Eletromagnetismo Aplicado Propagação de Ondas Guiadas Linhas de Transmissão - 2/3

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Sabina Lencastre Gorjão
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1 Eletromagnetismo Aplicado Propagação de Ondas Guiadas Linhas de Transmissão - 2/3 Heric Dênis Farias hericdf@gmail.com

2 PROPAGAÇÃO DE ONDAS GUIADAS - LINHAS DE TRANSMISSÃO 2/3 Impedância de Entrada; Coeficiente de Reflexão; Razão de Onda Estacionária; Fluxo de Potência; Casos Especiais. 2/19

3 IMPEDÂNCIA DE ENTRADA Uma linha de transmissão de comprimento l e caracterizada por γ e Z o conectada a uma carga Z c é vista pelo gerador como uma impedância Z ent em regime permanente. 3/19

4 A impedância de entrada é calculada através das equações de onda de tensão e corrente discutidas na aula anterior V s (z) = V + o e γz + V o e γz I s (z) = V+ o Z o e γz V o Z o e γz (1a) (1b) onde na última foi utilizada a identidade (equação 15 da aula anterior) Z o = V+ o I + o = V o I o I + o = V+ o Z o ; I o = V o Z o (2) 4/19

5 Conhecendo as condições de tensão e corrente na entrada da linha V o = V(z = 0), I o = I(z = 0) (3) substituindo nas equações 1, resulta em V + o = V o + Z o I o 2 V o = V o Z o I o 2 (4a) (4b) A impedância, tensão e corrente de entrada são relacionadas: V o = Z ent V g V g, I o = (5) Z ent + Z g Z ent + Z g 5/19

6 Entretanto, se forem conhecidas as condições na carga, V c = V(z = l); I c = I(z = l) (6) substituindo nas equações 1 obtém-se V o + = V c + Z o I c e γl 2 Vo = V c Z o I c e γl 2 (7a) (7b) 6/19

7 Além disto, é possível calcular a impedância de entrada Z ent = V s (z)/i s (z) em qualquer ponto da linha, no gerador por exemplo Z ent = V s(z) I s (z) = Z V o + + Vo o V o + Vo (8) substituindo as equações 7 e sabendo que obtém-se coshx = ex + e x ; sinhx = ex e x ; tanhx = sinhx 2 2 coshx [ ] Zc + Z o tanhγl Z ent = Z o Z o + Z c tanhγl (9) (10) 7/19

8 Embora a impedância de entrada tenha sido obtida para a extremidade do gerador, esta é a expressão geral para o cálculo da impedância de entrada em qualquer ponto da linha, uma vez que o comprimento l da linha é arbitrário. Para linhas sem perdas, γ = jβ, e como, tanhjx = jtanx, a equação 10 é simplificada [ ] Zc + jz o tanβl Z ent = Z o Z o + jz c tanβl (11) 8/19

9 COEFICIENTE DE REFLEXÃO O coeficiente de reflexão de tensão é definido, em qualquer ponto na linha, como a razão entre as amplitudes das ondas de tensão refletida e incidente. Na carga, o coeficiente de tensão Γ c é: Γ c = V o e γl V + o e γl (12) substituindo V + o e V o das equações 7a e 7b, e utilizando o fato de que V c = Z c I c, obtém-se Γ c = Z c Z o Z c + Z o (13) 9/19

10 Para uma posição qualquer da linha, o coeficiente de reflexão de tensão é, por definição Γ(z) = V o e γz V + o e γz = V o V + o e 2γz (14) ou, re-escrevendo e 2γz = e 2γl e 2γ(z l) Γ(z) = V o V o + e 2γl e 2γ(z l) Γ(z) = Γ c e 2γ(z l) = Γ c e 2γl (15) 10/19

