Eletromagnetismo II. Prof. Daniel Orquiza. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

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Otávio Freire Teves
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1 Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

2 Ondas planas: Refleão de ondas (Capítulo 12 Páginas 407 a 417) na interface entre dielétricos com incidência normal na interface dielétrico/condutor com incidência normal Taa de onda estacionária Eletromagnetismo I 3 Prof. Daniel Orquiza

3 Refleão de Ondas Eletromagnéticas Vamos considerar a refleão de ondas planas uniformes na interface entre dois meios dielétricos com permissividade (e/ou permeabilidade) diferentes. Este problema é útil tanto em aplicações em óptica e radiofrequência (RF). Considere uma onda plana polarizada em se propagando em z, que incide numa interface situada em z = 0. E i E r E t H i H r H t ε 1, µ 1, σ 1 ε 2, µ 2, σ 2 z 1

4 Refleão de Ondas Eletromagnéticas Devido à diferença de impedância intrínseca, parte da onda será refletida e parte da onda será transmitida para o segundo meio. A fração refletida e a fração transmitida da onda podem ser obtidas impondo as condições de contorno para os campos dos dois lados da interface. E i H i E r H r ε 1, µ 1, σ 1 ε 2, µ 2, σ 2 z E t H t 2

5 Refleão de Ondas Eletromagnéticas O Coeficiente de Transmissão τ é definido como a razão entre a magnitude da onda (de Campo Elétrico) transmitida e a da onda incidente na interface. τ = E to E io O Coeficiente de Refleão Γ é definido como a razão entre a magnitude da onda (de Campo Elétrico) refletida e a da onda incidente na interface. Γ= E ro E io Se uma onda com 1 V/m incidir na interface, a magnitude da onda refletida será Γ V/m e a magnitude da onda transmitida será T V/m. 3

6 Refleão de Ondas Eletromagnéticas Uma onda incidente linearmente polarizada em se propagando na direção positiva de z, pode ser epressa na forma de fasor: e Onde H io e E io são as amplitudes dos campos e γ 1 é a constante de propagação complea: E i H i ( z) = E io e γ 1zâ ( z) = H io e γ 1zâ = E io e γ 1zâ η 1 E i â k H i γ 1 = α 1 + jβ 1 z propagante 4

Refleão de Ondas Eletromagnéticas A onda refletida possui a mesma polarização da onda incidente mas se propaga na direção negativa de z: e H r E r ( z) = E ro e γ

7 Refleão de Ondas Eletromagnéticas A onda refletida possui a mesma polarização da onda incidente mas se propaga na direção negativa de z: e H r E r ( z) = E ro e γ 1zâ O campo magnético da onde refletida muda de sentido pois: ( z) = H ro e γ 1z ( â ) = E ro H = 1 k1 E = âk ωµ 1 H r E r z contra-propagante η 1 η 1 E e γ 1zâ (L.F.) 5

8 Refleão de Ondas Eletromagnéticas A onda transmitida possui a mesma polarização e direção de propagação da onda incidente: e H t E t ( z) = E to e γ 2zâ Como a onde se propaga no meio 2, η e γ são: propagante ( z) = H to e γ 2zâ = E to e γ 2zâ η 2 γ 2 = α 2 + jβ 2 η 2 = E t jωµ 2 σ 2 + jωε 2 z H t 6

Refleão de Ondas Eletromagnéticas Para meios sem fontes, a condição de contorno para E na interface (z = 0) é: E 1t = E 2t Para incidência normal, E só possui componente tangencial, portanto: E i (z

9 Refleão de Ondas Eletromagnéticas Para meios sem fontes, a condição de contorno para E na interface (z = 0) é: E 1t = E 2t Para incidência normal, E só possui componente tangencial, portanto: E i (z = 0)+ E r (z = 0) = E t z = 0 ( ) E io + E ro = E to A condição de contorno para H na interface é: H 1t = H 2t H também possui somente componente tangencial, assim: H i (z = 0)+ H r (z = 0) = H t ( z = 0) 1 ( E io E ro ) = E to η 1 η 2 (1) (2) 7

10 Refleão de Ondas Eletromagnéticas Isolando E to em (1) e (2), e igualando ambas as equações: η 2 ( E io E ro ) = η 1 ( E io + E ro ) O Coeficiente de Refleão para incidência normal é: Γ= E ro = η 2 η 1 E io η 2 +η 1 Isolando E ro em (1) e (2), e igualando ambas as equações: E to E io = E io η 1 η 2 E to O Coeficiente de Transmissão para incidência normal é: τ = E to E io = 2η 2 η 2 +η 1 (3) (4) 8

11 Refleão de Ondas Eletromagnéticas De (2) e (3) é possível deduzir a relação entre T e Γ: 1+ Γ= τ O valor absoluto de Γ é um número entre 0 e 1 (ver 3). A onda refletida não pode ter amplitude maior que a incidente se o meio é passivo. Além disso, T e Γ podem ser compleos se os meios tiverem perdas (σ 0), pois: η = 0 Γ 1 jωµ σ + jωε T e Γ compleos implicam uma diferença de fase das ondas refletida e transmitida com relação à incidente. 9

12 Refleão de Ondas Eletromagnéticas na superfície de um PEC Vamos considerar uma onda incidindo na interface entre um meio dielétrico e um condutor perfeito. Pergunta: Eiste onda eletromagnética no interior do PEC? E i E r H i H r ε 1, µ 1, σ 1 ε 2, µ 2, σ 2 = z 10

13 Refleão de Ondas Eletromagnéticas na superfície de um PEC Se a incidência for normal, é possível usar (3) para obter a magnitude da onda refletida. A impedância intrínseca do PEC é dada por: σ 2 = η 2 = Usando (3) e (4), vemos que o Coef. de Refleão é: Γ= E ro E io = 1 jωµ σ 2 + jωε = 0 Como não há onda no PEC, o Coef. de Transmissão deve ser: τ = 0 11

14 Refleão de Ondas Eletromagnéticas No meio 1 teremos a superposição das ondas incidente e refletida. E 1 = E i + E r = E io e γ izâ + E ro e γ izâ Se o meio 1 for um dielétrico perfeito, σ 1 e α 1 são nulos e γ 1 = jβ 1 Vimos que Γ =-1, de forma que o campo total dentro do dielétrico fica: E 1 = E io O valor instantâneo do campo é: e jβ1z e jβ 1z ( )â E 1 = 2 je io sen( β 1 z)â E 1 (z,t) = 2E io sen( β 1 z)sen( ωt)â A superposição de duas ondas (progressiva e regressiva) resulta em uma onda estacionária (parada). 12

15 Refleão de Ondas Eletromagnéticas 13

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