31/05/17. Ondas e Linhas

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Diego Minho Eger
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2 Guias de Onda (pags 102 a 112 do Pozar) Geometria e Condições de Contorno Solução geral para Modos TE Solução geral para Modos TM 31/05/17 2

3 SJBV Guia de Onda Circular Vamos considerar os campos de um guia circular metálico com raio a. Além disso, o interior do guia é preenchido por um dielétrico com parâmetros constitutivos ε e µ (normalmente ar). z y a x 31/05/17 b ε, µ 3

4 Guia de Onda Circular Os guias circulares não suportam modos TEM, pois possuem apenas um condutor. O condutor é considerado ideal e por isso o campo elétrico tangencial ao condutor metálico do guia deve ser nulo. Pergunta: que componentes do campo elétrico E (em Coord. Cilindr.) devem ser nulas? 31/05/17 4

5 Guia Circular (modos TE) Para encontrar os campos eletromagnéticos, temos que achar as soluções da Eq. de Onda em Coord. Cilíndricas. Para modos TE (E z = 0, H z 0). 2 H z + k 2 H z = 0 Assumindo uma solução na forma, chegamos à Eq. de Helmholtz 2D: H z 2 ρ ρ ρ ρ 2 φ + k 2 2 c H z ( ρ, φ, z) = H z ( ρ, φ)e jβz ( ρ, φ) = 0 31/05/17 5

6 Guia Circular (modos TE) A solução da Eq de Helmholtz 2D possui a forma: H z ( ρ, φ) = R(ρ)P(φ) Onde a dependência com ρ e φ é desacoplada. Substituindo na Eq. de Helmholtz 2D, temos: ρ 2 R d 2 R dρ 2 + ρ R dr dρ +ρ2 k 2 c = 1 P d 2 P dφ 2 31/05/17 6

7 Guia Circular (modos TE) Como R só depende de ρ e P só depende de φ, os lados direito e esquerdo da equação anterior têm de ser iguais a uma constante. Podemos chamar estas constantes de k φ. Igualando o lado direito a k φ, temos a equações resultante: d 2 P dφ + k 2 P = 0 2 φ A solução geral desta equação possui a forma: P( φ) = A sen k φ φ ( ) + B cos( k φ φ) A solução é periódica em φ. Assim, k φ tem que ser um inteiro k φ = n (n = 0, 1, 2..). Igualando o lado esquerdo da Eq. de Helmholtz 2D a n, temos: ρ 2 d 2 R dρ + ρ dr 2 dρ + ρ 2 k 2 c n 2 31/05/17 7 ( ) R = 0 (Eq. de Bessel)

8 Guia Circular (modos TE) A solução geral para a componente z do campo magnético H z (ρ, φ) é: H z (ρ, φ) = C J n ( k c ρ) + D Y n ( k c ρ) A sen nφ ( ) + B cos( nφ ) R(ρ) 0 P(φ) Como a função de Bessel de segunda espécie Y n é igual a (menos) infinito em ρ = 0, D = 0 na equação acima. J n ( ρ) D = 0 Y n ( ρ) ρ ρ 31/05/17 8

9 Guia Circular (modos TE) A solução geral para H z (ρ, φ) fica: ( ) + B cos( nφ ) ( ) H z (ρ,φ) = A sen nφ J k ρ n c Usando as equações para os campos transversais em função de H z, podemos achar E φ e aplicar a C. C. na superfície condutora do guia. E φ ( ρ, φ) = jωµ k c A sen( nφ ) + B cos( nφ ) Para que a C.C. seja satisfeita, temos que ter: J n ' ( k c a) = 0 J n ' ( k c ρ) = 0, em ρ = a Derivada com relação ao argumento 31/05/17 9

10 Guia Circular (modos TE) Seja p nm a m-ésima de J n, para que a C.C. acima seja satisfeita temos que ter: k c,nm = p ' nm a Raízes p nm de J n, para n = 0, 1, 2., p 11, p 21, p 01, p 12, p, 02 p 22 ' p nm J n ' ( ' p ) ' nm = 0 (m ésima raíz de J n ) 31/05/17 10

Guia Circular (modos TE nm ) Os componentes do campo eletromagnético para os modos TE do guia circular são: H z = A sen( nφ ) + Bcos(nφ) J n ( k c ρ)e jβz E ρ = jωµn k c2 ρ A cos( nφ ) Bsen(nφ) J n (

11 Guia Circular (modos TE nm ) Os componentes do campo eletromagnético para os modos TE do guia circular são: H z = A sen( nφ ) + Bcos(nφ) J n ( k c ρ)e jβz E ρ = jωµn k c2 ρ A cos( nφ ) Bsen(nφ) J n ( k c ρ)e jβz E φ = jωµ A sen nφ k c H ρ = jβ A sen nφ k c ( ) + Bcos(nφ) ( ) + Bcos(nφ) J n ' J n ' ( k c ρ)e jβz ( k c ρ)e jβz H φ = jβn A cos( nφ ) Bsen(nφ) J n ( k c ρ)e jβz k c2 ρ E z = 0 A, e B são constantes de amplitude. 31/05/17 11

12 Guia Circular (modos TE) A constante de propagação na direção de propagação (β) é: β nm = k 2 k 2 c = k 2 p ' nm a Para que β seja real (O que acontece se não for?): k > k c = p ' nm a 2 A frequência de corte, para modos da polarização TE no guia retangular, é: f c,nm = k c 2π µε = p nm ' 2πa µε