11 O coeficiente de reflexão de corrente é definido, em qualquer ponto na linha, como a razão entre as amplitudes das ondas de corrente refletida e incidente, ou seja porém, Γ i (z) = I o e γz I o + e γz = I o I o + e 2γz (16) desta forma Z o = V+ o I + o = V o I o I o I + o = V o V + o (17) Γ i (z) = I o I o + e 2γz = V o V o + e 2γz = Γ(z) (18) assim: O coeficiente de reflexão de corrente, em qualquer ponto na linha, é igual ao oposto do coeficiente de reflexão de tensão naquele ponto. 11/19

12 RAZÃO DE ONDA ESTACIONÁRIA Da mesma forma que é definido para ondas planas (conteúdo da disciplina de Eletromagnetismo Básico), a razão de onda estacionária s (também representada por ROE) é s = V s max = I s max = 1 + Γ c V s min I s min 1 Γ c (19) a ROE é uma medida do quanto a linha está casada com a carga, onde uma linha perfeitamente casada é atingida quando Z o = Z c Γ c = 0 e a ROE é unitária, para o caso onde a linha está em curto ou aberta, Γ c = ±1, o que implica em um ROE infinita. 12/19

13 É simples mostrar que I max = V max /Z o e I min = V min /Z o. A impedância de entrada da linha sem perdas (equação 11) tem mínimos e máximos onde ocorrem os mínimos e máximos das ondas estacionárias de tensão e corrente, assim e Z ent max = V max I min = sz o (20) Z ent min = V min = Z o I max s (21) 13/19

14 FLUXO DE POTÊNCIA A potência média de entrada da linha a uma distância l da carga é dada por P med = 1 2 Re[V s(l)i s (l)] (22) substituindo as equações 1a e 1b e considerando uma linha sem perdas P med = 1 [V 2 Re o (e + jβl + Γe jβl) V o + ( e jβl Γ e jβl)] Z o [ P med = 1 2 Re V o + 2 ( 1 Γ 2 + Γe 2jβl Γ e 2jβl)] Z o 14/19

15 Como os últimos termos são puramente imaginários P med = V+ o 2 2Z o ( 1 Γ 2) (23) o primeiro termo é a potência incidente P i enquanto o segundo é a potência refletida P r, ou seja P t = P i P r (24) onde P t é a potência transmitida. Nota-se que a potência transmitida é independente de l, pois foi considerada uma linha sem perdas, além disso, nota-se que a máxima transferência de potência ocorre quando Γ = 0, como esperado. 15/19

16 LINHA EM CURTO Neste caso, a impedância de entrada, para uma linha sem perdas, é também, Z cc = Z ent Zc =0 = jz o tanβl (25) Γ c = 1, s = (26) nota-se que Z ent é uma reatância pura, que pode ser capacitiva ou indutiva dependendo do comprimento l. 16/19

17 LINHA EM ABERTO Neste caso, a impedância de entrada, para uma linha sem perdas, é também, Z ca = lim Z c Z ent = jz o cotβl (27) Γ c = 1, s = (28) assim como para a linha em curto, Z ent é uma reatância pura, que pode ser capacitiva ou indutiva dependendo do comprimento l. Além disso Z cc Z ca = Z 2 o (29) 17/19

18 LINHA CASADA Neste caso, a impedância de entrada se reduz a e Z ent = Z o (30) Γ c = 0, s = 1 (31) ou seja, V o = 0. Toda a onda é transmitida e não há reflexão, em outras palavras, toda a potência incidente é transferida a carga, ocorrendo a máxima transmissão de potência. 18/19

19 PROBLEMAS 1. Para uma linha de transmissão sem perdas com Z o = 60 Ω, o valor máximo de Z ent é de 180 Ω e ocorre a λ/24 da carga. Se a linha tem um comprimento de 0.3λ determine a razão de onda estacionária, a impedância de carga, e a impedância de entrada no gerador. 2. Três linhas de transmissão estão conectadas como mostra a figura, determine Z ent. 19/19

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