais em ambos os lados) e da interface: + E x10 + E x10 η 1 + E x10 E x10 η 1 = E x2 (z = l) = E x2 (z = l) η w (z = l) Onde E x10 + e E x10 - são as amplitudes das ondas incidente e refletida no meio 1. Manipulando estas equações e eliminando E x2, chegamos na expressão para Γ (da estrutura): Γ= E x10 = η η entrada 1 + E x10 η entrada +η 1 6

12 Na expressão anterior η entrada é a impedância η w em z = -l: η η entrada = η 3 cosβ 2 l + jη 2 sin β 2 l 2 η 2 cosβ 2 l + jη 3 sin β 2 l As duas última expressões permitem calcular o coeficiente de reflexão para a estrutura com uma camada (com impedância de onda η 2 ). Utilizando Γ é possível obter a potência da onda refletida para uma dada potência de onda incidente. Se as camadas não absorverem radiação EM (premissa para obter eqs. anteriores) a potência transmitida pode ser obtida a partir das potências incidente e refletida (como?). 7

13 Este método pode ser estendido para um problema com qualquer número de interfaces. Vamos considerar uma estrutura com 2 camadas com espessuras l a e l b (próximo slide). A impedância de onda na entrada da última camada (camada b) é: η η entrada, b = η 4 cosβ 3 l + jη 3 sin β 3 l 3 η 3 cosβ 3 l + jη 4 sin β 3 l A impedância de onda na entrada da penúltima camada (camada a) pode agora ser calculada com η etrada, b. η η entrada, a = η entrada, b cosβ 2 l a + jη 2 sin β 2 l a 3 η 2 cosβ 2 l a + jη entrada, b sin β 2 l b 8

14 O coef. de Reflexão Γ na entrada do meio 1 fica: Γ= E x10 = η entrada, a η 1 + E x10 η entrada, a +η 1 8

15 No geral quando se trabalha com óptica, é mais comum utilizar índices de refração (no lugar de η). O índice de refração de um material dielétrico com µ = µ 0 é: n = A constante de fase dentro de um meio com índice n é: O comprimento de onda da onda EM dentro do material com índice n é: ε r β = nβ 0 = n 2π λ 0 λ no vácuo λ = λ 0 n A relação entre a velocidade de fase no material e no vácuo é dada por: v p = c n 9

16 A relação entre a impedância intrínseca e n em um dielétrico é: η = η 0 n Lembrando que a impedância intrínseca do vácuo é: η 0 = µ 0 ε 0 10

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