13 Guia Circular (modos TE) A impedância de onda para modos TE é: Z TE = E ρ = E φ = ηk H φ H ρ β 31/05/17 13

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15 Guia Circular (modos TM) Para encontrar os campos eletromagnéticos, temos que achar as soluções da Eq. de Onda em Coord. Cilíndricas. Para modos TM (H z = 0, E z 0). 2 E z + k 2 E z = 0 Assumindo uma solução na forma, chegamos à Eq. de Helmholtz 2D: E z ( ρ, φ, z) = E z ( ρ, φ)e jβz 2 ρ ρ ρ ρ 2 φ + k 2 2 c E z ( ρ, φ) = 0 31/05/17 15

16 Guia Circular (modos TM) A solução da Eq de Helmholtz 2D possui a forma: E z ( ρ, φ) = R(ρ)P(φ) Onde a dependência com ρ e φ é desacoplada. Substituindo na Eq. de Helmholtz 2D, temos: ρ 2 R d 2 R dρ 2 + ρ R dr dρ +ρ2 k 2 c = 1 P d 2 P dφ 2 31/05/17 16

17 Guia Circular (modos TM) Como R só depende de ρ e P só depende de φ, os lados direito e esquerdo da equação anterior têm de ser iguais a uma constante. Podemos chamar estas constantes de k φ. Igualando o lado direito a k φ, temos a equações resultante: d 2 P dφ + k 2 P = 0 2 φ A solução geral desta equação possui a forma: ( ) = A sen k φ φ P φ ( ) + B cos( k φ φ) A solução é periódica em φ. Assim, k φ tem que ser um inteiro k φ = n (n = 0, 1, 2..). Igualando o lado esquerdo da Eq. de Helmholtz 2D a n, temos: ( ) R = 0 ρ 2 d 2 R dρ + ρ dr 2 dρ + ρ 2 k 2 c n 2 (Eq. de Bessel) 31/05/17 17

18 Guia Circular (modos TM) A solução geral para a componente z do campo Elétrico E z (ρ, φ) é: E z (ρ, φ) = C J n ( k c ρ) + D Y n ( k c ρ) A sen nφ ( ) + B cos( nφ ) R(ρ) 0 P(φ) Como a função de Bessel de segunda espécie Y n é igual a (menos) infinito em ρ = 0, D = 0 na equação acima. J n ( ρ) D = 0 Y n ( ρ) ρ ρ 31/05/17 18

19 Guia Circular (modos TM) A solução geral para E z (ρ, φ) fica: ( ) + B cos( nφ ) ( ) E z (ρ,φ) = A sen nφ J k ρ n c Usando E z, podemos aplicar a C. C. na superfície condutora do guia. ( ) + B cos( nφ ) E z (ρ,φ) = A sen nφ J k ρ n c ( ) = 0, em ρ = a Função de Bessel de 1ª Espécie Para que a C.C. seja satisfeita, temos que ter: J n ( k c a) = 0 31/05/17 19

20 Guia Circular (modos TM) Seja p nm a m-ésima de J n. Para que a C.C. acima seja satisfeita temos que ter: k c,nm = p nm a n = 0 n = 1 n = 2 Raízes p nm de J n, para n = 0, 1, 2. p 01 p 11 p 21 p 02 p 12 p 22 p nm J n ( p ) nm = 0 (m ésima raíz de J n ) 31/05/17 20

Guia Circular (modos TM nm ) Os componentes do campo eletromagnético para os modos TM do guia circular são E z = A sen( nφ ) + Bcos(nφ) J n ( k c ρ)e jβz E ρ = jβ A sen nφ k c ( ) + Bcos(nφ) J n ' (

21 Guia Circular (modos TM nm ) Os componentes do campo eletromagnético para os modos TM do guia circular são E z = A sen( nφ ) + Bcos(nφ) J n ( k c ρ)e jβz E ρ = jβ A sen nφ k c ( ) + Bcos(nφ) J n ' ( k c ρ)e jβz E φ = jβn A cos( nφ ) Bsen(nφ) J n ( k c ρ)e jβz k c2 ρ H ρ = jωεn k c2 ρ A cos( nφ ) Bsen(nφ) J n ( k c ρ)e jβz H φ = jωε A sen nφ k c ( ) + Bcos(nφ) J n ' ( k c ρ)e jβz H z = 0 A, e B são constantes de amplitude. 31/05/17 21

22 Guia Circular (modos TM) A constante de propagação na direção de propagação (β) é: β nm = k 2 k 2 c = k 2 p nm a 2 Para que b seja real (O que acontece se não for?): k > k c = p nm a A frequência de corte, para modos da polarização TE no guia retangular, é: f c,nm = k c 2π µε = p mn 2πa µε

23 Guia Circular (modos TM) A impedância de onda para modos TM é: Z TM = E ρ H φ = E φ H ρ = ηβ k 31/05/17 23

24 Modos Dominantes e Operação monomodo Os modos TE 0n e TM 1n são degenerados (possuem o mesmo β para mesma frequência). Possuem mesma frequencia de corte também. O modo TE 11 é dito dominante entre os modos TE e o modo TM 01 é dominante entre os modos TM. O guia é dito monomodo se somente o modo fundamental se propaga. Qual a banda de operação monomodo do guia abaixo? y x a b ε, µ

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